费米面研究中的实验方法

1、9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论1 确定费米面的实验方法：确定费米面的实验方法：磁致电阻磁致电阻反常趋肤效应反常趋肤效应回旋共振回旋共振磁声几何效应磁声几何效应舒布尼科夫舒布尼科夫-德哈斯效应德哈斯效应(Shubnikov-de Haas effect)德哈斯德哈斯-范阿尔芬效应范阿尔芬效应其它其它 关于动量分布的更多信息可以借助关于动量分布的更多信息可以借助正电子湮灭正电子湮灭、康普康普顿散射顿散射和和科恩科恩 (Kohn) 效应效应获得获得9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9

2、 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论29. 4. 1 磁场中的轨道量子化磁场中的轨道量子化cAqkppp/fieldkin 磁场中粒子的动量磁场中粒子的动量运动动量运动动量场动量（场动量（“势动量势动量”）其中其中 为磁矢势为磁矢势 ABA(CGS) 半经典近似：在磁场中轨道按玻尔半经典近似：在磁场中轨道按玻尔-索末菲关系量子化索末菲关系量子化2)(dddnrAcqrkrpn 为整数，为整数， 是相位修正因子；对于自由电子，是相位修正因子；对于自由电子， 1/29. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导

3、论导论3 磁场中电荷为磁场中电荷为 q 的粒子的运动方程的粒子的运动方程对时间积分，得对时间积分，得BtrcqBvcqtkddddBrcqk已略去附加常数已略去附加常数cqrrBcqrBrcqrk2ddd其中其中 F 为实空间中轨道所包围的磁通量为实空间中轨道所包围的磁通量SB轨道所围面积rrd21rrdrdr9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论4 根据斯托克斯定理：根据斯托克斯定理：因此动量的回路积分因此动量的回路积分2)(dncqrpcqBcqAcqrAcqdd)(d实空间中实空间中的面积元的面积元因而电子

4、轨道以这样的方式量子化，使穿过轨道的磁通量因而电子轨道以这样的方式量子化，使穿过轨道的磁通量)/2()(ecnn通量单位通量单位)mT ( cmG1014. 4/2227或ec9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论5 分析德哈斯分析德哈斯-范阿尔芬效应需要波矢空间中的轨道面积范阿尔芬效应需要波矢空间中的轨道面积BtrcqtkddddkeBcr由上式可知在垂直于由上式可知在垂直于 的平面内线元的平面内线元 r 和和 k 的关系为的关系为B运动方程运动方程因此因此 空间中的面积空间中的面积 Sn 与与 空间中的轨道面

5、积空间中的轨道面积 An 的关系为的关系为krnnSeBcA2)(9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论6则这两个面积相等。则这两个面积相等。nnnSBecBA1)(2)/2()(ecnnBcnSne2)( 在费米面实验中一般对在在费米面实验中一般对在 空间的费米面上所围成的空间的费米面上所围成的面积相同的两个相继轨道面积相同的两个相继轨道 (n, n+1) 的增量的增量 B 感兴趣。若感兴趣。若kcBBSnne2)11(1 1/B 周期性：周期性：相等的相等的1/B 增量将使全同的轨道重复出现增量将使全同的轨道

6、重复出现9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论7 1/B 周期性是低温下金属性质周期性是低温下金属性质 (如电阻率、磁化率、热如电阻率、磁化率、热容容) 磁致振荡效应的引人注目的特征磁致振荡效应的引人注目的特征 当当 B 变化时，费米面上或者近费米面的轨道的粒子布变化时，费米面上或者近费米面的轨道的粒子布居将发生振荡，从而引起多种效应。居将发生振荡，从而引起多种效应。根据振荡周期可构造根据振荡周期可构造费米面费米面cAqkp/ABBcnSne2)(非规范不变，依赖于具体的规范非规范不变，依赖于具体的规范规范不变，

7、不依赖于所选的规范规范不变，不依赖于所选的规范9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论89. 4. 2 德哈斯德哈斯- -范阿尔芬效应范阿尔芬效应 德哈斯德哈斯-范阿尔芬效应范阿尔芬效应 (简记简记 dHvA ) 是是金属磁矩金属磁矩随静随静磁场强度变化而磁场强度变化而发生的振荡发生的振荡现象现象 忽略电子自旋，从二维忽略电子自旋，从二维 (2D) 模型出发。设磁场平行模型出发。设磁场平行于于 z 轴，则三维情况下只需将轴，则三维情况下只需将 2D 波函数乘以平面波因子波函数乘以平面波因子 低温下对纯净样品施加强磁

