控制系统的数学模型

1、1 2 2 控制系统的数学模型控制系统的数学模型22 控制系统的数学模型数学模型：从狭义上说，就是一种描述数学模型：从狭义上说，就是一种描述系统各变量之间关系的数学表达式，一系统各变量之间关系的数学表达式，一般用微分方程来描述系统及过程的动态般用微分方程来描述系统及过程的动态特性。特性。 32 控制系统的数学模型2.12.1数学模型的建立数学模型的建立建模建模 1)1)机理建模机理建模 2)2)实验辨识实验辨识42 控制系统的数学模型机理建模的步骤：机理建模的步骤：由系统或元件的工作原理，确定输入量和输出量；由系统或元件的工作原理，确定输入量和输出量；根据支配元件输出量和输入量内在联系的物理或

2、化根据支配元件输出量和输入量内在联系的物理或化学规律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相学规律，按工作条件忽略一些次要因素，并考虑相邻元件的彼此影响，列出元件的运动方程。本课程邻元件的彼此影响，列出元件的运动方程。本课程常用的定律有：牛顿定律、能量守恒定律、基尔霍常用的定律有：牛顿定律、能量守恒定律、基尔霍夫定律。夫定律。将得到的运动方程，消去中间变量，求得描述系统将得到的运动方程，消去中间变量，求得描述系统输入量与输出量关系的数学方程。输入量与输出量关系的数学方程。 52 控制系统的数学模型2.22.2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化62 控制系统的数学模型实际的物理系统往往有

3、死区、饱和、间隙等各实际的物理系统往往有死区、饱和、间隙等各类非线性现象。严格的来讲，构成控制系统的类非线性现象。严格的来讲，构成控制系统的元件，其输出与输入信号之间都具有不同程度元件，其输出与输入信号之间都具有不同程度的非线性，所建立的系统运动方程也应该是非的非线性，所建立的系统运动方程也应该是非线性的。但用非线性微分方程来研究系统的动线性的。但用非线性微分方程来研究系统的动态特性是很困难的。工程上常采用对非线性系态特性是很困难的。工程上常采用对非线性系统的动态特性进行线性化处理。统的动态特性进行线性化处理。 72 控制系统的数学模型把非线性系统处理成为线性系统的过程，把非线性系统处理成为线

4、性系统的过程，称为非线性系统的线性化称为非线性系统的线性化. 82 控制系统的数学模型在不影响研究分析系统的性能的原则下，忽在不影响研究分析系统的性能的原则下，忽略某些非线性因素，将元件或系统视为线性略某些非线性因素，将元件或系统视为线性的；的；把非线性特性在工作点附近用泰勒级数展开把非线性特性在工作点附近用泰勒级数展开的方法进行线性化，所得工作点附近范围内的方法进行线性化，所得工作点附近范围内的非线性特性，用线性模型近似；的非线性特性，用线性模型近似；92 控制系统的数学模型自动控制系统通常都有一个正常工作状态即稳自动控制系统通常都有一个正常工作状态即稳态。系统在工作中往往受到各种扰动，使其

5、偏态。系统在工作中往往受到各种扰动，使其偏离工作状态，自动控制系统会自动地进行调节，离工作状态，自动控制系统会自动地进行调节，力图消除这种偏差。对于稳定的系统，这种偏力图消除这种偏差。对于稳定的系统，这种偏差是很小的，满足偏差线性化条件。以下介绍差是很小的，满足偏差线性化条件。以下介绍一些简化过程。一些简化过程。 102 控制系统的数学模型2.32.3传递函数的概念及基本环节的传递函数传递函数的概念及基本环节的传递函数2.3.12.3.1传递函数的概念传递函数的概念 传递函数的定义：在初始条件为零条件下，系传递函数的定义：在初始条件为零条件下，系统的输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比统的输出量

6、拉氏变换与输入量拉氏变换之比。112 控制系统的数学模型 设线性定常系统的输入量设线性定常系统的输入量 ，输出量，输出量 ，描述，描述系统运动规律的常微分方程的一般形式为：系统运动规律的常微分方程的一般形式为： 式中：式中： 为常数。为常数。 ( )x t( )y t( )(1)()(1)1010nnmmnnmmb ybyb ya xaxa x,( ,0,1,2,)mnnm ab m n122 控制系统的数学模型当初始条件为零时，进行拉氏变换得当初始条件为零时，进行拉氏变换得由传递函数的定义：由传递函数的定义： 111010( )( )( )( )( )( )nnmmnnmmb s Y sbs

7、Y sb Y sa s X sasX sa X s110110( )( )( )mmmmnnnna sasaY sG sX sb sbsb132 控制系统的数学模型n传递函数的性质传递函数的性质传递函数和微分方程一样，表示系统的运动特传递函数和微分方程一样，表示系统的运动特性，是数学模型的一种表示形式，它与系统的性，是数学模型的一种表示形式，它与系统的运动方程一一对应；运动方程一一对应；传递函数取决于系统的结构参数，与外界无关；传递函数取决于系统的结构参数，与外界无关；传递函数为复变量的函数，一般为有理式；传递函数为复变量的函数，一般为有理式；传递函数只适用于线性定常系统。传递函数只适用于线性

