第三章 两自由度系统振动ppt课件

1、0 0 ,2122112322212121 dxcxxbxaxxmKKdmKcmKbmKKa：则方程可写成下列形式引入符号0)( 0)( )( )( 232122222121112312222111221121 xKKxKxmxKxKKxmxKxxKxmxKxxKxmmm整理得根据牛顿定律列方程分别进行隔离体分析，和对质量块力学模型：力学模型：耦合项02 xxn，代入方程后得：、一组解动，即：令频率和同相位作简谐振设两质量块振动时按同)sin()sin( 2211tAxtAx解微分方程：解微分方程： 0)(0)( 221212AdcAbAAa(3-1)0 0 212211 dxcxxbxaxx

2、0)sin()( 0)sin()( 221212tAdcAtbAAa0)()( 0 2422bcaddadcba展开后得齐次方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式为0bcdadabcadda222124)2(20)()( ，特征根：特征方程（频率方程）bcdadann2221)2(2，特征根：u 1. 系统的固有频率系统的固有频率代入方程组）将代入方程组）将的比值和振幅）（）（）（）（22222212212121111221( ( :nnnnnndcbaAAdcbaAAAAu 2.主振型主振型 按频率数值大小为序,数值最小的一个称为第一阶固有频率,用 来表示；把数值较大的一个称为第二阶固有频

3、率,用 来表示。1n2n0)(0)( 221212AdcAbAAa(3-1)称为主振动。振型振动时，阶固有频率作相应的主主振动：当系统按某一 ( ( 2122211121第二阶主振型）第一阶主振型）主振型。所决定的振动形态称为振动时，由振幅比当系统按某阶固有频率主振型（固有振型）：）（）（）（）（AAAAu u )sin()sin( )sin( 11)1(1111)1(2)1(211)1(1)1(1tAtAxtAxnnn第一阶主振动：)sin()sin( )sin( 22)2(1222)2(2)2(222)2(1)2(1tAtAxtAxnnn第二阶主振动：件决定。四个常数由系统初始条、其中21

4、)2(1)1(122)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11 )sin()sin( )sin()sin( AAtAtAxxxtAtAxxxnnnn202101202101 0 xxxxxxxx t：时设两自由度振动系统具有两阶固有频率；两自由度振动系统具有两阶固有频率；两自由度振动系统引入主振型的概念，与系统的固有两自由度振动系统引入主振型的概念，与系统的固有频率一样，是系统本身的物理特性与固有特性，与频率一样，是系统本身的物理特性与固有特性，与其初始条件无关。其初始条件无关。一般情况下系统的振动是两种主振动的叠加，是一种一般情况下系统的振动是两种主

5、振动的叠加，是一种复杂的非周期运动。当满足一定条件时，系统才作复杂的非周期运动。当满足一定条件时，系统才作主振动。主振动。sradKKsradKKmKbcdadamKdmKcmKbmKa/64.342033,3/2020,12)2(22,2)1(1212220.05mm0.05mm nn2nn1n2n1,即求系统的固有频率：解：132 12 )2(222211mKmKmKbamKmKmKbann求主振型： a第一阶主振型图 b第二阶主振型图 )64.34sin()20sin()( )64.34sin()20sin()( )3(2)2(121)1(1122)2(11)1(11tAtAtxtAtA

6、tx初始条件的响应系统按第一阶固有频率振动,为第一阶主振型。2, 5 . 1, 5 . 0 21)2(1)1(1AA得：将第一组初始条件代入 64.34cos5 . 120cos5 . 0)( 64.34cos5 . 120cos5 . 0)( 21tttxtttx所以，系统响应为ttxttxAA20cos)( 20cos)( 2, 0, 1 2121)2(1)1(1所以，系统响应为得：将第二组初始条件代入例解：选取广义坐标为（ ），取静平衡位置作为坐标原点，进行受力分析，建立系统的运动微分方程：22022101121I )(I)( rmrKrrxKrxKxm其中 , x21212112211

7、122122, 18)(221)(221mmKKmKmKKmKmKKnn )K(KK KK )K(KK KK 2202211122112122221022111211111121nnnnIrrrmAAIrrrmAA）（）（）（）（主振型系统的固有频率频率0)( )sin(),sin( 202211121121IrKKrKrKmKtAtAx方程有非零解，则代入上式同相位作简谐振动，即设两质量块按同频率、解：1)建立系统的运动微分方程：建立系统的运动方程：按定轴转动微分方程来量块进行受力分析：）作为广义坐标，对质，取（21212222112212sin)sin(sinsin)sin(sinmglK

