弹塑性有限元分析

1、2022-5-191第二章第二章 弹塑性有限元分析弹塑性有限元分析目的：目的：以弹塑性问题为例，介绍材料（物理）非线性问以弹塑性问题为例，介绍材料（物理）非线性问题）的有限元方法。题）的有限元方法。特点：特点：与线性有限元方法比较，本构关系不再符合线弹与线性有限元方法比较，本构关系不再符合线弹性的性的Hooke定律定律l 引言引言l 单轴试验下材料的弹塑性性态单轴试验下材料的弹塑性性态 l 屈服条件、屈服面与屈服函数屈服条件、屈服面与屈服函数l 塑性本构关系塑性本构关系 l 弹塑性问题的有限元解法弹塑性问题的有限元解法 内容：内容：2022-5-192引言引言(1/5)(1/5)塑性塑性是指物

2、体内由于载荷超过某个临界值（弹性极限）而是指物体内由于载荷超过某个临界值（弹性极限）而产生的产生的永久变形永久变形。塑性力学塑性力学是固体力学的一个分支，主要研究是固体力学的一个分支，主要研究这种永久变形和作用力之间的关系，以及物体内部应力和应变这种永久变形和作用力之间的关系，以及物体内部应力和应变的分布规律。的分布规律。材料的非线性行为异常丰富材料的非线性行为异常丰富 非线性弹性行为：非线性弹性行为：当材料由于应力达到某种临界值而出现当材料由于应力达到某种临界值而出现应力与应变间的非线性变化关系；应力与应变间的非线性变化关系； 弹塑性行为：弹塑性行为：有不可恢复的应变产生，即当载荷全部撤除有

3、不可恢复的应变产生，即当载荷全部撤除后，会有永久的残余（剩余）变形；后，会有永久的残余（剩余）变形； 粘粘弹性弹性行为行为（包括松弛与蠕变）：在高温等条件下，应力（包括松弛与蠕变）：在高温等条件下，应力不但与应变有关，还与时间、应变率等明显相关；不但与应变有关，还与时间、应变率等明显相关； 等等等等，以及多种非线性行为的耦合。，以及多种非线性行为的耦合。 2022-5-193引言引言(2/5)(2/5)ep,ppd与相近学科门类的区别与相近学科门类的区别 塑性力学（塑性力学（Plasticity）和弹性力学（）和弹性力学（Elasticity）：）：塑性力学塑性力学考虑物体内产生的永久变形；而

4、弹性力学则不考虑；考虑物体内产生的永久变形；而弹性力学则不考虑； 塑性力学和流变学（塑性力学和流变学（Rheology）：）：两种门类都考虑永久变两种门类都考虑永久变形。但是，塑性力学中的永久变形只形。但是，塑性力学中的永久变形只与应力和应变的与应力和应变的历史有关，不随时间变化历史有关，不随时间变化；而流变学中的永久变形；而流变学中的永久变形与与时间有关时间有关。 可恢复的弹性变形可恢复的弹性变形不可恢复的塑性变形不可恢复的塑性变形 rrt塑性变形力学塑性变形力学流变学流变学2022-5-194引言引言(3/5)(3/5)塑性力学发展历史塑性力学发展历史l 1773年：库仑（年：库仑（Cou

5、lomb）提出）提出土的屈服条件土的屈服条件。l 1864年：屈雷斯加（年：屈雷斯加（Tresca）对金属材料提出了）对金属材料提出了最最大剪应力屈服条件大剪应力屈服条件。l 1870年：圣维南（年：圣维南（Saint-Venant）提出在平面情况）提出在平面情况下下理想刚塑性的应力理想刚塑性的应力-应变关系应变关系。假设最大剪应力。假设最大剪应力方向和最大剪应变率方向一致，求解了柱体中发生方向和最大剪应变率方向一致，求解了柱体中发生部分塑性变形的扭转和弯曲问题、以及厚壁筒受内部分塑性变形的扭转和弯曲问题、以及厚壁筒受内压问题。压问题。l 1871年：莱维（年：莱维（Levy）将塑性应力）将塑

6、性应力-应变关系应变关系推广推广到三维到三维情况。情况。2022-5-195引言引言(4/5)(4/5)塑性力学发展历史（续）塑性力学发展历史（续）l 1913年：米赛斯（年：米赛斯（Mises）经数学简化提出了）经数学简化提出了Mises屈服条件屈服条件。米赛斯还独立地提出和莱维一致的。米赛斯还独立地提出和莱维一致的Levy-Mises塑性应力塑性应力-应变（应变（本构本构）关系关系。l 1913年：泰勒（年：泰勒（Taylor）的实验证明，）的实验证明，Levy-Mises本构关系是真实情况的一阶近似。本构关系是真实情况的一阶近似。l 1924年：提出年：提出塑性全量理论塑性全量理论，伊柳

