固体物理第一二章习题解答

1、章习题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章习题1 .画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各晶体的结构以及惯用原胞、初基原胞中的原子个数和配位数。 氯化钾：（2）氯化钛；（3）硅；（4）硅化钱；（5）碳化硅（6）笆酸锂；（7）镀：（8）铝；（9）铝。解:布拉名称 分子式 结构惯用元胞菲格惯用元初基兀胞胞中原 配位数中原子数子数氯化钾KC1氯化钛TiClSi珅化钱GaAs碳化硅SiCfeeCsCl 结fee闪锌矿fee闪锌矿NaCl 结金刚石2、 6、 12i2 .试证明：理想六角密堆积结构的上=:-=1.633。如果实际的上值比这个数值大得多,

2、a k 3 /a可以把晶体视为由原子密排平面所组成，这些面是疏松堆垛的。证明：如右图所示，六角层内最近邻原子间距为a,而相邻两层的最近邻原子间距为：因此层间堆积不够紧密。3 .画出立方晶系中的下列晶向和晶面：ioi、lio、112、121、 (110) . (211)、(111)(112) o解：4.考虑指数为(100)和(001)的面，其晶格属于面心立方，且指数指的是立方惯用原21胞。若采用初基原胞基矢坐标系为轴，这些面的指数是多少？ 解：如右图所示：在立方惯用原胞中的(100)晶面,系中，在二、7、7三个基矢坐标上的截距为卜2双&),指数为(101) °同理，(001)晶

3、面在初基原胞基矢坐标系内Z上的截距为则晶面指数为(110)。5 .试求面心立方结构(100)、 (HO) x (111)晶面族的原子数面密度和面间距，并比较大小；说明垂直于上述各晶面的轴线是什么对称轴？ 解：晶面指数原子数面密度面间距对称轴(100)2 不aC4(110)L4 户V2a 2C2(111)2.3 a2<3a3C36 .对于二维六角密积结构,初基原胞基矢为：7=以；+司），.=理二C = cko求其倒格子基矢，并判断倒格子也是六方结构。解：由倒格基失的定义，可计算得：彳J"r% =三（；+L）,。 a J3T TT fb?=- = （一，+不）人 by =- =k

4、（未在图中国出）。 a J3Q c正空间二维初基原胞如图（A）所示，倒空间初基原胞如图（B）所示（1）由后、后组成的倒初基原胞构成倒空间点阵，具有C6操作对称性，而C6对称性是 六角晶系的特征。（2）由、构成的二维正初基原胞，与由彳区构成的倒初基原胞为相似平行四边 形，故正空间为六角结构，倒空间也必为六角结构。（3）倒空间初基原胞基矢与正格子初基原胞基矢形式相同，所以也为六方结构。7,用倒格矢的性质证明.立方晶系的万幼晶向与（秘。晶面垂直。证明：由倒格矢的性质，倒格矢以“="/0+攵E+/公垂直于晶面（力切。由晶向指数m初,晶向可用矢量力表示，则：A = ha + ka2 + la3

5、 o倒格子基矢的定义：心吗；心吗i ；兄=吗&> T 在立方晶系中，可取对、。2、%相互垂直且"1 = "2 =。3 ,则可得知碎I,琲2,琲3,且方=岳=九。设昌=？（为常值，且有量纲，即不为纯数）， rl贝lj Ghki = m（ha +ka2 + la3） =mA,即G/俏与A平行;也即晶向切垂直于晶面（刷8 .考虑晶格中的一个晶面（秘/）,证明：他）倒格矢曲=力+口2+区3垂直于这个晶面；3）晶格中相邻两个平行晶面的间距为4阳=E ；（C）对于简单立方晶格有(力2 +k2 +/2)证明：（a）晶面（M/）在基矢办Z上的截距为表可;作矢量:=042X43

6、2疝-_p+ 2成 6/1 卜2 X6/3 )+ 2疝="小"= a 12 X43)同理，有I? G/j =0, in3 Gh = 0所以,倒格矢合（必/）晶面，（b）晶面族（hkl）的面间距为：Gh a hb +kb2 +lby 27r =Gh h G/r Gfl(c)对于简单立方晶格：Gh =h2 +k2 +l29 .用X光衍射对Al作结构分析时，测得从(111)面反射的波长为L541,反射角为比19.2°,求面间距力“0解：由布拉格反射模型，认为入射角二反射角，由布拉格公式：2小加柒儿 可得nA2sin£(对主极大取n=)现由倒空间劳厄方程出发，推