8、amlmglKaml 代入方程得谐振动，即按同频率、同相位作简和设型求系统固有频率和主振)sin(),sin( :)2221121tAtA0-22222222mlmglKaKaKamlmglKamgmg)sin(sin12Ka212222112212)( )(mglKamlmglKaml 222n22n1222222222 0- mlKalglgmlmglKaKaKamlmglKa展开后得：1- 1- 2n2222)2(1)2(222n1222)1(1)1(21n2n1mlmglKaKaAAmlmglKaKaAA代入后求得振幅比：和将方程：受力分析，列振动微分作为广义坐标，对两盘和角位移偏离静

9、平衡位置和扭转振动系统。取盘解：这是两个自由度的2121II23122221221111)()(KKIKKI 振动，即以同频率同相位作简谐和令盘21II)sin()sin(2211tAtA00212232222121AAIKKKKIKK ( ), 2, 1)(njQqTqTdtdjjj 一、拉氏方程的原理一、拉氏方程的原理 在理想、完整约束条件下的在理想、完整约束条件下的n个自由度系统，选个自由度系统，选取广义坐标为取广义坐标为qjj=1,2, ,n)，其运动可由如下拉格，其运动可由如下拉格朗日方程来描述：朗日方程来描述：式中，式中，T为系统的动能，为系统的动能， 为广义速度，为广义速度， 为

10、与为与qj对应的广义力。对应的广义力。), 2 , 1(njQj jq ), 2, 1nj qUQjj ( 1) 当作用于系统的主动力都是有势力时系统没有能当作用于系统的主动力都是有势力时系统没有能量损失时），则系统具有势能量损失时），则系统具有势能Uq1,q2,qn)，广义，广义力为力为(1) ) , , 2 , 1 ( 0 ) ( ) , , 2 , 1 ( 0 ) ( nj qLqLdtdnj qUqTqTdtdjjjjj或代入方程得：代入方程得：其中，其中，L=T-U称为拉格朗日函数。称为拉格朗日函数。广义力。是对应于有势力的义力，是对应于非有势力的广其中jjjQQnjQQQ ), 2

11、 , 1( T-ULnjQqLqLdtdnjQqUqTqTdtdjjjjjjj 其中，拉氏方程可写成(2) ), 2 , 1( )( ), 2 , 1( )( (3) 21 )( 21 111。为除阻尼外的非有势力式为则系统的运动微分方程可表示为广义阻尼力Q,n,jQqDqLqLdtdqcqDRRqqCDjjjniiijjjjninjjiij拉氏方程可表示为广义坐标。阻尼系统的为及偏离平衡位置的位移、解：取2121xxmm ) , , 2 , 1 ( - ) ( njqD QqLqLdtdjjjj C 21 ) -(C 21 C 21D 2232212211xxxx 式中 m 21 m 21T

12、 222211xx 系统的动能 K 21 ) -(K 21 K 21 U2232212211xxxx 能为能为零，此时系统的势令系统在平衡位置时势T-UL 0)()(m 0)()(m 121223223222222212112111xKxCxKKxCCxxKxCxKKxCCx 的振动微分方程：代入拉氏方程得到系统 2rm I220 12r-uu212222221120222211)-(m 41m 21m 21I 21m 21m 21uuuuuuT2122211)(K 21K 21uuuU代入拉氏方程，得系统的微分方程02320)(2)2(221222122212122121uKuKuuumuK

13、uKKumumm 2m1m2K1Kru1u2有任一瞬时时势能为零，则系统在系统在稳定平衡位置作为广义坐标，并指定及置的角度位移解：取两摆偏离平衡位t212222112122211)(21)(21)(21)cos1 ()cos1 (lmlmTaaKglmglmUUTL- 拉氏函数： 0dtd0dtd2211LLLL ) , , 2 , 1 ( 0 ) ( nj qLqLdtdjj0)(0)(2221222222121121KaglmKalmKaKaglmlm 0)()( 0)()( ) (dd, ) (dd )(21)(21V 2121 222111122112221222211222lKlKx

14、lKlKIlKlKxKKxmVTTtxVxTxTtlxKlxKIxmTcc 代入拉氏方程得系统的势能系统的动能 , 0 ),sin(),sin( 11222212112222112222112211221122121212lKlKmKKlKlKmKKIlKlKlKlKlKlKmKKtAtAxnnc振幅比为代入得频率方程设ststxx静平衡位置1K2K弹簧未压缩时位置ststlx22lxststlx11lxUTLxxmglxlxKlxlxKIxmTststststst拉格朗日函数：系统的势能解：系统的动能： )()(21 )(21 U 2121 2222211122 设刚性杆质量为设刚性杆质量为

