勾股定理达标训练含答案

1、18.1勾股定理达标训练一、基础巩固1 .若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n.2 .直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积3 .若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积4 .一架云梯长25M,如图18-1-20斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7M.(1)这个梯子的顶端距地面有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了4M,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4M吗?图181201/105 .等边三角形的边长为2,求它的面积二、综合应用6.如图18121,n个三角形的面积为螺旋形由一系列直角三角形组成，则第图181-21图18-1-227.如图

2、18122,ABC中，AB=15cm,AC=24cm,/A=60°,求BC的长.8.在锐角4ABC中已知其两边a=1,b=3,求第三边的变化范围2/109 .如图18123,有一个高1.5M,半径是1M的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5M,问这根铁棒应有多长？图1812310 .已知：在RtAABC中，/0=90°,/A、/B、/C的对边分别为a、b、c,设4ABC的面积为S,周长为I.(1)填表：三边a、b、ca+bcSI3、4、525、12、1348、15、176(2)如果a+bc=m,观察上表猜想：y=(用含有m的代

3、数式表示).证明(2)中的结论.3/1011 .如图18124,A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千M的B处，以10J7千M/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千M范围内是受台风影响的区域.(1) A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？图181244/10参考答案、基础巩固1 .若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n.思路分析：首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n+1)2+(n+2)2=(n+

4、3)2,化简得：n2=4.1. n=±2,但当n=2时，n+1=1<0,.n=2.2 .直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积.思路分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解.解：设此直角三角形两直角边分别是x,y,根据题意得：x+y+5=12,(1)=2 22/+y2=52,(2)由(1)得：x+y=7,(x+y)2=49,x2+2xy+y2=49.(3)3 3)(2),得：xy=12.直角三角形的面积是xy=工X12=6(cm2).223.若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.解：设此

5、直角三角形两直角边分别是3x、4x,根据题意得：(3x)2+(4x)2=20；化简得x2=16;1 0，直角二角形的面积=-X3x>4x=6x=96.24 .一架云梯长25M,如图18-1-20斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7M.A图181205/10(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4M,那么梯子的底部在水平方向也滑动了4M吗？思路分析：(1)可设这个梯子的顶端距地面有xM高，因为云梯长、梯子底端离墙距离、梯子的顶端距地面高度组成直角三角形，所以x2+72=252,解出x即可.(2)如果梯子的顶端下滑了4M,那么梯子的底部在水平方向不一定滑动了4M,应计算才能确

6、定.解：(1)设这个梯子的顶端距地面有xM高，据题意得AB2+BC2=AC2,即x2+72=252,解得x=24.轻轻告诉你个人的绝对自由是疯狂，一个国家的绝对自由是混乱。一一罗曼罗兰即这个梯子的顶端距地面有24M高.(2)如果梯子的顶端下滑了4M,即AD=4M,BD=20M,设梯子底端离墙距离为yM,据题意得BD2+BE2=DE2,即202+y2=252，解得y=15.此时CE=157=8.，梯子的底部在水平方向滑动了8M.5 .等边三角形的边长为2,求它的面积.解：如图，等边ABC中，作AD，BC于D,则：BD=1BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)，2BDAB=AC=BC=

7、2(等边三角形各边都相等)，BD=1.在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2,即AD2=AB2BD2=41=3.AD=.3.Saabc=工BC.AD='-3.注：等边三角形的面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为上3a2.4、综合应用6 .如图18121,螺旋形由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为6/10图181-21图18-1-221111思路分析：由勾股定理可知，第一个三角形的面积是1；第二个三角形的面积是2专；第三个三角形的面积是去；则第n个三角形的面积为手.答案:、n7 .如图18122,ABC中，AB=15cm,AC=24cm,ZA=60°,求BC

8、的长.思路分析：因为/A是一个特殊角，可考虑过点B作BDXAC,垂足为D,则ZABD=30,所以AD可求.在RtABCD中，由勾股定理可求出BC的长.解：过点B作BDXAC,垂足为D./A=60°,/ABD=30.AD=1AB=-M5=7.5.22BD2=AB2AD2=1527.52=168.75.在RtABCD中，由勾股定理得，BC2=BD2+CD2=168.75+16.52=441.BC=21.抓住特殊角，构造直角三角形是解决本题的关键.本题也可以这样作辅助线：过点C作CEXAB,垂足为E,但过点A作AF±BC,垂足为F,则是行不通的.请你想一想为什么？从中可以得到什么

9、启发？8 .在锐角ABC中，已知其两边a=1,b=3,求第三边的变化范围.思路分析：显然第三边ba<c<b+a,但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC为直角三角形时第三边的值.7/10解：设第三边为c,并设ABC是直角三角形.当第三边是斜边时，c2=b2+a2,，c=.J0.当第三边不是斜边时，则斜边一定是b,b2=a2+c2,，c=2j2(即J8).ABC为锐角三角形，所以点A应当绕着点B旋转，使/ABC成为锐角(如图)，但是当点A从Ai出发，移动到点A2位置时，在ArA2处，/ACB都成为直角，故点A应当在Ai和A2间移动，此时

10、212<AC<同.注：此题易忽视或中的一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否为直角边，所以要分两种情况考虑.9 .如图18123,有一个高1.5M,半径是1M的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5M,问这根铁棒应有多长？图18123思路分析：题目中没有告诉铁棒如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为xM,则应求最长时和最短时的值.(1)x2=1.52+22,x2=6.25,x=2.5.所以最长是2.5+0.5=3(M).(2)

11、x=1.5,最短是1.5+0.5=2(M).答：这根铁棒的长应在23M之间(包含2M和3M).10 .已知：在RtAABC中，/C=90°,/A、/B、/C的对边分别为a、b、c,设ABC的面积为S,周长为l.(1)填表:8/10三边a、b、ca+bcST3、4、525、12、1348、15、176(2)如果a+b-c=m,观察上表猜想：=(用含有m的代数式表示).(3)证明(2)中的结论.思路分析：(1)略；(2)根据(1)中结论得出猜想，-=m.l4(3)证明：=S=ab,l=a+b+c,2,Sab.l2(abc)a+bc=m,a+b=m+c.又a2+b2=c2,.(a+b)2=(m+c)2,即ab=：m(m+2c).1,c、S_ab2m(m2c)l2(abc)2(m2c)11 .如图18124,A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千M的B处，以1047千M/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200千M范围内是受台风影响的区域.(1) A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；(2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？思路分析：(1)A市是否会受到台风的影响，取决于距台风中心的距离，我们可首先9/10计算A到BF的距离，若A市到BF的距离小于200千M,则受其影