一元函数微分学-ppt课件

1、二、一元函数导数与微分二、一元函数导数与微分 导数反映了函数因变量相对于自变量变导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。化的快慢程度，即：函数的变化率。 微分指明微分指明, 当自变量有微小变化时，函数当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。大体上改变了多少。（一导数与微分（一导数与微分（1导数概念导数概念导数的定义导数的定义 左导数与右导数左导数与右导数,导数的几何意义与物理意导数的几何意义与物理意义义, 可导与连续的关系可导与连续的关系（2求导法则与导数的基本公式求导法则与导数的基本公式导数的四则运算导数的四则运算 反函数的导数反函数的导数 导数的基本公式导数的

2、基本公式（3求导方法求导方法复合函数的求导法复合函数的求导法 隐函数的求导法隐函数的求导法 对数求导法对数求导法 由参由参数方程确定的函数的求导法数方程确定的函数的求导法 求分段函数的导数求分段函数的导数（4高阶导数高阶导数高阶导数的定义高阶导数的定义 高阶导数的计算高阶导数的计算（5微分微分微分的定义微分的定义 微分与导数的关系微分与导数的关系 微分法则微分法则 一阶微分形一阶微分形式不变性式不变性2要求（1理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数（2会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。（3熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数的求导方法，

3、会求反函数的导数。4掌握隐函数求导法、对数求导法以及由参数方程所确定函数的求导方法，会求分段函数导数。（5理解高阶导数概念,会求简单函数n 阶导数。（6理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。 求求 导导 法法 那么那么基本公式基本公式导导 数数xyx 0lim微微 分分xydy 关关 系系)( xodyydxydyydxdy 高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分主要内容主要内容1.1.变速直线运动某一时刻的瞬时速度问题变速直线运动某一时刻的瞬时速度问题 质点运动的路程质点运动的路程S S是时间是时间t t的函数：的函数：S=S(t).S=S(t).从时刻从时刻

4、t t到到t+t+t t时间段内，质点走过的路程为：时间段内，质点走过的路程为： S=S(t+t)-S(t)S=S(t+t)-S(t)在时间间隔在时间间隔tt内，质点运动的平均速度为内，质点运动的平均速度为: :ttSttStSv )()(ttSttSLimtvvt )()()(0 平均速度平均速度 与与tt的取值有关，一般不等于质点在时刻的取值有关，一般不等于质点在时刻t t的速度的速度v v，但，但tt的值愈小，的值愈小， 愈接近于愈接近于t t时刻的速度时刻的速度v(t)v(t)。因。因而而, ,取极限取极限t t0,0,质点在时刻质点在时刻t t的瞬时速度的瞬时速度: :vv1. 问题

5、的提出问题的提出例例 自由落体运动的瞬时速度问题自由落体运动的瞬时速度问题0tt ,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于, t 运动时间运动时间tsv 平均速度平均速度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得2t)(tlimv00 gtt瞬瞬时时速速度度.0gt 自由落体运动的路程自由落体运动的路程S是时间是时间t的函数：的函数：.21)(2gttS T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为为割割线线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲

6、曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 例例 f(x)=x2 , M(1,1), 则则M点处的切线方程点处的切线方程 : y -1=k(x-1). 211lim1)1()(limtan211 xxxfxfkxx其其中中2.曲线的切线问题曲线的切线问题.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000,)(00 xxxxdxxdfdxdy 或或1.导数的定义导数的定义说明一： 假如xyx0lim存在，,lim0 xyx处导数为无穷

7、大0 x在处不可导则称可导与不可导可导与不可导假如xyx0lim不存在，0 x xfy 在处可导则称假如 xfy 则称0 x在 xfy 关于导数的说明：关于导数的说明：说明二： 如果函数 f x( )在区间 ba,ba,导函数导函数内每一点都有导数， 1x 1xf 2x2xf x xf 函数 在区间 ba,y， xyddxxfd)(df x( )导函数，即导函数，即内有一也可记作 xxfxxfxfx0lim， 导数与导函数的区别与联系区别： 0()fx是一常数。 xf 是一函数。 联络： 即 函数 ( )f x在点 x0处的导数 0()fx就是导函数 xf 在0 xx处的值，0()fx 0 x

