2014年各区县一模--二次函数

1、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y2 axbx c a , b , c 为常数，a 0；2.顶点式：ya(xh)2 k a , h , k为常数，a 0 丨；3.两根式：ya(xXj(x X2) a 0 , X X2是抛物线与x轴两交点的横坐标注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与x轴有交点，即b2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式 的这三种形式可以互化二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简

2、便一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大小值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于x轴对称2y ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式是y2axbx2y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是2.关于y轴对称2y ax bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y2axbx2y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是3.关于原点对称2y axbx c关于原点对称后

3、，得到的解析式是2axbx2hk关于原点对称后，得到的解析式是4.关于顶点对称即：抛物线绕顶点旋转1802y axbxc关于顶点对称后，得到的解析式是2axbx2a ；k关于顶点对称后，得到的解析式是5.关于点对称k关于点 m, n对称后，得到的解析式是2h 2m 2n ka永远不变.求根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线或表达式的抛物线的顶点坐标与开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标与开口方向，然 后再写出其对称抛物线的表达式.二次函数与一元二次方程:

4、1.二次函数与一元二次方程的关系二次函数与元二次方程ax2 bx c 0是二次函数yx轴交点情况：ax2 bx c当函数值y 0时的特殊情况当X2)，其中的x, , X2是一元二次方图象与x轴的交点个数:2, - , b 4ac 0时，图象与x轴交于两点 Ax, , 0 , B x?, 0 (x程 ax2 bx c 0 a0的两根这两点间的距离AB x2 x, 当0时，图象与x轴只有一个交点； 当0时，图象与x轴没有交点1'当a 0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有 y 0 ； 2'当a 0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有 y 0 .2.抛物线y2(0

5、 , c);ax bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数y ax2 bx c中a , b , c的符号，或由二次函数中 a , b , c的符号判断图象的位置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母 x的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二

6、次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：2021年各区县一模二次函数0抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、 可零、可负一兀二次方程有两个不相等实根0抛物线与x轴只 有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根0抛物线与x轴无 交占八、二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根.房山23.如图，抛物线yx2 bx c经过A( 1,0)、C(0,4)两点，与x轴的另一交点是B .1求抛物线的解析2假设点D a,a 1在第一象限的抛物线上，求点 D关于直线BC的称点D'的坐标;3在2的条件下，过点D作DEkBC于点E,反比例函数y (k 0)的图象经过点E，x点F

7、m, n . 3在此反比例函数图象上，求 4n15的值.m3昌平23.如图，二次函数y ax2 + bx -a0的图象经过点A，点B.21求二次函数的表达式；2假设反比例函数y -x>0的图象与二次函数y ax2 + bx -a0的图象在第x2一象限交于点C(p，q)，p落在两个相邻的正整数之间，请你直接写出这两个相邻的正整数；3假设反比例函数y-x>0，k>0的图象与二次函数x象在第一象限交于点D(m，n)，且2m 3，试数k的取值围.昌平25.无论k取任何实数，对于直线ykx都会经过一个固定的点(0,0)，我们就称直线y kx恒过定点(0,0).1无论m取任何实数，抛物线

8、y mx2 (1 3m)x 的坐标；2A ABC的一个顶点是1中的定点A X。 线y x，求边BC所在直线的表达式3求厶2恒过定点Ax。，y。，直接写出定点A0，ABC且B， C的角平分线分别是y轴和直 切圆的半径1n111-1O 1x-11东城25.平面直角坐标系xOy中，直线y -x 1分别与x轴，y轴交于过点A，B,点C是第一象限的一点，且AB=AC AB丄AC抛物线yx2 bx c经过A，C两点，与x轴的另一2交点为D.q1求此抛物线的解析式；2判断直线AB与CD的位置关系，并证明你的结论；3点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N, 使以A B, M N四点构成的四边形为平行四

9、边形？彷'假设存在，求点N的坐标；假设不存在，请说明理由.丰台23.二次函数L1: y 2x2 bx c与x轴交于A 1,0、B3,0两点;二次函数L2: y kx2 4kx 3k ( k工0)的顶点为P.(1)请直接写出：b=, c=;当 APB 90：，数k的值；(3)假设直线y 15k与抛物线L2交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化?如果不发生变化，请求出EF的长度；如果发生变化，请说明理由4 L32 .41234 x丰台25.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2 c与x轴交于点A-2,0丨和点B,与y 轴交于点C0, 2/3，线段AC上有一动点P从点A出发，以每秒

10、1个单位长度的速度向点C 移动，线段AB上有另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向点A移动，两动 点同时出发，设运动时间为t秒.1求该抛物线的解析式；2在整个运动过程中，是否存在某一时刻，使得以A，P，Q为顶点的三角形与 AOC!似？ 如果存在，请求出对应的t的值;如果不存在，请说明理由3在y轴上有两点M0，m和N0，m+1，假设要使得AM+MN+NP和最小，请直接写 出相应的m t的值以与AM+MN+NP最小值.备用图西城23.抛物线y x2 kx 3与x轴交于点A , B，与y轴交于点C ,其中点B的坐标为(1 k , 0).1求抛物线对应的函数表达式；2将1中的抛物线沿对称轴