7、辛（，伊柳辛（Ilyushin）等苏联学者用来解决大量实际问题。等苏联学者用来解决大量实际问题。l 1930年：罗伊斯（年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（）在普朗特（Prandtle）的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力-应变关系。至此，应变关系。至此，塑性增量理论初步建立塑性增量理论初步建立。 2022-5-196引言引言(5/5)(5/5)塑性力学发展历史（续）塑性力学发展历史（续）l 1950年前后：展开了年前后：展开了塑性增量理论和塑性全量理论塑性增量理论和塑性全量理论的辩论的辩论，促使对两种理论从根本上进行探讨。，促使对两种理论从根

8、本上进行探讨。l 1970年代：随着有限元方法的提出和快速发展，关年代：随着有限元方法的提出和快速发展，关于于塑性本构关系的研究十分活跃塑性本构关系的研究十分活跃。主要从宏观与微。主要从宏观与微观结合的角度，从不可逆过程热力学以及从理性力观结合的角度，从不可逆过程热力学以及从理性力学等方面进行研究，例如学等方面进行研究，例如无屈服面理论无屈服面理论等。等。l 其它：其它：1）在强化规律方面，除等向强化模型外，）在强化规律方面，除等向强化模型外，普拉格（普拉格（Prager）提出随动强化等模型；）提出随动强化等模型；2）在实）在实验分析方面，运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法验分析方面，运用光塑性

9、法、云纹法、散斑干涉法等能测量大变形的手段。等等。等能测量大变形的手段。等等。 2022-5-197单轴试验下材料的弹塑性性态单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/31/3）对塑性变形基本规律的认识来自于实验：对塑性变形基本规律的认识来自于实验：从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性;将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，确定应力超过弹性极限后材料的本构关系确定应力超过弹性极限后材料的本构关系;建立塑性力学的基本方程建立塑性力学的基本方程;1)求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和求解这些方

10、程，得到不同塑性状态下物体内的应力和应变。应变。 基本实验有两个：基本实验有两个：简单拉伸实验简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变：实验表明，塑性力学研究的应力与应变之间的关系不但是之间的关系不但是非线性的非线性的，而且，而且不是单值对应的不是单值对应的。1)静水压力实验：静水压力实验：静水压力可使材料的塑性增加，使原来静水压力可使材料的塑性增加，使原来处于处于脆性脆性状态的材料转化为状态的材料转化为塑（韧）性塑（韧）性材料。材料。2022-5-198单轴试验下材料的弹塑性性态单轴试验下材料的弹塑性性态 （2/32/3）单轴实验经过以下阶段：单轴实验经过以下阶段：线弹性阶段：线弹性

11、阶段：加载开始直至比例极加载开始直至比例极限，材料表现为限，材料表现为线弹性行为线弹性行为。非线性弹性阶段：非线性弹性阶段：继续加载直至弹继续加载直至弹性限，材料表现出非线性弹性行为。性限，材料表现出非线性弹性行为。在此之前在此之前完全卸载完全卸载，材料将沿原加材料将沿原加载曲线返回而无残余应变。载曲线返回而无残余应变。（注：注：比例限与弹性限非常接近，一般不比例限与弹性限非常接近，一般不做区分）做区分）塑性阶段：塑性阶段：继续加载，材料可承受继续加载，材料可承受更大应力更大应力，称为，称为材料强化材料强化，并伴随，并伴随出现塑性应变出现塑性应变。至至A点以前卸载，点以前卸载，路径接近直线，即

12、处于路径接近直线，即处于弹性卸载状弹性卸载状态态，其斜率等于加载斜率，其斜率等于加载斜率E。1) 破坏点：破坏点：继续加载至可承受的最大继续加载至可承受的最大极限应力，试件出现颈缩而破坏，极限应力，试件出现颈缩而破坏，称为称为强度极限强度极限。 材料单向受载情形下的性态材料单向受载情形下的性态ABFEEO强度限强度限弹性限弹性限比例限比例限bsp2022-5-199单轴试验下材料的弹塑性性态单轴试验下材料的弹塑性性态 （3/33/3）塑性问题的特点：塑性问题的特点： 材料进入塑性后，即使卸去应力，材料进入塑性后，即使卸去应力，塑性应变将永久存在，塑性应变将永久存在， 与应力间的关与应力间的关系

