静电场中的导体和电介质

1、第九章第九章 静电场中的导体和静电场中的导体和电介质电介质1.掌握导体静电平衡条件，能用该条件分析带电导掌握导体静电平衡条件，能用该条件分析带电导体在静电场中的电荷分布；求解有导体存在时场体在静电场中的电荷分布；求解有导体存在时场强与电势的分布问题；强与电势的分布问题；2. 了解电介质的极化机理，了解电位移矢量的物理了解电介质的极化机理，了解电位移矢量的物理意义及有电介质时的高斯定理；意义及有电介质时的高斯定理；3. 理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电容；理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电容；4. 理解带电体相互作用能，计算简单对称情况下的理解带电体相互作用能，计算简单对称情况下的

2、电场能量。电场能量。 主要研究主要研究（1）电场对导体和电介质的作用；电场对导体和电介质的作用；（2）导体和电介质对电场的影响；导体和电介质对电场的影响；从导电性来讲，物质可分为三类：从导电性来讲，物质可分为三类：导体、半导体和绝缘体。导体、半导体和绝缘体。Introduction本章主要讨论导体和绝缘体与电场之间的相互作用。本章主要讨论导体和绝缘体与电场之间的相互作用。对于半导体，有专门的书讲解。对于半导体，有专门的书讲解。1. 导体的性质导体的性质: 导体中有许多自由电子，它导体中有许多自由电子，它们可在导体中随机运动。们可在导体中随机运动。eeeeeeee 9-1 静电场中的导体静电场中

3、的导体 静电感应静电感应 金属导体由带正电的晶金属导体由带正电的晶 体点阵和可以在导体中体点阵和可以在导体中 移动的自由电子组成。移动的自由电子组成。2.静电感应和静电平衡静电感应和静电平衡1）.静电感应静电感应eeeeeeeeeeeeeeee 导体置于电场中，导体置于电场中，其上的电荷重新分布其上的电荷重新分布的现象，称为静电感的现象，称为静电感应。应。2）静电平衡）静电平衡 当导体中的电荷静止，电场恒定时，导体处于静当导体中的电荷静止，电场恒定时，导体处于静电平衡。电平衡。eeeeeeeeNo charge moves!导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件:(2) 导体外表面导体外表面.E

4、(1) 导体中处处如此导体中处处如此0EeeeeeeeeEE0E推论推论: 导体是等势体，其表面是等势面导体是等势体，其表面是等势面.eeeeeeeeCU 3. 静电平衡时电荷的分布静电平衡时电荷的分布1). 实心导体（即导体内没有实心导体（即导体内没有空腔空腔）-+e（1）导体内处处没有未抵消的净电荷，）导体内处处没有未抵消的净电荷，电荷只分布在导体的表面；电荷只分布在导体的表面； iqSES d SSEEd 内内 iq （2）导体表面上电荷密度与表面处场强的关系：）导体表面上电荷密度与表面处场强的关系： 小小柱柱体体面面Sd .EEorE00S导体表面上的电场强度导体表面上的电场强度 与电

5、荷面密度与电荷面密度 成正比。成正比。表表E SE S Sq（3）导体表面曲率对电荷分布的影响：）导体表面曲率对电荷分布的影响：凸而尖锐的处（曲率大），电荷就比较密集；凸而尖锐的处（曲率大），电荷就比较密集；表面凹进去的地方（曲率为负），表面凹进去的地方（曲率为负）， 较小。较小。+金属导体金属导体接感应接感应起电机起电机蜡蜡烛烛尖端放电尖端放电2）导体壳）导体壳（1）腔内无带电体）腔内无带电体导体壳的内表面上处处没有净电荷，电荷只分布导体壳的内表面上处处没有净电荷，电荷只分布在外表面；在外表面；空腔内没有电场空腔内没有电场;空腔内的电势处处相等。空腔内的电势处处相等。（2）腔内有带电体：）腔