8、定常系统。142 控制系统的数学模型l拉氏变换拉氏变换定义：若函数定义：若函数 满足：满足：(1) (1) 时，时， ; ;(2) (2) 时，函数时，函数 连续；连续； (3) (3) ， , ,则函数则函数称为函数称为函数 的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。)(tf0t0)(tf0tdttfest0)()(jsdtetfsFtfLst0)()()()(tf)(tf152 控制系统的数学模型n基本函数的拉氏变换基本函数的拉氏变换脉冲函数脉冲函数定义：定义：且有且有0,0, 0)(ttt1)( dtt)0()()(fdttft00 ( )( )( )1stststtL

9、tt edtt edte162 控制系统的数学模型单位阶跃函数单位阶跃函数定义：定义：0,0( )1,0tf tt0000111 ( )( )ststststL f tf t edtedtedstesss 172 控制系统的数学模型单位斜坡函数单位斜坡函数定义：定义：0,0( ),0tf tt t0000220111 ( )11stststststL f ttedttdeteedtsssess 182 控制系统的数学模型指数函数指数函数ateasdteetfLstat1)(0192 控制系统的数学模型220sin)(sdtettfLst正弦函数正弦函数tsin余弦函数余弦函数tcos220co

10、s)(ssdtettfLst202 控制系统的数学模型n拉氏变换的特性拉氏变换的特性线性性质线性性质实数域位移定理实数域位移定理1 12211221122( )( )( )( )( )( )L k f tk f tk L f tk L f tk F sk F s ()( )asL f taeF s212 控制系统的数学模型复数域的位移定理复数域的位移定理相似定理相似定理( )()atL ef tF sa1 ()( )sL f atFaa222 控制系统的数学模型微分定理微分定理积分定理积分定理( )( )nnnd f tLs F sdt1( )( )nnnLf t dtF ss 232 控制系

11、统的数学模型初值定理初值定理终值定理终值定理0lim( )lim( )tsf tsF s0lim( )lim( )tsf tsF s24n例：)43sin(6)(ttf)32cos(4)(ttf252 控制系统的数学模型n拉氏反变换的求解方法拉氏反变换的求解方法 对于简单的对于简单的 ，可直接查表求得；对于比，可直接查表求得；对于比较复杂的较复杂的 ，不能直接查表，需将，不能直接查表，需将 简化简化为简单形式的组合再查表。为简单形式的组合再查表。( )F s( )F s( )F s262 控制系统的数学模型n 通常可以表示为复数通常可以表示为复数s s的有理形式的有理形式：其中：其中： ( )

12、F s110110( )( )( )nnnnmmmma sasaA sF sb sbsbB smn11012( )( )( )()()()()mmmmmmmmA sA sF sbbbssssssbssbb27n若若 无重根，即无重根，即 为为 的的单零点，则可将表达式单零点，则可将表达式 化成分步形式化成分步形式其中其中 ( )0B s 12,ms ss( )0B s ( )F s121212( )()()()mmmmkkkA sbssssssssssss ( )()iiis skF s ss11is tiLess1( )ims tiif tk e2 控制系统的数学模型28n例：求 的拉氏反变

13、换解：22( )43sF sss122( )(1)(3)13kksF sssss11123321 ( )(1)3221 ( )(3)12ssssskF s ssskF s ss11( )2(1)2(3)F sss311( )22ttf tee2 控制系统的数学模型292 控制系统的数学模型n若 有重根 设 有 个重根 ，则 ( )0B s ( )0B s p1s1111221121112( )( )() ()()()()()pmpppmmmkkkkkA sF sbssssssssssssssss302 控制系统的数学模型n系数的确定系数的确定111111111221132(1)11(1)( )

14、() ( )() ( )() 12! ( )() 1(1)!ps sps sps snppns skF s ssd F s sskdsdF s sskdsdF s ssknds1,2,np31n例：求例：求 的原函数的原函数 21( )(1)(2)F ssss3111222( )12kkkkF sssss211002120213211( )(1)(2)2 ( )34 ( )(1)11 ( )(2)4ssssskF s sssd F s skdskF s skF s s 21311( )2414(2)F sssss2 控制系统的数学模型tteettf2414321)(32作业1：求解微分方程初始

15、条件665 yyy2)0(2)0(yy作业2：求解微分方程初始条件)sin()(4)(ttyty 0)0(0)0(yy332 控制系统的数学模型2.3.22.3.2基本环节的传递函数基本环节的传递函数342 控制系统的数学模型1 1）比例环节）比例环节( )( )( )( )( )( )( )y tkx tY skX sY sG skX s352 控制系统的数学模型2) 2) 一阶惯性环节一阶惯性环节( )( )( )( )( )( )( )1Ty ty tkx tTsY sY skX skG sTs362 控制系统的数学模型3) 3) 微分环节微分环节( )( )yTx tG sTs372