13、不仅取决于应力水平，还取决于加系不仅取决于应力水平，还取决于加载历程。载历程。材料单向受载情形下的性态材料单向受载情形下的性态BAFEEO强度限强度限弹性限弹性限比例限比例限bsp2022-5-1910屈服条件、屈服面与屈服函数屈服条件、屈服面与屈服函数屈服条件：屈服条件： 材料进入塑性后，又称材料发生了屈服。屈服条件，又称屈服准则，材料进入塑性后，又称材料发生了屈服。屈服条件，又称屈服准则，是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的依据。在复杂应力状态下，是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶段的依据。在复杂应力状态下，各应力分量可组成不同的屈服条件。各应力分量可组成不同的屈服条件。屈服面：屈服

14、面： 对于单向应力状态，其屈服条件可以写成对于单向应力状态，其屈服条件可以写成s 可以看出，描述一维问题的屈服条件需要应力应变曲线上的一个临界点（屈可以看出，描述一维问题的屈服条件需要应力应变曲线上的一个临界点（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该曲面服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该曲面称为屈服面。称为屈服面。 至今已出现许多屈服理论。我校至今已出现许多屈服理论。我校俞茂宏教授俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。在这方面做出了重要贡献。123,fC 考虑到塑性变形与静考虑到塑性变形与静水压力无关的特点水压力无关的特点23,F

15、JJC屈服函数：屈服函数： 是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。2022-5-1911塑性本构关系（塑性本构关系（1/61/6）本构关系：本构关系：简单地说，就是材料的应力应变关系简单地说，就是材料的应力应变关系1） 是分析塑性力学问题、进行数值模拟的依据和基础。是分析塑性力学问题、进行数值模拟的依据和基础。2） 一般以增量形式描述，因为塑性力学一般都需要考虑变形一般以增量形式描述，因为塑性力学一般都需要考虑变形的历程，而增量形式恰恰可以做到这点，反映塑性变形的的历程，而增量形式恰恰可以做到这点，反映塑性变形的本质。本

16、质。3） 应力和应变的增量关系与屈服条件有关。因而，研究塑性应力和应变的增量关系与屈服条件有关。因而，研究塑性本构关系，必须紧紧结合屈服条件。本构关系，必须紧紧结合屈服条件。 用增量形式表示塑性本构关系的理论称为用增量形式表示塑性本构关系的理论称为塑性增量（流塑性增量（流动）理论动）理论。相对应地，还有。相对应地，还有塑性全量（形变）理论塑性全量（形变）理论。本构研究中的基本假定：本构研究中的基本假定：材料是各向同性和连续的；材料的材料是各向同性和连续的；材料的弹性性质不受影响；材料是稳定的；与时间因素无关等。弹性性质不受影响；材料是稳定的；与时间因素无关等。2022-5-1912塑性本构关系

17、（塑性本构关系（2/62/6）Levy-Mises增量（流动）理论增量（流动）理论除了以上最基本的假定外，除了以上最基本的假定外，Levy-Mises增量理论还增量理论还假定假定：1）材料是刚塑性的，弹性应变增量为零；）材料是刚塑性的，弹性应变增量为零；2）对理想刚塑性体，符合）对理想刚塑性体，符合Mises屈服准则，即屈服时等效应力满足屈服准则，即屈服时等效应力满足 is222222112222333311122331222222112233122331162322iSSSSSS3）塑性变形时体积不变，即）塑性变形时体积不变，即塑性应变增量的偏量塑性应变增量的偏量部分就等于部分就等于塑塑性应

18、变增量性应变增量，即，即ppijijded自行证明！自行证明！2022-5-1913上式中的上式中的 是一个瞬时的是一个瞬时的非负非负比例因子，称为比例因子，称为流动参数，具有模量倒数流动参数，具有模量倒数的量纲的量纲，在塑性变形过程中是变化的，与线弹性的应力偏量与应变偏量关，在塑性变形过程中是变化的，与线弹性的应力偏量与应变偏量关系的材料参数相似。系的材料参数相似。4）应力主轴与应变增量主轴重合；）应力主轴与应变增量主轴重合；5）应力偏量与对应的应变增量成正比，如引入比例因子）应力偏量与对应的应变增量成正比，如引入比例因子 ，则，则 塑性本构关系（塑性本构关系（3/63/6）d2ijijeS