11、向上平移，使其顶点 M落在线段BC上，记该抛物线为G， 求抛物线G所对应的函数表达式；3将线段BC平移得到线段BC B的对应点为B，C的对应点为C丨使其经过2中 所得抛物线G的顶点M，且与抛物线G另有一个交点N，求点B到直线0C的距离h的取值 围。门头沟23.关于x的一元二次方程x2 (5m 1)x 4m2 m 0.1求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根;2假设原方程的两个实数根一个大于 3,另一个小于8,求m的取值围;3抛物线y x2 (5m 1)x 4m2 m与x轴交于点A、B点A在点B的左侧，现坐标系有一矩形OCDE如图11,点C0, -5)，D6, -5) ，E6, 0),当m

12、取第2问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移 h个单 位，使平移后的抛物线与矩形OCD有两个交点，请结 合图形写出h的取值或取值围直接写出答案即可.燕山23.关于x的一元二次方程x2 2(k 1)x k2 2k 3 0有两个不相等的实数根.1求k的取值围；2当k取最小的整数时，求抛物线y x22(k 1)x k2 2k 3的顶点坐标以与它与x轴的交点坐标；3将(2)中求得的抛物线在x轴下方的局部沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余局部不变，得到一个新图象请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y x m有三个不同公共点时m的值.密云23.抛物线y 3ax22bx c1丨假设ab 1,c1求该抛

13、物线与x轴的交点坐标；2假设a-c b32，证明抛物线与x轴有两个交点；3假设a1-,c 2b且抛物线在2x 2区间上的最小值是-3，求b的值3平谷23.如图，在平面直角坐标系中，直线 y x 1与抛物线y= ax2 + bx 3a0交于A、7 / 13B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5点P是直线AB下方的抛物线上的一动点不与 点A、B重合过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PDL AB于点D.1求抛物线的解析式；2设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值； 连结PB,线段卩。把厶PDB分成两个三角形，是否存在适合的 m的值，使这两个三角形的面 积比为

14、1:2 假设存在，直接写出m的值；假设不存在，请说明理由.顺义23.抛物线y x2 2mx m2 1与x轴交点为A、B点B在点A的右侧，与y轴交 于点C.1试用含m的代数式表示A、B两点的坐标；2当点B在原点的右侧，点C在原点的下方时，假设 BOC是等腰三角形，求抛物线的 解析式；3一次函数y kx b，点Pn，0是x轴上一个动点，在2的条件下，过点P作垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点 M交抛物线y x2 2mx m2 1于点N,假设只有 当1 n 4时，点M位于点N的下方，求这个一次函数的解析式.延庆23.在平面直角坐标系中，抛物线y专x2 |mx m2 3m 2与x轴的交点分别为原

15、864-2BjJJifali*4-2 0a-6II点0和点A,点B4, n在这条抛物线上.1求B点的坐标；2将此抛物线的图象向上平移 7个单位，求平移后的图象的解析式；23在2的条件下，将平移后的二次函数的图象在 x轴下方的局部沿x轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象请你结合这个新的图象答复：当直线 y lx b与此2图象有两个公共点时，b的取值围.23.关于x的- 兀二 次方程 mx2 3(m 1)x 2m 3 0.1如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值围;2在1的条件下，当关于x的抛物线y mx2 3(m 1)x 2m 3与x轴交点的横坐标都是整数，且x 4时，求m的整数

16、值.25.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A( 2 3，0)，点B(0，2)，点C是线段0A的中点.1点P是直线AB上的一个动点，当PC+PO的值最小时，画出符合要求的点P保存作图痕迹；求出点P的坐标与PQPO的最小值;y 2当经过点O C的抛物线y=ax2+bx+c与直线AB只有一个公共点时，Jl求a的值并指出这个公共点所在象限.海淀23.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y mx2 (m n)x n m 0的图象与y轴正半 轴交于A点.1求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；2设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B,假设 ABO 45，将直线AB向下平移2个单位得到直线

17、I，求直线I的解析式；3在2的条件下，设M (p,q)为二次函数图象上的一个动点，当3 p 0时，点M关于x轴的对称点都在直线I的下方，求m的取值围.2341蔦-4-3 -2 _- 1 O-1-2 -3-4 -5通州23.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y x2 2x 8的图象与一次函数y x b 的图象交于A B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为7 点P是二次函数图象上A、B两 点之间的一个动点不与点 A B重合，设点P的横坐标为m过点P作x轴的垂线交AB于 点C,作PDlAB于点D.1求b与sin / ACP的值；2用含m的代数式表示线段PD的长；3连接PB,线段PCffi PDB

18、分成两个三角形，是否存在适合的 m值，使这两个三角形的 面积之比为1:2.如果存在，直接写 出m的值；如果不存在，请说明理由.通州25.如图，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心点A在x轴上，直径0B=8，点C是半圆上一点，COA 60，二次函数y a(x h)2 k的图象经过点A、B C动点P和点Q同时从点O出发，点P以每秒1个单位的速度从O点运动到点C,点Q以每秒两个单位的速度在 OB上运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动.点D是点C关于二次函数图象对称轴的 对称点，顺次连接点D P、Q,设点P的运动时间为t秒， DPQ勺面积为y.1求二次函数y a(x h)2 k的表达式；2当 DQP 120时，直接写出 点P的坐标；3在点P和点Q运动的过程中， DPC的面积存在最大值吗？如果存在，请求出此时的t大兴23.在平面直角坐标系 xOy中，二次函数y ax2 bx c的图象与x轴的正半轴交于A(x1,Q)、B(x2,0)两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C.点A和点B间的距离为2