导数的四则运算法则

1、§ 4 导数的四则运算法则、教学目标:1 .知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。2 .过程与方法通过用定义法求函数f(x)=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。3 .情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。二、教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用教学难点：导数四则运算法

2、则的证明三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、复习：导函数的概念和导数公式表。1 .导数的定义：设函数yf(x)在xx0处附近有定义，如果x0时，y与x的比上(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做xx函数yf(x)在xx0处的导数，记作y/x%,即f/(x0)lim上(&x)-f立x0x2 .导数的几何意义：是曲线yf(x)上点(x°,f(x°)处的切线的斜率.因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程为yf(x0)f7x0)(xx°).3 .导函数(导数):如果函数

3、yf(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x(a,b),都对应着一个确定的导数fix),从而构成了一个新的函数f/(x),称这个函数flx)为函数yf(x)在开区间内的导函数，简称导数，4 .求函数yf(x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量yf(xx)f(x).(2)求平均变化率_yxf(xx)f(x)(3)取极限，得导数y/=f(x)5.常见函数的导数公式:C'0;(xn)'nxn(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)yu(xx)v(xx)u(x)v(x)u(

4、xx)u(x)v(xx)v(x)uv,.、-uv.y,limlimuvuvlimlimxxxx0xx0xxx0xx0x即u(x)''v(x)u(x)'v(x).f(x)u(x)v(x),证明：令y例1：求下列函数的导数:解:2x(1) yx2；(2)lnx；(3)(x21)(x1)；(4)(1) y(x22x)(x2)(2x)2x2xln2(2)lnx)(.x)(lnx)(x21)(x1)(x31)(x3)(x2)(x)(1)3x22x(x2)(x1)(x2)2x3x(3) 2x2x31.、一一例2:求曲线yx3上点(1,0)处的切线方程。X解：yx31x31xx将x1

5、代入导函数得rr,、31即曲线yx上点(1,x3x2-2ox1，314o10)处的切线斜率为4,从而其切线方程为y04(x1),即y4x4。设函数y2.f(x)在x0处的导数为f(xo),g(x)xo我们来求y-2-f(x)g(x)xf(x)在x0处的导数。y(x°x)2f(x0x)x2f(x。)xx222(x°x)f(x0x)f(x。)(%x)xf(x0)x(x0x)2f(x0x)f(x0)(x0x)2x2f(x。)xx令x0,由于lim°(x0x)2xlimBx0x)f(x0)f(x0)limx(x022x)x0x2x°知yf(x)g(x)x2f(x

6、)在x0处的导数值为x2f(x0)2x0f(x0)。因此yf(x)g(x)x2f(x)的导数为x2f(x)(x2)f(x)。般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x),我们有f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g(x)g2(x)特别地，当g(x)k时，有例3:求下列函数的导数:(1)(2) y“sinx；(3) yxlnx。解：(1)(x2ex)(x2)2x、x(e)2xexx(2xx2)ex；(2)(xsinx)(.x)sinx.x(sinx)sinx2xxxcosx；(3)(xlnx)(x)Inxx(lnx)1Inx

7、lnx1。(1)Inx解：(1)sinx(sinx)xsinx(x)cosxsinx1xcosxsinx2；x(2)y2xlnx(x22)lnxx(lnx)(lnx)22x,2lnxxln2xx(2lnx1)ln2x(三)、练习:课本P44练习：1、2.课本P46练习1.(四)课堂小结:本课要求：1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数;3、能运用导数的几何意义，求过例4:求下列函数的导数:sinx;x曲线上一点的切线。f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x)(五)、作业:课本P47习题2-4:A组2、3B组五、教后反思：本节课成功之点：(1) 从特殊函数出发，利用已学过的导数定义来求f(x)=x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明(2) 由定义法求f(x)=x2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。(3) 通过上述的教学过程，让学生