19、GLevy-Mises增量（流动）理论（续）增量（流动）理论（续）pijijdS dd相似相似线弹性的应力偏量与应线弹性的应力偏量与应变偏量间的关系变偏量间的关系32piidd等效塑性应变增量等效塑性应变增量222222112233122331223pppppppiddededededede222222112233122331322iSSSSSS自行证明！自行证明！2022-5-1914塑性本构关系（塑性本构关系（4/64/6）32piiddPrandtl-Reuss增量理论增量理论 等效塑性应变：等效塑性应变：沿着应变路径沿着应变路径 L积分的积分的“等效塑性应变总量等效塑性应变总量” ，考

20、虑了变形历史的影响。考虑了变形历史的影响。 在在Levy-Mises理论基础上，理论基础上，1924年和年和1930年年Prandtl和和Reuss分别建分别建立了另一增量理论。认为：本构方程中应当计入弹性应变部分。对于理立了另一增量理论。认为：本构方程中应当计入弹性应变部分。对于理想弹塑性材料想弹塑性材料epijijijdedede3122piijijijiddedSSGpiiLHd32iiddHipidHd对于理想弹塑性材料：对于理想弹塑性材料：对于强化材料：对于强化材料：Levy-Mises理论理论自行证明！自行证明！提示：围绕提示：围绕 进行，它是一个很重要的宏观参量。进行，它是一个很

21、重要的宏观参量。i2022-5-1915塑性本构关系（塑性本构关系（5/65/6）pijijfdd增量型塑性流动理论增量型塑性流动理论塑性势与流动法则塑性势与流动法则矢量矢量 平行于梯度平行于梯度矢量矢量 ，因而，因而垂直于等势面。称为垂直于等势面。称为塑性流动法则塑性流动法则。 1938年，年，Melan提出了一般性塑性流动理论，即通用的增量型提出了一般性塑性流动理论，即通用的增量型应力应变关系。假设在塑性变形场内存在塑性势，塑性应变由应力应变关系。假设在塑性变形场内存在塑性势，塑性应变由塑性势表示为塑性势表示为塑性势函数塑性势函数pijijgdd非负比例因子，与非负比例因子，与塑性势的量纲

22、有关塑性势的量纲有关pd grad g 若屈服函数若屈服函数 f 是连续可微的，则可取是连续可微的，则可取 f 做为势函数。做为势函数。（非关联流动）（非关联流动）（关联流动）（关联流动）取取Mises屈服函数做为势函数屈服函数做为势函数222222112222333311122331222222112233122331162322iSSSSSSLevy-Mises、Prandtl-Reuss流动理论。流动理论。 自行证明！自行证明！2022-5-1916 全量理论全量理论又称形变理论，稍后于增量理论建立。又称形变理论，稍后于增量理论建立。认为材料进入塑性认为材料进入塑性阶段以后，各应变分量与

23、应力分量之间存在一定的关系阶段以后，各应变分量与应力分量之间存在一定的关系。其特点是直接。其特点是直接建立起了最终应力与应变之间的方程，因而它比增量理论简单。但形变建立起了最终应力与应变之间的方程，因而它比增量理论简单。但形变理论对加载方式要求比较严格，只有在理论对加载方式要求比较严格，只有在简单加载条件简单加载条件下才更准确。下才更准确。 塑性本构关系（塑性本构关系（6/66/6）全量（形变）理论塑性本构方程全量（形变）理论塑性本构方程 增量理论本构关系增量理论本构关系理论上合理，但应用上比较麻烦，特别是当计理论上合理，但应用上比较麻烦，特别是当计算机还不十分发达的时候。算机还不十分发达的时

24、候。对增量理论积分对增量理论积分初始状态的应力和应变初始状态的应力和应变塑性变形过程的单调函塑性变形过程的单调函数数 ，对理想弹塑性材料，对理想弹塑性材料，为常数。为常数。 就是各应力分量按同一比例就是各应力分量按同一比例增加：增加：1）应力主轴和应变主应力主轴和应变主轴的方向在整个加载过程中轴的方向在整个加载过程中保持不变；保持不变；2）应变增量的主）应变增量的主轴和应力主轴重合。轴和应力主轴重合。 00ijijijijcScS2022-5-1917弹塑性问题的有限元解法（弹塑性问题的有限元解法（1/111/11） 与弹性问题比较，弹塑性材料在本构关系上是典型的与弹性问题比较，弹塑性材料在本