16、控制系统的数学模型4) 4) 一阶微分环节一阶微分环节( )( )( )( )1y tTx tx tG sTs382 控制系统的数学模型5) 5) 二阶微分环节二阶微分环节 222( )( )2( )( )( )21y tx tx tx tG sss392 控制系统的数学模型6) 6) 积分环节积分环节01( )( )1( )ty tx t dtTG sTs402 控制系统的数学模型7) 7) 振荡环节振荡环节令令 ，则：则：2( )( )( )( )1( )my tcy tky tx tG smscsk1,2nkcmmk2221( )2nnnG sk ss412 控制系统的数学模型8) 8)

17、 时延环节时延环节( )()( )sy tx tG se422 控制系统的数学模型2.42.4控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换2.4.12.4.1结构图（方框图）的基本概念结构图（方框图）的基本概念432 控制系统的数学模型结构图：是描述系统运动特性的数学图形，是结构图：是描述系统运动特性的数学图形，是系统中各元件功能和信号流向的图解表示。用系统中各元件功能和信号流向的图解表示。用结构图描述控制系统，可以清楚地表明系统中结构图描述控制系统，可以清楚地表明系统中各组成元件的信号传递关系，输出量与输入量各组成元件的信号传递关系，输出量与输入量的因果关系，而且可以比较方便的确

18、定系统的的因果关系，而且可以比较方便的确定系统的传递函数。传递函数。44452 控制系统的数学模型信号线：用带有箭头的直线表示，箭头方向表示信信号线：用带有箭头的直线表示，箭头方向表示信号传递的方向，在直线的一侧标注信号的名称；号传递的方向，在直线的一侧标注信号的名称；方框：表示信号通过方框后进行的数学变换，在方方框：表示信号通过方框后进行的数学变换，在方框中的传递函数表示信号变换的特性；框中的传递函数表示信号变换的特性；加减点：也称综合点，表示信号相加或相减；加减点：也称综合点，表示信号相加或相减；引出点：也称为测量点，表示同一信号向不同方向引出点：也称为测量点，表示同一信号向不同方向的传递

19、，在同一点引出的信号在数值上和性质上完的传递，在同一点引出的信号在数值上和性质上完全相同。全相同。任何复杂的线性定常系统的信号传递特点，都可以任何复杂的线性定常系统的信号传递特点，都可以运用上诉符号，用结构图表示出来。运用上诉符号，用结构图表示出来。462 控制系统的数学模型2.4.22.4.2绘制结构图的一般步骤绘制结构图的一般步骤1) 1) 列写系统（元件）的原始微分方程；列写系统（元件）的原始微分方程；2) 2) 设初始状态为零，对这些原始微分方程进行设初始状态为零，对这些原始微分方程进行拉氏变换；拉氏变换；3) 3) 根据拉氏变换式中的因果关系，画出信号传根据拉氏变换式中的因果关系，画

20、出信号传递方框图，按系统中各信号的传递顺序，依次递方框图，按系统中各信号的传递顺序，依次将各传递方框图连接起来，便得到系统的结构将各传递方框图连接起来，便得到系统的结构图。图。47例：车辆系统动力学模型 MsMuKsCsKtZ2F2F1Z1z048例：例： 型滤波器型滤波器492 控制系统的数学模型2.4.32.4.3结构图的等效变换结构图的等效变换目的目的：将原复杂的系统结构图，简化为简单的形式，从而便于求出整个系统的传递函数。原则原则：保持原输出与输入变量之间的关系不变。502 控制系统的数学模型1) 1) 串联结构图的等效变换串联结构图的等效变换512 控制系统的数学模型522)2) 并

21、联结构图的等效变换并联结构图的等效变换532 控制系统的数学模型542 控制系统的数学模型3) 3) 加减点的移动方法加减点的移动方法a a、加减点后移、加减点后移552 控制系统的数学模型562 控制系统的数学模型b b、加减点前移、加减点前移572 控制系统的数学模型582 控制系统的数学模型4) 4) 引出点的移动方法引出点的移动方法a a、引出点后移、引出点后移592 控制系统的数学模型602 控制系统的数学模型b b、引出点前移、引出点前移612 控制系统的数学模型622 控制系统的数学模型5 5）消除反馈）消除反馈632 控制系统的数学模型642 控制系统的数学模型n例：例： 型滤波器型滤波器652 控制系统的数学模型n例：例：1/41/4车辆动力学模型车辆动力学模型662 控制系统的数学模型2.4.42.4.4自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数672 控制系统的数学模型1 1）开环传递函数）开环传递函数 开环传递函数并非指开环控制系统的传递开环传递函数并非指开环控制系统的传递函数，而是指闭环系统断开主反