15、m m，支撑弹簧刚度为，支撑弹簧刚度为K1K1、K2K2，质心为，质心为C C，其距前后轮的距离为，其距前后轮的距离为l1l1和和l2l2，杆绕质心轴转动惯量为，杆绕质心轴转动惯量为I I，取质心，取质心C C的垂直位移的垂直位移x x及杆绕质心的角位移及杆绕质心的角位移作为广义作为广义坐标坐标x,x,），分析振动规律。），分析振动规律。 0 ) (dd 0 ) (dd :LLtxLxLt代入拉氏方程 0)()()()(0)()()()( 22211221122211122112122112lKlKxlKlKlxlKlxlKIlKlKxKKmglxKlxKxmstt sstt sstt sst

16、t s 考虑到在静平衡位置：重力与弹簧1和2的静弹力之和相等，而且两弹簧对质心的静弹性力矩之和为零，所以有 0)()()()( 2221112211stt sstt sstt sstt slxlKlxlKmglxKlxK 代入上式，得0)()(0)()( 2221122112211212lKlKxlKlKIlKlKxKKxm , 0 ),sin(),sin( 11222212112222112222112211221122121212lKlKmKKlKlKmKKIlKlKlKlKlKlKmKKtAtAxnnc振幅比为代入得频率方程设tFxKxKxmtFxKxKKxmsinsin)(222122

17、212212111 :,sin,sin 2211代入方程得振动，设特解为振力相同的频率作强迫的等幅振动，且按与激程的解则为稳定振动的叠加，非奇次方其奇次方程解是两种主tBxtBx (1) )( )( 222221212212121FBmKBKFBKBmKK(2) 222222121221211222222221212212221)()()()(KmKmKKFmKFFKBKmKmKKFKFmKB解方程得： , 0)( 0 022222212122222212121-KmKmKKmKKKmKKFF即可求得频率方程令 可求得固有频率可求得固有频率n1和和n2。 在在2式中，当频率式中，当频率= n1

18、或或= n2时，振幅为无穷大，时，振幅为无穷大，发生共振现象。发生共振现象。tBxtBxsin,sin22112两自由度系统的强迫振动有两个共振频率。两自由度系统的强迫振动有两个共振频率。12211222112221212222112112121221222221211212)()()BB ( )()(BB 21FKFKFKFKFKFmKFmKFFKFKFmKFmKFFKnnnn时，当比）式得两质量块的振幅由（212222211211nnmKKKmKK第一阶主振型：222222221212nnmKKKmKK第二阶主振型： )BB ( 21222nn时，当 应的主振型。即共振时的振型就是相212

19、221122221222222212221212211212221121212111 31 2 )23, 022 )3),)3)2(0)2(K )2 sin ,sin02 sin2 2121BBmKBBmKmKKBBmKmKmKKKmKmKmKKFBmKmKFmKBBmKBFKBBmKtBxtBxKxKxxmtFKxKxxmnnnn时，；时，当共振时振幅比得：频率方程为（代入得令稳态解为 解：解：1首先建立系统的振动微分方程首先建立系统的振动微分方程B1(B2)(m )()(m 12222122111121xxKxxxKxxKxxxs 分析受力，列方程作为广义坐标，和解：取质量块位移0m si

20、n)(m 22122212212111xKxKxtaKxKxKKx 代入得设稳态解为, sinsin 2211tBxtBx -)(-)(-22222122121222222122112221KmKmKKaKKBKmKmKKaKmKB）（22xK12xK)(122xxK)(11sxxK 0 )( sin)()( 221221221221212111xKxKxxCxmtFxKxKKxxCxm 系统的振动微分方程1x1xC2x2xC阻尼使共振附近的振动振幅显著减小。阻尼使共振附近的振动振幅显著减小。0sin)(22122212212111xKxKxmtFxKxKKxm 建立微分方程主系统主系统动力减

21、振动力减振系统系统 ,002222211mKmKBx要使222222121122222222121122212211)( )() sin,sinKmKmKKFKBKmKmKKFmKBtBxtBx（，解得设励的频率。系统固有频率等于外激的值，使减振和器时，必须调整因此，在设计动力减振去了。振动转移到减振系统上主系统保持不动，而将相平衡，所以与上端的外激励减振器弹簧所受力恰好221 sin mKtFtFxKFtKFtBxKFBsin:,sinsin 12222122212减振器弹簧所受力此时，减振系统此时B1(B2)解：1建立振动微分方程，取广义坐标（ ）动能由两部分组成： （1随质心的平动动能