7、导Blagg公式。应斛而(A)晶面族。所以，G、的垂直平分面必与该晶面族平行。短倒格失，由倒格子周期性：5/. =nGh =27r-11(B)1 54。d =-=2.34(A)2 x sin 19.2°10 .试证明：劳厄方程与布拉格公式是等效的。证明：由劳厄方程：&,(k-ko) = 2平 与正倒格矢关系：= 2%/比较可知：若落1=工-工。成立，即入射波矢0,衍射波矢支之差为任意倒格矢3力，则方向产 生衍射光，G4 =k-如式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。对弹性散射：% = K。由倒格子性质，倒格矢为垂直王该由右图可知:Gh = 2ksing =sin6 A一'

8、;'24 一又若处为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：Gh =亍；若6|不是该方向最 比较(A)、(B)二式可得： 2dSin0=nA 即为Blagg公式。11 .求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面指数与衍射强度的关系。解：每个惯用元胞中有八个同类原子，其坐标为:(000),j°£V444；331、444；444；U3<444；结构因子:sNf/2前m=fa 1 + e，3)+ J*/) + a e孕“M + /叱孕)+ '小”询前四项为在c的结构因子，用R表示从后四项提出因子c 1rle, iJT（hk）, /厅（“/） , /力（女-/）s从/

9、=%+，/-V + e +e +eJ"/ +7 2白MM=F, + e2因为衍射强度/xS嘉,c2 r2 i7氧h+k+I>S®"R + e- W + ” 一-力 W）-Q/1+A+/）=Fj 2 + e 2 +e 2用尤拉公式整理后：s-kl = IF l + cosg( + k+。讨论：1、当力、忆、/为奇异性数(奇偶混杂)时，Ff =0,所以S；h=0 ；2、当力、葭/为全奇数时，S3= 2斤=2x(4力尸=32后；3、当力、葭/全为偶数，且+ % + / = 4(为任意整数)时，S"= 2号(1 + 1) = 4x16# =64/涓当万、k

10、、/全为偶数，但/? +女+ /工4，则/? + k + / = 22 + 1)时，53=28(1-1) = 012.证明第一布里渊区的体积为予，其中匕是正格子初基原胞的体积。 %证明：根据正、倒格子之间的关系：727r（小 X%）丁 24（。3乂。）72/r（4Xa）4=,/=: ；I八=-复.。匕是正格子初基原胞的体积，第一布里渊区的体积为就为倒格子原胞的体积，即(3 xm)x(ai xai)第二章习题1、已知某晶体两相邻原子间的互作用能可表示成：u=-二+4，求： 7, r(1)晶体平衡时两原子间的距离；平衡时的二原子间的互作用能；(3)若取=2, n=10,两原子间的平衡距离为31,仅

11、考虑二原子间互作用则离解能为4eV,计算。及的值；若把互作用势中排斥项二改用玻恩-梅叶表达式2exp -,并认为在平衡时对互 P)作用势能具有相同的贡献，求和间的关系。解：由。(r)= -=+ 3,平衡时：凹。=,呜"-加方一=0,得： r比 /端F =处，化简后得： =(业户。cunam(2)平衡时把为表示式代入伙厂)中：(%)= 由八)表示式得：3xl07°=2)* a若理解为互作用势能为二原子平衡时系统所具有的能量，由能量最小原理，平衡时系统能量具有极小值，且为负值；离解能和结合能为要把二原子拉开，外力所作的功.为正值，所以，离解能二结合能二-互作用势能，由U式的负值

12、，得:ab4xl.6xl0-19+-(3xlO-10)2 (3X1O-10)10化简为：6.4x10 = +： 4rxI。-的 9 3略去第二项计算可得：« = 7.2xl0-3SJ nr, 。= 9.45x10-8/(4)由题意得："=/*3i、+ In -In 2 - - = In Z7 - a? In , n In)= + In , 则：n =-pp 2In r0又解：*式两边对，。求导，得：与*式比较得：-=i可解得：“ =p2、N对离子组成的Nacl晶体相互作用势能为：U(R) = NB aJ证明平衡原子间距为：端=皆证明平衡时的互作用势能为：(/(%) = -&