6、内有带电体：导体壳内表面所带电荷与导体壳内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零。腔内电荷的代数和为零。Q-Q静电屏蔽静电屏蔽Q-Q高斯面高斯面静电屏蔽静电屏蔽Example 9-1:如图，导体如图，导体B带电带电3C，导替壳，导替壳A带电带电5C。 问静电平衡后，问静电平衡后，A的外表面带电多少？的外表面带电多少？B:3CA-3C?Q外解：解：)C(Q835外1. 电容器和电容电容器和电容电容器是用以储藏电荷或电能的装置电容器是用以储藏电荷或电能的装置.实际中如此吗？实际中如此吗？?dq导体导体 9-2 电容电容 电电容器的串联和并联容器的串联和并联 如果空间中如果空间中 A、B 两导体相距足两

7、导体相距足够近，当其中一块导体带有电量够近，当其中一块导体带有电量 q 时时,发出的电力线几乎都终止于另一块导发出的电力线几乎都终止于另一块导体上，即他们总带有等量异号的电荷，体上，即他们总带有等量异号的电荷，我们称这两块导体组成一个电容器我们称这两块导体组成一个电容器,导导体体 A、B 称为电容器的两个极板称为电容器的两个极板。BA设此时两个极板间电势设此时两个极板间电势 差为差为V，则该电容器的电容，则该电容器的电容定义为定义为VqBUAUqCUAUBq-q记号记号 C=Q/V 是一个与仅与导体形状大小和周围电是一个与仅与导体形状大小和周围电介质有关的量，电容的单位为法拉，符号为介质有关的

8、量，电容的单位为法拉，符号为 F 一般来讲，法拉这个单位太大，通常用微法（一般来讲，法拉这个单位太大，通常用微法（F）或皮法（或皮法（pF）为单位）为单位1F=106 F=1012 pF1F=1C / 1V 常见的电容器，按其极板的形状有：平行板常见的电容器，按其极板的形状有：平行板电容器、球形电容器和柱形电容器等。电容器、球形电容器和柱形电容器等。 按其中的电介质分有：真空电容器、空气电按其中的电介质分有：真空电容器、空气电容器、云母电容器、陶瓷电容器，容器、云母电容器、陶瓷电容器，.按其电容值：可变电容器和固定电容器。按其电容值：可变电容器和固定电容器。 下面将证明：电容器的电容值，仅决定

9、于电容下面将证明：电容器的电容值，仅决定于电容器的性质，即极板的形状、大小、相互距离以及板器的性质，即极板的形状、大小、相互距离以及板间所充的电介质，与是否带电等无关。间所充的电介质，与是否带电等无关。2. 几种常见电容器的电容值：几种常见电容器的电容值：（1）平行板电容器）平行板电容器 A parallel plate capacitordSC0 dS求解电容器步骤如下求解电容器步骤如下(a) 设两极板电荷面密度为设两极板电荷面密度为; 000 2 2EE方向如图示方向如图示(c) 两极板电势差为两极板电势差为0 ddEdlEVBA(d) 由电容定义有由电容定义有 dSVQC0 (b)极板间

10、电场为极板间电场为:dS（2）球形电容器：）球形电容器：A spherical capacitor(a)设两极板带电量分别为设两极板带电量分别为 +Q，-Q，204rQE)RR(QdrrQEdrVBARRRRBABA (b)则有两极间电场为则有两极间电场为Q-Q(c)两极板间的电势差：两极板间的电势差：ABBARRRRC04VQC(d)代入代入得得:（3）柱形电容器）柱形电容器 A cylindrical capacitorRARBlABRRlCln20 l+ (a) 设电容器的内、外极板带有电设电容器的内、外极板带有电荷荷 +q 和和 -q ，单位长度上的电荷为，单位长度上的电荷为 =q /