8、场就能观测到此效应。下低温下对纯净样品施加强磁场就能观测到此效应。下述讨论是述讨论是绝对零度绝对零度的情形的情形zikze9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论9波矢空间中两相继轨道之间的面积：波矢空间中两相继轨道之间的面积：BcnSne2)(BcSSSnne21对边长为对边长为 L 的正方形样品，若略去自旋，则波矢空间中单的正方形样品，若略去自旋，则波矢空间中单个轨道占据的面积为个轨道占据的面积为 (2p/L)2 。因此单个磁能级的简并度。因此单个磁能级的简并度 (即简并为一个磁能级的自由电子轨道的数目即简并为

9、一个磁能级的自由电子轨道的数目)cLBLBcD2e ;)2(e222这种磁能级称为这种磁能级称为朗道能级朗道能级9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论10二二维维德德哈哈斯斯|范范阿阿尔尔芬芬效效应应磁量子化能级：磁量子化能级：朗道能级朗道能级电子系统总电子系统总能量能量无增加无增加电子系统总电子系统总能量能量无增加无增加电子系统总电子系统总能量能量增加增加9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论11二维自由电子系统在加入磁场前后允许

10、的电子轨道的变化二维自由电子系统在加入磁场前后允许的电子轨道的变化圆中点圆中点的方位的方位角没有角没有意义意义圆上轨道数圆上轨道数cBL2e2每个圆代表一个能级，能量为每个圆代表一个能级，能量为c)21(n相邻圆之间的面积相邻圆之间的面积cBmmkkke222)(2)(c229. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论12 B 对费米能级有强烈影响对费米能级有强烈影响 当磁场增大时，电子将向低能级移动；当磁场增大到当磁场增大时，电子将向低能级移动；当磁场增大到 s+1 能级为空时，费米能级就自然地移到能级能级为空时，费

11、米能级就自然地移到能级 s绝对零度下的绝对零度下的 N 电子系统电子系统朗道能级朗道能级s1s1s填满填满部分填满部分填满若无填充若无填充费米能级费米能级即为能级即为能级 s9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论13 电子之所以能够向较低能级迁徙，是因为这些能级的电子之所以能够向较低能级迁徙，是因为这些能级的简并度简并度 D 随磁场随磁场 B 的增大而增大的增大而增大 在在 B 增大的过程中，每当增大的过程中，每当 B 增大到某一值时，被充满增大到某一值时，被充满的最高能级的量子数就会陡然地减少的最高能级的量子数

12、就会陡然地减少 1。在临界磁场下，。在临界磁场下，将不存在部分占据的能级将不存在部分占据的能级NBss5 . 050N9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论14 朗道能级的能量朗道能级的能量 全充满能级中电子的总能量全充满能级中电子的总能量c)21( nEncmB*ce回旋频率回旋频率这一结果可由回旋共振轨道与简谐振子的类似性导出这一结果可由回旋共振轨道与简谐振子的类似性导出c21c21)21(DsnDsn部分填充的能级部分填充的能级 s+1 中的电子总能量为中的电子总能量为)(21(csDNs9. .4 费米面

13、研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论15 N 个电子的总能量为个电子的总能量为cc2)(21(21sDNsDsU 上边的曲线：电子系统上边的曲线：电子系统的总能量。通过磁矩测量能的总能量。通过磁矩测量能够给出能量够给出能量 U 的振荡：当磁的振荡：当磁场增大时，相继的轨道能级场增大时，相继的轨道能级穿过费米能级，金属的热学穿过费米能级，金属的热学性质和输运性质也发生振荡性质和输运性质也发生振荡5 . 050N 阴影区给出部分被填充的能级阴影区给出部分被填充的能级对能量的贡献对能量的贡献9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究

14、中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论16 在绝对零度下系统的磁矩在绝对零度下系统的磁矩BU 费米气在低温下的这种磁费米气在低温下的这种磁矩振荡现象就是德哈斯矩振荡现象就是德哈斯- -范阿尔范阿尔芬效应。振荡以芬效应。振荡以 1/B 的相等间的相等间隔为周期隔为周期以以 1/B 为变量的振荡函数为变量的振荡函数cSBe2)1(其中其中 S 表示垂直于磁感应强度表示垂直于磁感应强度方向的费米面的极值面积。方向的费米面的极值面积。从从 (1/B) 的测量结果可推知相应的极值面积，由此可推断出许的测量结果可推知相应的极值面积，由此可推断出许多有关多有关费米面形状