25、构关系上是典型的物理（材料）物理（材料）非线性非线性，通常，通常结合流动理论、用增量法结合流动理论、用增量法予以求解。予以求解。假定假定 时刻的各量已知，欲时刻的各量已知，欲求求 时刻的各量。时刻的各量。 ttt如如Levy-Mises、Prandtl-Reuss、塑性势理论，塑性势理论， 。增量型弹塑性本构关系的显函数形式增量型弹塑性本构关系的显函数形式 epddd总应变总应变弹性应变弹性应变塑性应变塑性应变1eepdDdfdd虎克弹虎克弹性矩阵性矩阵eeepeefdDdDddDdDd初应变法：初应变法：塑性应变部分视为初应变，做为载荷项来处理。塑性应变部分视为初应变，做为载荷项来处理。pi

26、dd？2022-5-1918弹塑性问题的有限元解法（弹塑性问题的有限元解法（2/112/11）增量型弹塑性本构关系的显函数形式（续）增量型弹塑性本构关系的显函数形式（续）材料进入塑性后，加载时刻材料进入塑性后，加载时刻 的屈服函数为的屈服函数为t,0tpijijfk与加载历程有与加载历程有关的硬化参数关的硬化参数,0ttpijijfk0pijijpijijfffdddkk（一致性条件）（一致性条件）相关相关结合本构关系结合本构关系pdAdeepeDdDdDAdd 切线刚度法切线刚度法的弹塑性本构关系的弹塑性本构关系2022-5-1919弹塑性问题的有限元解法（弹塑性问题的有限元解法（3/113

27、/11）增量型弹塑性本构关系的显函数形式（续）增量型弹塑性本构关系的显函数形式（续）3,2pijijfS Sd就是硬化参数就是硬化参数 k ，此，此时赋予了时赋予了“应力强度应力强度”这一物理意义。这一物理意义。（一致性条件）（一致性条件）各向同性强化的各向同性强化的Mises屈服函数：屈服函数： 对于随动强化，对于随动强化，k为常数为常数对于其它屈服条件，步骤相同，但对于其它屈服条件，步骤相同，但标量标量 的显式形式将更为复杂！的显式形式将更为复杂！ 23322302TTeeIITpISDdSDS dHSd 232TeISSDA 23322TTepIIHSDS 232TeISDS与塑性应变有

28、关的应力，变与塑性应变有关的应力，变成矢量形式时，按应变规律成矢量形式时，按应变规律变化，而非按应力形式。变化，而非按应力形式。2022-5-1920弹塑性问题的有限元解法（弹塑性问题的有限元解法（4/114/11） TeeVTTeeeeepeVSKBNBNdVFNbdVDNtdS有限元方程的建立及求解有限元方程的建立及求解（t 时刻结构不平衡力的修正）时刻结构不平衡力的修正）增量形式的势能泛函为：增量形式的势能泛函为： 0TTVVTeSdVub dVutdSF 0ijijiieiiVVSdVbu dVtu dS TTTeVVSFdVub dVutdS eeeKqF TeeVTTeeeeeVS

29、KBNDBNdVFNbdVNtdS弹塑性阶段弹塑性阶段在在增量意义上增量意义上是是拟线性的拟线性的。弹性阶段或卸载阶段弹性阶段或卸载阶段是线性的是线性的。目前究竟处于哪个状态，需要本构迭代加以判断。目前究竟处于哪个状态，需要本构迭代加以判断。2022-5-1921弹塑性问题的有限元解法（弹塑性问题的有限元解法（5/115/11）有限元方程的建立及求解（续）有限元方程的建立及求解（续）弹塑性分析的主要流程弹塑性分析的主要流程输入数据输入数据施加一个载荷增量施加一个载荷增量组装切线刚度矩阵组装切线刚度矩阵求解得到位移及应变求解得到位移及应变计算单元各高斯点处的应力计算单元各高斯点处的应力计算结点不

30、平衡力计算结点不平衡力输出必要结果输出必要结果进入新的载荷增量步进入新的载荷增量步结束结束若必要若必要以之代替右端项以之代替右端项进入弹塑性迭代进入弹塑性迭代子增量法子增量法主迭代主迭代子迭代：子迭代：将平衡方程迭代与本构方程迭将平衡方程迭代与本构方程迭代分开，代分开，主迭代主迭代进行平衡迭代，进行平衡迭代，子迭代子迭代进行本构迭代。进行本构迭代。子迭代子迭代：（共：（共8步）步）Step 1，计算应变增量，计算应变增量 u Bu ttt Step 2，假设目前材料处于弹性，假设目前材料处于弹性状态，则应力增量为状态，则应力增量为 eD2022-5-1922弹塑性问题的有限元解法（弹塑性问题的