8、 xfx说明三： 导数的几何意义导数的几何意义xyoT xfy 0M0 xxx0Mxy函数 xf在点0 x处的导数0 xf 就是函数所表示的曲线在点00, yx处切线的斜率)( 0 xfk yxo0 x xfy 00 xfkyxo0 x xfy 0 xf2平行于x轴的切线垂直于x轴的切线tgk yxo3xy 0 xx轴切线oxy)(xfy T0 xM)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7

9、.,)2 ,21(1方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即说明四： )(tss 0t 若物体的运动方程为则物体在时刻的瞬时速度)( )(00tstv为路程关于时间的变化率，即速度、加速度的表示法速度、加速度的表示法，0000()()limlimxxf xx

10、f xyxx 0 xf 0tvtSt0lim ttSttSt000lim 0tv00( ),.f xxx函数在点 的导数是因变量在点处变化率反映了因变量随自变量的变化的快慢程度0000()()limlimxxf xxf xyxx 0 xf 时间的变化率，物体在时刻的加速度为 加速度是速度v(t)关于 00tvta0t 0tatvt0lim ttvttvt000lim案例 图中所显示的是某地某年中每天最高温度的函数曲线，指出大概什么时候温度的变化率为零。15t211t天天 案例1 温度曲线从某一时刻开始到时刻0t通过该导线横截面的电量为那么Q为t的函数 .tQQ 设有非稳恒电流通过导线 案例2

11、电流强度求时刻0t的电流强度 .0tI 00tQtI 0tI ttQttQ00tQ0limt0limt,Q 案例3 冷却速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就会不断冷却。若物体的温度T与时间t的函数关系为).(tTT 请表示出物体在时刻0t的冷却速度？ 00)(tTtv 0tv ttTttT00tT0limt0limt 案例4 非均匀杆的线密度设有一细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为于是分布在区间x, 0上的质量m是x的函数).(xmm 对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度。如果细棒是不均匀的，如何确定细棒在点0 x线密度. x. l0 xml物理意义物理意义

12、非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的变化率为物体的瞬路程对时间的变化率为物体的瞬时速度时速度. .lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的变化率为电流强度电量对时间的变化率为电流强度. .lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度( (面积面积, ,体积体积) )的变的变化率为物体的线化率为物体的线( (面面, ,体体) )密度密度. .电流对时间的变化率为电磁感应电流对时间的变化率为电磁感应.lim)(0dtdItItt 右导数右导数:说明五：单侧导数左导数左导数:;)(

13、)(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.,),(),()(000可可导导性性的的讨讨论论在在点点设设函函数数xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim0000()fxa5) 函数函数)(xf在点在点0 x处可导处可导左导数左导数)(0 xf 和右和右导数导数)(0 xf 都存

14、在且相等都存在且相等.例例:0()fxbxxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 .)(0axf 且且总总 结结1、导数的概念0000()()limlimxxf xxf xyxx 0 x xy2、导数的几何意义函数 xf在点0 x处的导数0 xf 就是函数所表示的曲线在点00, yx处切线斜率)( 0 xfk 3、导数的概念的应用 电流强度 、 冷却速度等2.由定义求导数由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1 1.)()(的导数的导数为常数为常数

15、求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例

16、如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例5 5.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa ()0(sin)cosCxx 导数公式导数公式1()(cos )sinxxxx axxaaa

17、axxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 例例6 6.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy3.可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .

18、)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x 举例举例.,)()()(,)(. 1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角点点为为处处不不可可导导在在xfxx 但是但是, , 连续函数未必可导连续函数未必可导. .31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1处不

19、可导处不可导在在 x.,)()(. 30点不可导点不可导则则指摆动不定指摆动不定不存在不存在在连续点的左右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy.)()(,)(. 4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例例8 8.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim

20、0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx小结小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续

21、不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等. hfhfh2)3()3(lim0hfhfh )3()3(lim2101)3(21 f 知知hfhfh2)3()3(lim0 求求, 2)3( f解：解：xfxfx )3()3(lim210Z 例例020( )(0)(2 )(0)(0)limlim2xxf xffxffxx 知知0(2 )(0)1lim(0)_211.4.2.24hfxffxABCD求求解：解：Z 例例02一、一、07）201(2 )(0)1(0)lim24xfxffx 设设 f(x)在点在点x=a处可导，求处可导，求

22、xxafxafx)()(lim0 .解：解： xxafxafx)()(lim0 xafxafafxafx)()()()(lim0 )(2)()(afafaf （01一一5）设设 f (0)=20( )()lim()xf xfxx.解：解： 0 (0)(0) (0)(0)limxfxffxfIx(0)(0)2(0)4fff(02一一6) 设设 f(x) 在在x=x0的某个领域内有定义，那么的某个领域内有定义，那么 f(x)在在x=x0处导数可定义为（处导数可定义为（ ）00( )().f xf xAxx000()(). lim.2xf xxf xxDx 存在 , 0, 1)(axaxxf而而f(

23、x)在在x=a间断，因而间断，因而 f(x)在在x=a不可导。不可导。0()( ). limxxf xxf xBx0( )(0). limxf xfCx 知知 f(x)f(x)在在x=1x=1处可导，试确定处可导，试确定a,ba,b的值的值. . 1.,1,12)(2xbxaxxxf例例：设设1)1()1(1lim1112lim)1(22121 xxxxxfxx,1lim11lim)1(11axaaxxbaxfxx ; 1 ba解：解：可导必连续可导必连续1)12(lim)(lim211 xbaxxx. 2, 1 ba（二求导法则和导数的基本公式（二求导法则和导数的基本公式定理定理并并且且可可

24、导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()(

25、)()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处处可可导导在在xxf推论推论; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ; )()()()()()()()( )()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf1.例题分析例题分析例

26、例1 1.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例2 2.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的的导导数数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得例例4 4.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(

27、sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例5 5.sinh的导数的导数求求xy 解解 )(21)(sinh xxeexy)(21xxee .cosh x 同理可得同理可得xxsinh)(cosh xx2cosh1)(tanh .,1csc2. 12yxxy 求求练习练习).(,0),1ln(0,)(. 2xfxxxxxf 求求设设3. 设函数设函数 f(x)在在 x=0的某邻域内可导的某邻域内可导,且且).0(f 求求,3)(lim0 xxfx4. 求证求证:双曲线双曲线 x y = a2 (a0)上任一点

28、处切线与坐标轴上任一点处切线与坐标轴构成的三角形面积为常数构成的三角形面积为常数.解解2., 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 x,11)(xxf ,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf222)1(csc2)1(cotcsc2xxxxxxy 222)1(2)1(cotcsc2xxxxx 解解1.解解3. . 3)(lim)0()(lim)0(, 0)0()(lim),(3)(:,3)(lim0000 xxfxfxfffxfxoxxfxxfxxxx由由极极

29、限限与与无无穷穷小小的的关关系系解解4. 证明证明: 在曲线上任曲一点在曲线上任曲一点(x,y), )(:),(22xXxayYyx 的的切切线线方方程程为为过过点点.222121)0 ,(), 0(:22222222222aayxxaxaayxxxaySayxxxay 切切线线与与坐坐标标轴轴的的交交点点为为222,xayxay 2.反函数的导数反函数的导数 定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有内也可导内也可导在对应区间在对应区间那末它的反函数那末它的反函数且且内单调、可导内单调、可导在某区间在某区间如果函数如果函数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒

30、数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证证,xIx 任取任取xx 以增量以增量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连连续续xf),0(0 xy0)( y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 例例1 1.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且内有内有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得

31、同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例2 2.log的导数的导数求函数求函数xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(内有内有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx hxhxyaahlog)(loglim0 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .ln1log1axexa 3、复合函数的求导法则、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyx

32、uufyxxuxx 且且其其导导数数为为可可导导在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果函函数数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(链式法则链式法则)（三求导方法（三求导方法证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推广推广),(),(),(xvvuu