13、#169;(1-3 ；4宓“若试验试脸测得Nacl晶体的结合能为765打加晶格常数为5.63xlO lo/»,计算Nacl晶体的排斥能的帚指数凡已知Nacl晶体的马德隆常数是cc=1.75OR证明：由：U(R) = N v Rae4%/?得：曙一次ft aJ(l)k=Nae Bn人.d"R)V ' R=0,即 NR=%ae1 Bn=0得：端=等(2)把以上结果代入U(R)式,并把R取为R),则：U(R0) = Na(r4唐曲?(4,£心)士4在(上当泸aJ '纷'。'ac:)=-N4必。凡I1-1n)若认为结合能与互作用能符号相反，

14、则上式乘“一二(3)由之结论整理可得:=NourNae2 +4在0凡(凡)式中：N = 6.0x10"n, e = 1.6xl()79库仑 4 =8.85x10* 法/米若题中Ro为异种原子的间矩，则：凡=0.5x5.63x10"。？；U(R0) = -7.65x103/ U (平衡时互作用势能取极小值，且为负,而结合能为正值)马德隆常数：2 = 1.75,将这些一致数据代入的表达式中，贝IJ：-4一o&U(R0) -4x3.14x8.85x1012 x2.82x 10-,0 x7.65x 105 “时1 - 1 -Nae-6.0 xl023 xl.75 x 2.5

15、6 x 103、如果把晶体的体积写成:V=耶R)式中N是晶体中的粒子数；R是最近邻粒子间距；P是结构因子,试求下列结构的夕值:於；bcc ；NaCl ；金刚石。解：取一个惯用元胞来考虑：结构VoNoRopfee4V2叵u22bee2V3a24/NaCl8a12金刚石8C a 483%4、证明：由两种离子组成的间距为岛的一维晶格的马德隆常数。= 21n20 已知 X证明：由马德隆常数的定义：a = y±2,其中同号离子取异号离子取“ + ”。 若以一正离子为参考点，贝卜工 1 111/1111 "Ia = 2 + + - + h+ I - 2 - H H + + (A3 5

16、In -1) k 2 4 6 2nx又由已知ln2 = M(l)代入(A)式，则:a = 21n25、假定由2N个交替带电荷为土q的离子排布成一条线，其最近邻之间的排斥势为二，试证明在平衡间距下有：4阳小证明：由u+督jdU(R)dR4庇0(7)k=N人.dU(R)V . R=0,即 NR=R)=0得：4=.。把该式代入式,并把R取为R。，贝IJ：U(R°) = N4叫(等声4 宏 0Koi1-1n)(A)由马德隆常数的定义：其中同号离子取一，异号离子取一。若以一正离子为参考点，贝IJ ：+2 一 1)(2 4 62)(B)x-1 又由已知ln2 = Z(1)二 代入(B)式，则：a

17、 = 21n2。将。代入(A)式，得: /r-l”6、试说明为什么当正、负离子半径比匕/=>1.37时不能形成氯化镑结构；当仁"+>241时不能形成氯化钠结构。当一化>2.41时将形成什么结构？已知Rb。、AgBr及BeS中正、负离子半径分别为：rVnmr+/nmRbClAgBrBeS0.1490.1130.0340.1810.1960.174若把它们看成是典型的离子晶体，试问它们具有什么晶体结构？若近似地把正、负离子都看成是硬小球，请计算这些晶体的晶格常数C 解：通常:>:，当组成晶体时，可以认为正、负离子球相互密接。对氯化能结构，如图（a）所示，8个正离子组成立方体，负离子处在立方体的中心所以立方体的对角线 =2匕+2立方体的边长为：+心)（13忑=为了能构成氯化葩结构晶体，负离子的直径2乙必须小于立方体的边长”，即对于氯化钠结构，如图（b）所示为氯化钠结构的一个惯用原胞（10。）面的离子+r+),由此可得：r_/r+ <-t = 1.37。 731分布情况，这里设正离子处在顶角，由图可见,2匕<=肉.+° 则看=2 。所以，构成氯化钠结构乙/，,