22、； （2绕质心轴转动的动能 ；221mv221I圆柱体 质心速度：xv, x 绕质心角速度：rx/1刚性杆 质心速度：cos)23(2)23(2222rxrxv 绕质心角速度：2任一瞬时t系统的动能：2222222)3(12121cos)23(2)23(21)(21(2121rmrxrxmrxmrxmT设平衡位置时的势能为零，任一瞬时t系统的势能：)cos1 (23rmgUUTL 0dtd0dtdLLxLxL 02035grxrx 2求系统的固有频率： 设振动方程组的解为 ， ，代入方程 并令A1、 A2的系数行列式为零，可得频率方程tAxsin1tAsin20)75(22rgrgnn75,

23、021解得固有频率为：niijijjniijijjqKqTqLqmqTqL11 q m qUqqmTq K qUqqKUTninjjiijTninjjiij2121212111 或写成矩阵形式：或写成矩阵形式：系统在稳定平衡位置附近作微振动时，势能和动能的表达式为：系统在稳定平衡位置附近作微振动时，势能和动能的表达式为：应用拉氏方程建立系统运动微分方程时，由上式可求得应用拉氏方程建立系统运动微分方程时，由上式可求得 当干扰频率随转速在很大范围内变动时，必须使减振器的固有频率能跟随转速自动调节，才能有效地达到减振的目的。如图为离心摆式减振器的原理图。，即不发生扭转振动。时，转轴的振幅当激振频率）

24、（比，代入方程可解得振幅设方程解为。离心摆的固有频率方程式为离心摆的相对运动微分摆动。，可在圆盘平面内自由、质量为，摆长在圆盘上装一个单摆，变。为了消除扭转振动的改变而成正比例的改随转度其中，振动频率，圆盘角速度为时有扭转振动绕定轴转动的圆盘，同以角速度0/ sin /sin)( sin sin022200002200nnrRrrRrRtrRtrrRrRmrpott 0 0)(1qKqmqKqmiijniiji 或写成 n,1,2,j QqKqCqmQQqKqCqmqCqDRRqCqqqCDniiijiijiijniiijjjjTninjjiij21211111 。写成矩阵形式为为除阻尼外的非

25、有势力）（式为则系统的运动微分方程可表示为广义阻尼力 QqKqCqmQ,n,jQqKqCqmqCqDRRqCqqqCDniiijiijiijniiijjjjTninjjiij2121211111 。写成矩阵形式为为除阻尼外的非有势力）（式为则系统的运动微分方程可表示为广义阻尼力 例例 3-6例例 3-8例例 3-7 00)()(00 0)()( 0)()( ) (dd, ) (dd )(21)(21V 2121 2221111221122212221111221122212222112222xlKlKlKlKlKlKKKxImlKlKxlKlKIlKlKxKKxmVTTtxVxTxTtlxKl

26、xKIxmTccc 写成矩阵形式代入拉氏方程得系统的势能系统的动能 , 0 ),sin(),sin( 11222212112222112222112211221122121212lKlKmKKlKlKmKKIlKlKlKlKlKlKmKKtAtAxnnc振幅比为代入得频率方程设二、静力耦合与动力耦合一般情况下无阻尼的两自由度系统振动微分方程，具有如下的形式： 00 0 0 21222112112122211211222121222121212111212111xxKKKKxxmmmmxKxKxmxmxKxKxmxm 写成矩阵形式 当质量矩阵的非对角线元素当质量矩阵的非对角线元素m12、m21不

27、为零时，称为惯性耦合或动力耦合；刚度矩阵不为零时，称为惯性耦合或动力耦合；刚度矩阵的非对角线元素不为零时称为弹性耦合或静力耦合。的非对角线元素不为零时称为弹性耦合或静力耦合。 选取的广义坐标不同，则耦合形式不同。若选取一组特殊广义坐标，恰好使得微分方程选取的广义坐标不同，则耦合形式不同。若选取一组特殊广义坐标，恰好使得微分方程中的耦合项完全为零，即无动力耦合又无静力耦合，两个方程变成为相当于无关的单自由度中的耦合项完全为零，即无动力耦合又无静力耦合，两个方程变成为相当于无关的单自由度振动方程，将给求解带来极大方便，此坐标称为主坐标。振动方程，将给求解带来极大方便，此坐标称为主坐标。)/1)(/1 (13)/1)(/1 ()/2(3)3)(,)3)()2(2222121222221221211221222121nnnnnKFBKFBmKmKKFBmKmKFmKB2222222222222102211010201222021120112)(22)(11221221221221212111)1()2()(1()2()(,2, , , 0 )( sin)()( stcncstnnnnntitiBCCmCKFmKmKmmeBxeBxxKxKxxCxmtFxKxKKxxCxm引入符号设系统的振动微分方程 阻尼使共振附近的振动振幅显著