33、fy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 例例3 3.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例4 4.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例5 5.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例6 6.)2(21ln32

34、的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例7 7.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例(02(02二二5 5）函数函数 y=f(sinx2) y=f(sinx2) 且且f(x)f(x)可导可导, ,求求y=( )y=( )22(sin)cos(2 )yfxxx 2( ),sin ,yf uuv vx解设.dydy du dvdxdu dv dx222(sin)cosyxfxx 例例(03(03二二

35、7 7）函数函数 y=f(lntanx) y=f(lntanx) 且且f(x)f(x)可微可微, ,求求y=( )y=( )21(lntan )sectanyfxxx ( ),ln ,tan ,yf uuv vx解设.dydy du dvdxdu dv dx.,arctan1arctanyeeyxx 求求已知已知xtwxvutwyvuyy 21解解：222111)1(11xteeuwv 221arctan21111)1(11xxeeexxx xxxxtgxxxCtansec)(secsec)(cos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxctgx

36、xxxxcotcsc)(csccsc)(sin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)(11)(arccosxarcctgxxx 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，那么可导，那么（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数)

37、 )C 3.反函数、复合函数的求导法则反函数、复合函数的求导法则.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且且有有内内也也可可导导区区间间在在对对应应那那末末它它的的反反函函数数且且内内单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数数反函数的求导法则注意成立条件）反函数的求导法则注意成立条件）;).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全处置处置.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.

38、 .复合函数的求导法则复合函数的求导法则例例1 1.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 例例2 2.)(sin的导数的导数求函数求函数nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 4、隐函数的导数、隐函数的导数定义定义: :. )(0),(,0),(xfyyxFyxyxF 函函数数该该区区间间内内确

39、确定定了了一一个个隐隐在在那那么么就就说说方方程程的的值值存存在在唯唯一一的的相相应应地地总总有有满满足足这这方方程程间间内内的的任任意意值值时时取取某某区区当当中中设设在在方方程程.)(形形式式称称为为显显函函数数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?例例1 1)1 1).,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解:求求导导方方程程两两边边对对 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知

40、由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.2)2)设设 y=y(x) y=y(x) 由方程由方程 ey =xe f(y) ey =xe f(y) 确定确定, f , f 二阶可导二阶可导, f , f 1, 1, 求求 y y. .解解 方程两边对方程两边对x x求导求导: ey y: ey y = e f(y) + x e f(y) f = e f(y) + x e f(y) f (y) y(y) y 故故)()()(yfxeeeyyfyyf )(11yfx 22)(1 )(

41、)(1 yfxyyfxyfy 332)(1 )()(1 yfxyfxyfx (02二二6） 函数函数y=y(x)由方程由方程222333xya所确定所确定,3dyydxx 求求()dydx解：解：113322033xyy3)(04四四2） 函数函数y=y(x)由方程由方程221yx ey所确定所确定, dxdy222yyxex ey求求(1,0)dydx解：解：2220yyxex e yyy(1,0)2dydx 例例2 2.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求

42、导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.例例3 3.)1 , 0(, 144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代代入入.16110 yxy处的切线方程

43、。处的切线方程。上一点上一点求过双曲线求过双曲线例例),(11002222yxbyax 解：有隐函数求导法解：有隐函数求导法yaxbyybyax2222, 022 从而，在点从而，在点(x0 , y0)的切线斜率的切线斜率020222000)(yaxbyaxbxfyyxx 于是切线方程：于是切线方程：)(002020 xxyaxbyy 。化简为化简为12020 byyaxx例例2、证明星形线、证明星形线 上任一点的切线介于上任一点的切线介于两坐标轴之间的一段等于定长两坐标轴之间的一段等于定长a。323232ayx 解：有隐函数求导法解：有隐函数求导法3/13/13/13/1, 03232xyy

44、yyx 从而，在点从而，在点(x0 , y0)的切线方程的切线方程)(03/103/100 xxxyyy 在两坐标轴上的截距为在两坐标轴上的截距为;)(3/23/103/203/203/10ayyxyy ,)(3/103/23/203/203/10 xayxxx 。两两轴轴之之间间的的长长为为ayx 225、对数求导法、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数