15、和大小费米面形状和大小的信息的信息9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论179. 4. 3 极值轨道极值轨道 响应是所有断面或全响应是所有断面或全部轨道的贡献之和。但系部轨道的贡献之和。但系统的占主导地位的响应来统的占主导地位的响应来自于那些对自于那些对 kB 的小变化的小变化其周期保持稳定的轨道，其周期保持稳定的轨道，这样的轨道称为这样的轨道称为极值轨道极值轨道 在德哈斯在德哈斯- -范阿尔芬效应的解释中有一点是微妙的。对范阿尔芬效应的解释中有一点是微妙的。对一般形状的费米面，属于不同一般形状的费米面，属于不同

16、 kB (kB 表示波矢表示波矢 沿磁场方向沿磁场方向上的分量上的分量) 值的断面将具有不同的周期值的断面将具有不同的周期k 断面在观察到的回旋周期中居主导地位断面在观察到的回旋周期中居主导地位AA9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论18 极值轨道对响应占据主导地位，实质上是一个极值轨道对响应占据主导地位，实质上是一个相位相相位相消消的问题：的问题： 不同的非极值轨道的贡献相抵消，但极值轨道附近的不同的非极值轨道的贡献相抵消，但极值轨道附近的相位只是缓慢变化，因而出现一个来自这些轨道的净信号相位只是缓慢变化，因

17、而出现一个来自这些轨道的净信号 理论与实验一致肯定：即使是复杂的费米面也会得到理论与实验一致肯定：即使是复杂的费米面也会得到锐共振，因为实验锐共振，因为实验“会选出会选出”极值轨道极值轨道9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论199. 4. 4 铜的费米面铜的费米面 铜的费米面是明显的非球形的：铜的费米面是明显的非球形的：8 8个颈状部分与面心立个颈状部分与面心立方晶格的第一布里渊区的六角面相接触方晶格的第一布里渊区的六角面相接触 在具有面心立方结构的单价在具有面心立方结构的单价金属中，其电子浓度为金属中，其电子

18、浓度为 n = 4/a3 自由电子费米球的半径自由电子费米球的半径ankF/90. 4)3(3/12直径是直径是a/80. 99. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论20 跨越布里渊区的最短距离（在跨越布里渊区的最短距离（在 空间中的空间中的 111 方向上方向上的两六角面之间的距离）是的两六角面之间的距离）是ka/88.10a)/2(3自由电子费米球没有与布里渊区边界接触。但布里渊区边自由电子费米球没有与布里渊区边界接触。但布里渊区边界的存在倾向于降低附近能带的能量，因此费米面的颈状界的存在倾向于降低附近能带的能

19、量，因此费米面的颈状部分伸长到与布里渊区靠得最近的六角面相接触似乎是说部分伸长到与布里渊区靠得最近的六角面相接触似乎是说得通的得通的 布里渊区的正方形面之间离得更远布里渊区的正方形面之间离得更远 12.57/a，因此费，因此费米面颈状部分不会伸长到与这些面接触米面颈状部分不会伸长到与这些面接触9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论21 Shoenberg Shoenberg 发现，在磁场方向变化相当大的范围内，发现，在磁场方向变化相当大的范围内，金的磁矩的周期是金的磁矩的周期是 210-9 G-1，其对应的极值轨

20、道面积，其对应的极值轨道面积例子：金的费米面例子：金的费米面金的自由电子费米球的金的自由电子费米球的 kF=1.2108 cm-1，或极值面积，或极值面积 4.51016 cm-2 ，与实验值基本一致，与实验值基本一致21697cm108 . 41021055. 9)/1 (e/2BcS9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论22 在金的在金的 111 方向还发现了一个大周期方向还发现了一个大周期 610-8 G-1，其，其对应的极值轨道面积，相应的轨道面积对应的极值轨道面积，相应的轨道面积1.61015 cm-2 ，这，这是颈状轨道是颈状轨道 左图还给出了另一极值左图还给出了另一极值轨道：对于金，它的面积大轨道：对于金，它的面积大约为约为“腹部腹部”极值轨道面积极值轨道面积的的 0.4 0.4 倍倍9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论23 金的德哈斯金的德哈斯- -范阿尔芬效应范阿尔芬效应9. .4 费米面研究中的实验方法费米面研究中的实验方法第第 9 章章 费米面和金属费米面和金属固体固体物理物理导论导论24铝的自由电子费米面铝的自由电子费米面镁