弧度制及任意角的三角函数(解析版

1、.专题21 弧度制及任意角的三角函数专题知识梳理1角的概念的推广(1)正角、负角和零角：一条射线绕顶点按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角(2)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限(3)终边相同的角：与角的终边相同的角的集合为|k·360°，kZ2弧度制 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为

2、负数，零角的弧度数为零，|，l是以角作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径 弧度与角度的换算：360°2 rad；180° rad；1° rad；1 rad度 弧长公式：l|r扇形面积公式：S扇形lr|r23任意角的三角函数的定义设是一个任意角，它的终边上任意一点P的坐标为(x，y)，它与原点的距离是|OP|r，一般地，我们规定：比值 叫做的正弦，记作sin，即sin；比值 叫做的余弦，记作cos，即cos；比值(x0)叫做的正切，记作tan，即tan(1)三角函数值的符号各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)特殊角

3、的三角函数值角0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°弧度数0sin001cos1010tan0110(3)三角函数线下图中有向线段MP，OM，AT分别表示的正弦线，的余弦线和的正切线三角函数线考点探究考向1角的表示【例】 (1)已知2 019°，则与角终边相同的最小正角为_，最大负角为_(2) 如果角是第三象限角，那么，角的终边落在第几象限.是第几象限的角.并判断tansincos的符号；2的终边在什么位置.【解析】（1）可以写成6×360

4、76;141°的形式，则与终边相同的角可以写成k·360°141°(kZ)的形式当k0时，可得与角终边相同的最小正角为141°，当k1时，可得最大负角为219°（2）2k<<2k(kZ)，2k<<2k(kZ)，即2k<<2k(kZ)角终边落在第二象限又由各边都加上，得2k<<22k(kZ)是第四象限角同理可知，是第一象限角由2k<<2k(kZ)，可知k<<k(kZ)，24k<2<34k(kZ)，为第三或第四象限；当在第二象限时，tan0，sin0，co

5、s0，所以tansincos取正号；当在第四象限时，tan0，sin0，cos0，所以tansincos也取正号因此，tansincos取正号2的终边落在第一象限或第二象限或y轴的正半轴上题组训练1.若角与角的终边相同，则在0,2内终边与角终边相同的角是_【解析】由题意知，2k，kZ，kZ，又0,2，k0，；k1，；k2，；k3，2.终边在直线yx上，且在2，2)内的角的集合为_【解析】如图，在坐标系中画出直线yx，可以发现它与x轴的夹角是，在0,2)内，终边在直线yx上的角有两个：，；在2，0)内满足条件的角有两个：，故满足条件的角构成的集合为3.角870°的终边所在的象限是第_象

6、限【解析】由870°1 080°210°，知870°角和210°角的终边相同，在第三象限考向2三角函数的定义【例】已知角的终边经过点P(x，6)，且cos ，则_【解析】角的终边经过点P(x，6)，且cos ，cos ，解得x或x(舍去)，P，sin ，tan ，则题组训练1.已知角的终边过点P(8m，6sin 30°)，且cos ，则m的值为_【解析】r，cos ，m>0，即m2.设是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan _【解析】因为是第二象限角，所以cos x<0，即x<0又cos

7、x，解得x3，所以tan 3.（易错题）已知角的终边在直线yx上，则2sincos_【解析】因为的终边在直线yx上，因为的终边为射线，所以在直线yx取两点(4，3)或(4，3)，所以或，所以2sincos±考向3三角函数线的应用【例】函数y的定义域为 _【解析】对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集2cosx10，cosx由三角函数线画出x满足条件的终边X围(如图阴影所示)x(kZ)题组训练1.函数ylg(34sin2x)的定义域为_【解析】34sin2x>0

8、，sin2x<，<sin x<利用三角函数线画出x满足条件的终边X围(如图阴影部分所示)，x(kZ)2.函数y的定义域为_【解析】利用三角函数线(如图)，由sin x，可知2kx2k，kZ3.（拔高题）函数ylg(2sin x1)的定义域为_【解析】要使原函数有意义，必须有即如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为 (kZ)考向4扇形的基本运算【例】扇形AOB的周长为8 cm(1) 若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为，(1) 由题意可

9、得解得或或6(2) 2rl8， S扇lrl·2r·×4，当且仅当2rl，即2时，扇形面积取得最大值， r2， 弦长AB2×2sin 14sin 1题组训练1.已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是_；扇形的圆心角所对的弦长为_cm【解析】设此扇形的半径为r cm，弧长为l cm，则2rl4，面积Srlr(42r)r22r(r1)21，故当r1时S最大，这时l42r2 cm从而2扇形的圆心角所对的弦长为2sin 1 cm2.如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径为6cm，求扇形的弧长及所含弓形的面积【解析】扇形的弧长l=|r=×6=4(cm)因为S扇形AOB=lr=×4×6=12(cm2)，SAOB=r2sin120°=9(cm2)，所以S弓形=S扇形AOB-SAOB=(12-9)cm23. (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分