45、数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例(03(03三三2 2）解解()(0),.1xxyxyx设求等式两边取对数得等式两边取对数得lnln1xyxx求求导导得得上上式式两两边边对对x1111ln()ln1111xxyxyxxxxx 1() (ln)111xxxyxxx 例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边

46、取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx )0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 法一)0)()()()( xuxuxfxv)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv ( )( ) ln ( )( )v xv xu xyu xe( ) ln

47、 ( )( ( ) ln ( )v xu xyev xu x( ) ln ( ) ( )ln ( )( )(ln ( )v xu xyev xu xv xu x法二例例(01(01三三2 2）解解sin(12 ),.xyxy设求sinsin ln(1 2 )(1 2 )xxxyxesin ln(1 2 )1cos ln(12 )sin212xxyexxxxsin2sin(12 )cos ln(12 )12xxyxxxx5、由参数方程所确定的函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数 .,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数

48、数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导? ?t),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd

49、 dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例1 10303一一1111）解解dtdxdtdydxdy 22111221tttt2ln(1)arctanxtdydxyt 则例例2 20404二二5 5）解解dtdxdtdydxdy 22yyeett222txtd ydxye则)(22dxdydxddxyd 1( )dydxdtdtdxdtttdtd)()( 21()2( )yett2311(1)224ttte tee tttt例例3 3解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2c

50、os12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即例例4 设设 ),1(,)(3tefyxfx 其中其中f 可导可导, 且且., 0)0(0 tdxdyf求求3)0()0(3)()1(30330 fftfefedxdytttt解：解：例例5 求求 对数螺线对数螺线 e 在点在点)2/,(),(2/ e处的切线的直角坐标方程。处的切线的直角坐标方程。.2/ eyx解：解： sinsin,coscoseyex曲线在点曲线在点处

51、的切线的斜率为处的切线的斜率为1sincoscossin2/)2/,(2/ eeeeye因而，所求切线方程为因而，所求切线方程为),0(2 xey 即即)2/,(2/ e点点的直角的直角 坐标为坐标为)2/,(2/ e), 0(2/ e例例6 6解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd 31( tan )( cos)tat ttatsincos3sec22 tatsin3sec4 例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,co

52、s,002000的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtv

53、dtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv （四高阶导数（四高阶导数问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度. .),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在即即处处可可导导在在点点的的导导数数如如果果函函数数xxfxfx

54、xfxxfxfxxfxfx 记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf

55、高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn.

56、0 例例3 3( )1,.nyyax设求解解21()yax 32!()yax43!(1)yx ( )1!( 1)(1, 0!1)()nnnnynax 注意注意: : 求求n n阶导数时阶导数时, ,分析结果的规律性分析结果的规律性, ,写出写出n n阶阶导数导数.(.(数学归纳法证明数学归纳法证明) )例例4 4( )1,.nyyabx设求解解21()ybabx 232!()ybabx( )1!()(1, 0! 1)()nnnnybnabx 例例5 5.),1ln()(nyxy求求设设 解解xy 11)1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn例例6 6.,sin)(nyxy求

57、求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得2. n阶导数的运算法则阶导数的运算法则:则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例7 7.,)20(22yexyx求求设设 解解

58、则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex3.3.间接法间接法: :常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高阶导数公式利

59、用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则1)(!)1()1( nnnxnx运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.例例8 8.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例01二2）设f(x)=x3+3x 求f(4)(0)=_3 (4)(4)4()0(3 )3ln 3xxxln43例04二4）设f(x)=x3+5x2+e2x 求y(10)=_32(10)2(10)210(5)0()2xxxxee1024e2x.,21)(2nyxxy求求 解解 解解例例10 1)10 1

60、)2111(31 xxy)2(1)1(1)!1()1(31)1()(nnnnxxny 例例9.,cos)(2nyxy求求 xxxy2sinsincos2 )2)1(2sin(21)( nxynn2)2).,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynnZ 练习练习2、设、设 连续，且连续，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(