11、 l ；(b)用前面已学过的知识求出两极板用前面已学过的知识求出两极板间，半径为间，半径为 r 处电场的值：处电场的值：lrqrE (c) 求出两极板间的电势差：求出两极板间的电势差：ABRRRRBARRlqdrlrqEdrUUBABAln2200 (d) 代入电容的定义求电容值：代入电容的定义求电容值：ABBARRlUUqCln20 RARBl 总结总结：（3）柱形电容器）柱形电容器ABRRlnlC RARBlABBARRRRC （2）球形电容器）球形电容器：Q-QdSC （1）平行板电容器）平行板电容器dS利用利用 :dRRABdSRRRRCoABBA 4024 RSQ-QdSRdlnlR

12、RlnlCAAB0001 2 2RS2RARBl结论：结论：1). ，即面积越大电容越大；，即面积越大电容越大；SC 2). ，即两极板越近电容越大。，即两极板越近电容越大。dC1问题：问题：S不能无限增大，不能无限增大，d不能无限减小不能无限减小(击穿击穿)，怎么办？，怎么办？1) 中间加一层电介质，电容变为：中间加一层电介质，电容变为：0CCr2).电容的串和并联。电容的串和并联。 为没有电介质时的电容，为没有电介质时的电容， 为介质的相对芥电常数，为介质的相对芥电常数，下节讲解；下节讲解；0Cr 5 10 玻璃 56 甘油 3 6 云母 80 纯水 3.1 3.5 聚氯乙烯 2.0 2.

13、3 石蜡 2.2 2.5 变压器油 1.000585 空气 r 电介质 r 电介质几种常见电介质的相对介电常数几种常见电介质的相对介电常数 当两极间充满介电常数为当两极间充满介电常数为 = 0 r 的均匀电介质时，的均匀电介质时，三种常见电容器的电容为：三种常见电容器的电容为：（1）平行板电容器）平行板电容器dSCdS（3）柱形电容器）柱形电容器ABRRlCln 2RARB（2）球形电容器：）球形电容器：ABBARRRRC 43.电容器的并联与串联电容器的并联与串联 每个电容器的电容值是确定每个电容器的电容值是确定的，同样，在电容器两极板间能的，同样，在电容器两极板间能加的电压值也是有限度的，

14、称为加的电压值也是有限度的，称为电容器的耐压值，一旦电压大于电容器的耐压值，一旦电压大于该值，极板间电介质的绝缘性将该值，极板间电介质的绝缘性将可能被破坏，称为可能被破坏，称为“击穿击穿”。 在实用中，为满足电路所要求的不同电容值和在实用中，为满足电路所要求的不同电容值和耐压值，常要将几个电容器进行相互联接，联接方耐压值，常要将几个电容器进行相互联接，联接方式有两种。式有两种。V（1） 电容器的并联电容器的并联特点：各电容器上所承受的特点：各电容器上所承受的电压相同（不能改变耐压电压相同（不能改变耐压值）；总电量等于各个电容值）；总电量等于各个电容器中电量之和：器中电量之和：Q=Q1+Q2+Q

15、3+QnV=V1=V2=V3=Vn等效电容为：等效电容为： CCVQCV特点：各电容中的电特点：各电容中的电量相等；各电容上电量相等；各电容上电压之和等于总电压：压之和等于总电压：Q=Q1=Q2=Q3=QnV=V1+V2+V3+VnV（2） 电容器的串联电容器的串联等效电容为：等效电容为： VVQVQCnCCCC111121 9-3 电介质的极化电介质的极化1.电介质的极化电介质的极化: 在电场中，电介质也要受到电场的作用，与导在电场中，电介质也要受到电场的作用，与导体相比，电介质中没有自由移动的电荷。体相比，电介质中没有自由移动的电荷。电场电场电介质电介质相互作用相互作用- q0q0 如图实

