对数与对数函数(基础)----知识讲解

1、对数与对数函数【考纲要求】1 .掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数；2 .掌握对数函数的概念、图象和性质.3 .正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.4 .通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法;【知识网络】【考点梳理】考点一、对数概念及其运算我们在学习过程遇到 2x=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2x=3时，我们就无法用已学过的知识 来解决，从而引入出一种新的运算一一对数运算(一)对数I念：1 .如果ab =N(a >0,且a#1),那么数b叫

2、做以a为底N的对数，记作：log aN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.ab 二 N2 .对数恒等式：>=a gaN = Nloga N 二 b3 .对数loga N (a >0,且a #1 )具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即 N >0;(2)1的对数为0,即loga1 = 0 ；(3)底的对数等于1,即logaa=1.(二)常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，10g10 N简记作lg N .以e为底的对数叫做自然对数，log e N简记作ln N .(三)对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可

3、以互相转化它们的关系可由下图表示.指数式对数式指数对数幕真数IIab=N1 口及N=h底数由此可见a, b, N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化(四)积、商、哥的对数已知 loga M ,loga N (a A0且a #1 M、N>0)(1) loga (MN )=loga M +loga N ；推广：lOga(NiN2 |Nk )=loga Ni +lOgaN2 +| + loga Nk(Ni、山、川、Nk>0)(2) loga M =loga M -loga N ； N(3) loga M 二=：loga M .(五)换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在

4、a>0, awl, M>0的前提下有：(1) loga M =log n M n (n R) a令 log aM=b 则有 ab=M (a b) n=Mn,即(an )b = M n,即 b = log n M n,即：log a M = log n M aalogc M ,(2) log a M = (c>0,c#1),令 log aM=blog ca则有 ab=M 则有 logc ab = log c M (c a0,c = 1)即 b log c a = log c M ,即 b = 10g c M , logc a即 loga M = 10g c M (c 0,c ；

5、 1)logc a当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题 (1)又有它的灵活性.1而且由(2)还可以得到一个重要的结论：log a b = (a a 0, a = 1, b a 0, b = 1).logb a考点二、对数函数及其图像、性质1 .函数y=log ax(a>0 , a w 1)叫做对数函数.2 .在同一坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；理大增大当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见图1)图1(1)对数函数y=log ax(a>0 , aw 1)的定义域为(0, +8),值域为 R(

6、2)对数函数y=log ax(a>0 , aw1)的图像过点(1, 0)0(x 1)(3)当 a>1 时，loga x=0(x =1): 0(0 x ：二1)N0(x 1)当0 : a ：二1 时，logax =0(x =1)0(0 二 x 二 1)【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化:4111 一(1) log28 =3； (2) log1 9= 2; (3) log 埒x=3; (4) 5 =625； (5) 3 = -； (6) -I =16.3、°343 一 1 n - 31一一一【解析】(1) 2 =8; (2) , I=

7、9； (3)(6 )= x; (4) log5 625 = 4 ; (5) log3 = -1 ； (6) 10gl16 =-2.334【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重 要手段.举一反三：【变式】求下列各式中x的值：22(1) log64 x = - - (2)10gx8 =6 (3)lg100=x (4) -ln e =x3222，：3 ：-3 (. _：)11【解析】(1) x = (64) 3= (4) 3=4 3 =4 =；161111(2) x6 = 8,所以 x = (x6 )6 = (8)6 = (23 )6 = 2

8、万=2 ；(3)10 x=100=102,于是 x=2；(4)由ln e2 =x,得 一 x = ln e2,即e, = e2所以乂= -2.类型二、对数运算法则的应用例2.求值 log 89 10g 27321 .1 ,(3) log 64 32 log 2 - 10g 3 - 10g 5258一3 log 2(1og 2 32 log 1 log 4 36)24(4)(1og 2 125+log 425+log 85)(1og 1258+log 254+log 52)【解析】(1)原式= 1og?3 32 40g 33 2 5 =? 5=1023 39(2)原式= 1og26 2510g2

9、54 10g324 10g53, =103._2.3. 一一(3)原式=log2(5 +1og2- + log22 6 ) = log2(5 - log27 +1og2 6) = log 28 = 31(4)原式=(l0g 2125+10g 425+10g 领 1258+10g 254+10g 52)=(310g25 + 10g25+3 log 2 5)(310g 5 2)13=-31og5 21og 25 =13举一反三：【变式】已知：log 23=a, log 37=b,求：10g 4256=?11【斛析】 log 3 2 = ，log 3 2 = 一，log 2 3a6log42 561