31、有限元解法（6/116/11）子迭代子迭代：（续）：（续）Step 3，计算应力增量，计算应力增量 Step 4，计算加载函数，计算加载函数 ttt ttttf代入代入Step 5，判断加载方式，判断加载方式 If0ttfThen是弹性的，或是中性加载或卸载。是弹性的，或是中性加载或卸载。 就是真实解。转至主迭代。就是真实解。转至主迭代。ttIf0ttfThen 继续下一步。继续下一步。2022-5-1923弹塑性问题的有限元解法（弹塑性问题的有限元解法（7/117/11）子迭代子迭代：（续）：（续）Step 6，确定屈服点，确定屈服点 否则，表明在本增量步内材料由弹性状态进入了塑性状态，必须

32、确定否则，表明在本增量步内材料由弹性状态进入了塑性状态，必须确定弹性部分应变增量在总应变增量中的比值。弹性部分应变增量在总应变增量中的比值。 Step 7，计算弹塑性应变增量，计算弹塑性应变增量 若时刻若时刻 时应力已处于塑性状态，直接转至时应力已处于塑性状态，直接转至Step 7 tt0tfr 进入初始屈服时占应力增量的比值进入初始屈服时占应力增量的比值 ttsr 定义初始屈服应力定义初始屈服应力1epr得到弹塑性应变得到弹塑性应变Step 8，计算弹塑性应力，计算弹塑性应力 epepD一步粗略计算一步粗略计算 s 对应于弹塑性应变增对应于弹塑性应变增量的应力增量量的应力增量？epep 11

33、1mmmmmepmepD分步精确计算分步精确计算2022-5-1924弹塑性问题的有限元解法（弹塑性问题的有限元解法（8/118/11）弹塑性问题的非经典解法弹塑性问题的非经典解法数学规划方法数学规划方法 弹塑性问题与弹性问题相比，其复杂性弹塑性问题与弹性问题相比，其复杂性源于本构关系源于本构关系，但是，一，但是，一旦加载历史给定，施加一载荷增量后，其旦加载历史给定，施加一载荷增量后，其解是确定的解是确定的，只是处于待求，只是处于待求状态，这表明，该问题可以借助最优控制论的思想来求解状态，这表明，该问题可以借助最优控制论的思想来求解 。ttt从从 间隔内所应遵循的规律：间隔内所应遵循的规律：

34、屈服条件及加载函数屈服条件及加载函数 0,TTpppffffkfdddkkpijijfdd（流动法则）（流动法则） 32eedDdDS d（弹塑性本构关系）（弹塑性本构关系） 0TeTTepfffDdfgfgfDh dk 00ffWdMdhdk d（加载函数的单边性条件）（加载函数的单边性条件）（基本变量）（基本变量）2022-5-1925弹塑性问题的有限元解法（弹塑性问题的有限元解法（9/119/11）屈服条件及加载函数（续）屈服条件及加载函数（续）00ffWdMd,00,0;0fdddd（非负互补性条件！）（非负互补性条件！）在控制理论中称为松弛变量，可将控制变量与屈服函数定量地联系起来。

35、在控制理论中称为松弛变量，可将控制变量与屈服函数定量地联系起来。 上述互补性条件表明：上述互补性条件表明：If0dThen00f （对应于弹性卸载）（对应于弹性卸载）If0dThen00f （对应于塑性加载）（对应于塑性加载）2022-5-1926弹塑性问题的有限元解法（弹塑性问题的有限元解法（10/1110/11）弹塑性问题的能量原理弹塑性问题的能量原理 弹塑性问题的能量原理，对应于控制理论中的目标（指标）弹塑性问题的能量原理，对应于控制理论中的目标（指标）函数。下面介绍钟万勰研究组提出的弹塑性问题的能量原理。函数。下面介绍钟万勰研究组提出的弹塑性问题的能量原理。（弹塑性总势能增量）（弹塑性总势能增量）变分宗量变分宗量 min;s.t.;00,0;0dudfduddd 1;2TTeVTTeVSduddDddR ddVdub dVdutdS参变量，物理意义为流参变量，物理意义为流动参数，不参与变