16、验，在如图实验，在q0不变请情况下，插入电介质后，两不变请情况下，插入电介质后，两极板间的电势降低，电容增加极板间的电势降低，电容增加.为什么？为什么？+ 在电场作用下在电场作用下,电介质中出现电介质中出现电电荷荷,使电容中的总场强减少，电势差使电容中的总场强减少，电势差降低，电容增加；降低，电容增加； 电介质表面出现的这种电荷只电介质表面出现的这种电荷只能在分子范围内移动，与电介质能在分子范围内移动，与电介质是不可分离的，称为极化电荷或是不可分离的，称为极化电荷或束缚电荷。束缚电荷。 电介质在外电场作用下，其表面甚至内部出电介质在外电场作用下，其表面甚至内部出现极化电荷的现象，叫做电介质的极

17、化。现极化电荷的现象，叫做电介质的极化。 + + +0EE电介质中的总电场为两个电场之和：电介质中的总电场为两个电场之和： EEE束缚电荷也要产生电场束缚电荷也要产生电场:E 0E自由电荷产生的电场为自由电荷产生的电场为 :0E但方向与但方向与 相反：相反：问题：如果是导体，情况？问题：如果是导体，情况？+ + + +0EE 按电荷分布的特点，电介质可以分为两类按电荷分布的特点，电介质可以分为两类 ：无：无极分子和有极分子极分子和有极分子.（ H2、He、N2.)(HCl、NH3、 CO.)电偶极子电偶极子2. 电介质极化的微观机理电介质极化的微观机理 在进入外电场前，无极分在进入外电场前，无

18、极分子的正、负电荷重心重合，没子的正、负电荷重心重合，没有电偶极矩。有电偶极矩。 进入外场后，在电场的作进入外场后，在电场的作用下，正、负电荷的中心发生用下，正、负电荷的中心发生位移，不再重合，形成电偶极位移，不再重合，形成电偶极子，表面出现束缚电荷。子，表面出现束缚电荷。 这时极化是电荷中心相对位移的结果，称为位移极这时极化是电荷中心相对位移的结果，称为位移极化。化。(1) 无极分子的极化无极分子的极化 E- + - + - +- +- + - + - +- +(2) 有极分子的极化有极分子的极化 进入外场前有极分子就相当进入外场前有极分子就相当一个电偶极子，只是由于热运一个电偶极子，只是由

19、于热运动而排列无序。动而排列无序。 进入外场后，分子受到力进入外场后，分子受到力矩的作用而发生偏转，电偶极矩的作用而发生偏转，电偶极矩转向外场方向。所以，这种矩转向外场方向。所以，这种极化称为转向极化。极化称为转向极化。 F1F2 E- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +1.电介质中的电场电介质中的电场 空间中有自由电子和束缚电荷，空间中有自由电子和束缚电荷，总电场为总电场为EEE 在介质的内部区域，在介质的内部区域， 削弱削弱E0E9-4电介质中的电场电介质中的电场 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 电位移电位移+ + + +

20、0EE 以平行板电容器为例以平行板电容器为例:VqCVqC EEEddEVVCCr0000rEE0因此因此:+ + + +0EE 有有:000)11( r其中其中 叫做介电常数叫做介电常数.r0 注意，上面得到的总电场注意，上面得到的总电场 E 与真空中电场与真空中电场 E0 的关的关系式，以及自由电荷面密度系式，以及自由电荷面密度 0 与极化电荷面密度与极化电荷面密度 的的关系式，并非普适关系式，仅在均匀各向同性充满空关系式，并非普适关系式，仅在均匀各向同性充满空间时才成立。间时才成立。考虑到考虑到: EEE和和 rrEE+ + + +0EE Example 9-2:平行板电容器的两极板上分

21、别带有等值异号的电荷，平行板电容器的两极板上分别带有等值异号的电荷，面密度为面密度为 9.010 6 C/m2，在两极板间充满介电常数，在两极板间充满介电常数 3.510 11 C2/（Nm2）的电介质，求（）的电介质，求（1）自由电荷产生的场强；（）自由电荷产生的场强；（2）电介）电介质内的场强；（质内的场强；（3）电介质表面上的极化电荷的面密度；（）电介质表面上的极化电荷的面密度；（4）极）极化电荷所产生的场强。化电荷所产生的场强。解：解：(1)自由电荷所产生的场强（在真空中）自由电荷所产生的场强（在真空中）为为V V/ /m m1 10 01 1. .0 02 21 10 08 8. .