10、0g3 5610g3 42log 3 7 log 3 81og3 7 10g 3 610g 3 7 31og 3 210g 3 7 1 10g 3 2b 9 a1b 1 - aab 3ab a 1类型三、对数函数性质的综合应用例3.已知函数f (x) =10g 1(x2+2x) (1)求函数f(x)的值域；(2)求f(x)的单调性2【解析】(1沟题得-x2 2x 0 x2 -2x ： 0 . 0 ： x < 2当 0 二 x ：二2时,y =-x2 2x - -(x2 -2x) (0,121og1 (-x2x) . log 11 =022函数y = 1og 1(-x2 +2x)的值域为0

11、,收). 2(2)设u =-x2 +2x(0 <x <2) v = 1og1 u 2函数u=-x2+2x在(0,1)上是增函数，在(1上是减函数。v = 1og1 u是减函数 2二由复合函数的单调性得函数f( x)= 10g1 (-x2 +2x)2在(0,1上是减函数，在(1,2)上是增函数。举一反三：【变式】已知f(1og ax)= a(x1) (a>0且aw1),试判断函数f(x)的单调性.x(a -1)【解析】设 t=10g ax(x R+, t e R).当 a>1 时，t=10g ax 为增函数，若 t1<t2,则 0<x1<x2,a(x2

12、-1)a(x22 -1)a(x1 -X2)(XiX2 1)一 f(t 1)-f(t2)22=2,x1 (a -1)x2(a -1) x1x2(a 7)0<x i<X2, a>1 , f(t 1)<f(t 2) , f(t) 在 R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f在R上为增函数.不论a>1或0<a<1, f(x)在R上总是增函数.例4.求函数y= log 1 (-x 2+2x+3)的值域和单调区间. 2【解析】设 t=-x 2+2x+3,则 t=-(x-1)2+4.- y= log 11 为减函数，且 0<tw4,y > l

13、og 1 4=-2 ,即函数的值域为-2 , +0° ).22再由：函数 y=10g1 (-x 2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0,即-1<x<3. 2t=-x 2+2x+3在(-1 , 1)上递增而在1 , 3)上递减，而y= log 1 t为减函数.21函数y=1og1(-x 2+2x+3)的减区间为(-1 , 1),增区间为1 , 3).2例5.判断下列函数的奇偶性. f(x)=1g1x; (2) f (x) = 1n( - 1 x2 - x).1 x【解析】由. 0可彳导-1 ：二x ：二1所以函数的定义域为：(-1 , 1)关于原点对称又 f (

14、-x) =lg1 -x1 -x 1=lg(F)，1g1 -xG 一 (x)即f (_x) = - f (x)所以函数f(x)=lg1- xTEW1 x函数;【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形(2)【解析】由Ji + x2 -xA0可得xWR所以函数的定义域为 R关于原点对称，又f (-x) = ln(.1 x2x) = In(,1 x2 x)( . 1 x2 - x).1 x2 -x即 f(-x)=-f(x)；所以函数 f (x) =ln(j1 +x2 -x)是奇

15、二八1函数.=-ln( , 1x2 - x) = - f (x)【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.例6.已知函数h(x)=2 x(x CR),它的反函数记作 g(x) , A B C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别 为 a, a+4, a+8(a>1),记 A ABC的面积为 S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2,求a的取值范围.【解析】(1)依题意有g(x)=log 2x(x>0).并且A(a,A,A、B C三点的坐标

16、分别为log 2a) , B(a+4 , log 2(a+4) , C(a+8 , log 2(a+8) (a>1).C中点D的纵坐标为 1 log 2a+log 2(a+8)2S= 1 |BD|2- 4 - 2=4|BD|=4log2(a+4)-2log 2a-210g 2(a+8).(2)把 S=f(a)变形得：S=f(a)=22(a 4)2 .2log 2(a+4)-log 2a-log 2(a+8) =2log 2- =2log 2(1 +a(a 8)-). a2 8a由于a>1时,a2+8a>9,，1<1 +216竺,又函数 y=log 2x在(0 , +8)上是增函数, a 8a 90<2log(3)S=f(a)证明如下：16162(1+ 2a 8a在定义域(1 ,)<2log 2 25 ,即 0<S<2log2-259+ 8)上是减函数,(1+ F)-(1 +a 2 '8a2任取 a1, a2,使 1<a1<a2<+°0,贝U：1611、(a-a2)(a1 a2 8)-2)=16 , 22，a18a1(a2 8a2)(a2 8a1)由 a1>1, a2>1