22、8 85 51 10 09 9. .0 0E E6 61 12 26 60 00 00 0 + + + +0EE (V/m) .E rrEE（2）由）由由（由（9-20）式得极化电荷面密度为：）式得极化电荷面密度为： m/C. （4）极化电荷所产生的场强为：）极化电荷所产生的场强为：由此可见，所得的结果相同。由此可见，所得的结果相同。+ + + +0EE (V/m) .E (V/m) .EEE或或2. 有介质时的高斯定理有介质时的高斯定理 介质中束缚电荷产生的电场，当然，满足高斯定理。介质中束缚电荷产生的电场，当然，满足高斯定理。因此总电场也满足高斯定理因此总电场也满足高斯定理: Sbound

23、freeqqSESd不幸地不幸地, 通常，预先并不知道束缚电荷通常，预先并不知道束缚电荷 .怎么办怎么办?我们仍以充满相对介电常数我们仍以充满相对介电常数 r 的平行板电容器为例进的平行板电容器为例进行讨论：行讨论： 根据真空中的高斯定理，在根据真空中的高斯定理，在电场中任作一闭合曲面电场中任作一闭合曲面 S，通过，通过该闭合曲面的电通量为：该闭合曲面的电通量为： )(qSE内内 Sd其中其中q（内）（内）是曲面内所有电荷的代数和。是曲面内所有电荷的代数和。+ + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - -+ + + + + + - -+ + +

24、+ + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - -+ + + + + + + + +- - 为方便计，我们取如为方便计，我们取如图的长方形闭合曲面图的长方形闭合曲面 S ，其上、下底面与极板平行，其上、下底面与极板平行，面积均为面积均为 A ，上底面在正，上底面在正极板内，下底面在电介质极板内，下底面在电介质内。内。 )(qSE内内 Sd 这样，闭合曲面这样，闭合曲面 S 内的自由电荷内的自由电荷 q 0= 0A ，而极，而极化电荷化电荷 q= A ，高斯定理写为：，高斯定理写为：)(100AAsdES 代入前面已得到的，自由代入前面已得到的，自由电荷与极化电

25、荷面密度间电荷与极化电荷面密度间的关系式，有：的关系式，有： AA + + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - -+ + + + + + + + +- - rrqA 代入高斯定理有：代入高斯定理有： SrqsdE 00 SqsdE0 =0r+ + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - -+ + + + + + + + +- - 定义电介质的介电常数与电场强度的乘积为定义电介质的介电常数与电场强度的乘积为电位移电位移矢量矢量，即：，即：ED 则得到有介质时的高斯定理：则得到有介质时的高斯定理： SS

26、qsdD自自 引入引入 线和通量线和通量 , 上式说明上式说明: DD通过任意闭合面的通量等于面内的自由电荷通过任意闭合面的通量等于面内的自由电荷D这叫做介质内的高斯定理这叫做介质内的高斯定理.+ + + + + + + + + +- - - - - - - - - - - - - - -+ + + + + + - -+（内内） q 我们是从平行板电容器这个特例推出有电介我们是从平行板电容器这个特例推出有电介质的高斯定理的，但它是普遍适用的，是静电质的高斯定理的，但它是普遍适用的，是静电场的基本规律之一；场的基本规律之一；Note:电场电场DE 电位移矢量电位移矢量 D 是一个辅助物理量，真正

27、有物是一个辅助物理量，真正有物理意义的是电场强度矢量理意义的是电场强度矢量 E，引入，引入 D 的好处是的好处是在高斯定理的表达式中，不出现很难处理的极化在高斯定理的表达式中，不出现很难处理的极化电荷；电荷； SSqsdD自自 与电力线的概念一样，我们可以引入电位移线与电力线的概念一样，我们可以引入电位移线来描述来描述D 矢量场，同时计算通过任意曲面的电位矢量场，同时计算通过任意曲面的电位移通量，不过要注意，移通量，不过要注意，D 线与线与 E 线是不同的；线是不同的；- - - - - - - -+ + + + + + + + + +-D-line- - - - - - - -+ + + +

28、 + + + + + +-E-line自由自由自由自由电荷电荷电荷电荷 电位移的单位是电位移的单位是“库仑库仑 每平方米每平方米”，符号为：，符号为：C/m2 ，（这也就是电荷面密度的单位，（这也就是电荷面密度的单位)。“在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移通量等于该面所包围的自由电荷的代数和等于该面所包围的自由电荷的代数和”。 SSqsdD自自用介质中的高斯定理求电场：用介质中的高斯定理求电场：要求要求 ，E先求先求 ；D 求出求出 ，D再求再求 。E例例 9-3: 介电常数介电常数 的介质中有两个点电荷的介质中有两个点电荷 q1 和和 q

29、2 。求它们的相互作用。求它们的相互作用。q1q2r解解: (1) 为为:D1qSd .DS214 rqD(2) q1 的电场为的电场为214rqDE(3) 它们的相互作用为它们的相互作用为: 22124rqqEqfExample 9-4:一金属球体，半径为一金属球体，半径为R，带有电荷，带有电荷q0，埋在均匀，埋在均匀“无无限大限大”的电介质中（介电常数为的电介质中（介电常数为），求），求： （1）球外任意一点）球外任意一点P的场强；（的场强；（2）与金属球接触处的电介质表面上的极化电荷。）与金属球接触处的电介质表面上的极化电荷。解：由于电场具有球对称性，同时已知自由电荷的分解：由于电场具有

30、球对称性，同时已知自由电荷的分布，所以用有介质时的高斯定理来计算球外的场强是布，所以用有介质时的高斯定理来计算球外的场强是方便的。方便的。（1） 如图所示，过如图所示，过P点作与金属球同心的球面点作与金属球同心的球面S，由，由高斯定理知：高斯定理知：S P qSDSd rqD rqE即即（2）设与金属球接触的电介质表面的极化电荷为）设与金属球接触的电介质表面的极化电荷为q，在球面在球面S内有自由电荷内有自由电荷q0及极化电荷及极化电荷q，根据电场的叠，根据电场的叠加原理有加原理有S P- rqrqE rq即即)(rqq Example 9-5:如图所示，平行板电容的极板面积为如图所示，平行板电

31、容的极板面积为S，求电容？求电容？1d2d12解：解：2)求求D： ASd .DS0D3)两种电介质中的电场：两种电介质中的电场：1011DE2022DE 1）设极板面电荷密度为）设极板面电荷密度为 ；4）求电势差：）求电势差：2201102211dddEdEV5）电容：）电容：21122122011000ddSddSVqC1d2d12相当于两个电容串联相当于两个电容串联!1. 电容器中的能量电容器中的能量: 电容器不仅存储电荷，也存储电能，电容器不仅存储电荷，也存储电能， 如图所示。如图所示。电容器的能量从何而来电容器的能量从何而来? q-qdqSource U电源作功为电源作功为dqCqUdqdW因此因此:CQCqdqdWWQQ200219 - - 5 电场的能量电场的能量 存储于电容器中的能量为存储于电容器中的能量为 22212121CVQVCQWC上式普遍适用。上式普遍适用。储存电能储存电能CVQ2. 电场的能量电场的能量 给电容器充电是在两极板间产生电场。因此，给电容器充电是在两极板间产生电场。因此，认为电容器存储的能量集中在两极板的电场中。认为电容器存储的能量集中在两极板的电场中。VQ-QE电场电场能量能量 利用利用 和和 , 有有: dSCEdV SdECVWC222121体积VESdEWe222121能量密度，即单位体积中的能量，为能量密