机械振动6连续系统的振动2杆的纵向振动

1、2讨论直杆的纵向振动讨论直杆的纵向振动 杆长杆长 L，假定振动过程中各横截面仍保持为平面假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面积截面积 A(x)(x材料密度材料密度弹性模量弹性模量 E忽略由纵向振动引起的横向变形忽略由纵向振动引起的横向变形),(txfLx0),(txf杆上分布的纵向作用力杆上分布的纵向作用力 杆参数：杆参数：杆各处杆各处x的纵向位移为的纵向位移为),(txu3微段分析微段分析 ),(txfLx0 xdxdxtxf),(dxudxxuu22tuAdxdxxNNN微段应变：微段应变： xudxudxxuu)(横截面上的内力：横截面上的内力：xuExAExAtxN)()(),(由牛

2、顿定理：由牛顿定理： dxtxfNdxxNNtuAdx),()(22dxtxfdxxN),(4),(txu杆上距原点杆上距原点 x 处截面在时刻处截面在时刻 t 的纵向位移的纵向位移横截面上的内力：横截面上的内力：代入，得：代入，得： 杆的纵向强杆的纵向强迫振动方程迫振动方程 对于等直杆，对于等直杆，),(122222txfAxuatu/Ea 弹性纵波沿杆的纵向传播速度弹性纵波沿杆的纵向传播速度 有：有： ),(txfLx0 xdxxuExAExAtxN)()(),(由牛顿定理：由牛顿定理： dxtxfdxxNtuAdx),(22),()()()(22txfxuExAxtuxAx为常数A,5等

3、直杆的纵向自由振动：等直杆的纵向自由振动： 要求解，同样需要两个初始条件和两个边界条件。要求解，同样需要两个初始条件和两个边界条件。/Ea 假设杆的各点作同步运动，即设假设杆的各点作同步运动，即设 ：)()(),(tFxUtxuF(t) 表示运动规律的时间函数表示运动规律的时间函数 )(xU表示杆上距原点表示杆上距原点 x 处的截面的纵向振动振幅处的截面的纵向振动振幅 代入，得：代入，得： )()()()(2xUxUatFtF ),(txfLx022222xuatu6记：记：2 0)()()(0)()(22xUaxUtFtF tBtAtFcossin)(axDaxCxUcossin)(通解：通

4、解：（确定杆纵向振动的形态，称为（确定杆纵向振动的形态，称为振型振型 ）,DC由杆的边界条件确定由杆的边界条件确定 与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数 ，表示各坐标振幅的相对比值，表示各坐标振幅的相对比值 由频率方程确定的固有频率由频率方程确定的固有频率 有无穷多个有无穷多个 i（下面讲述）（下面讲述） )()()()(2xUxUatFtF A,B由杆的初始条件确定由杆的初始条件确定 70sin, 0aLCD(1) 杆两端固定杆两端固定固定端的变形为零，所以边界条件：固定端的变形为零，所以边界条件：0)()0(LUU0sin

5、aLiaL), 2 , 1(iELiLiai所以振型函数：所以振型函数：axDaxCxUcossin)()2 , 1(sinsin)(iLxiaxxUii上式同样略去系数上式同样略去系数C.80sin, 0aLDC(2) 杆两端自由杆两端自由自由端的应力必须为零，由应力应变关系，两端应变为零：自由端的应力必须为零，由应力应变关系，两端应变为零：0),(), 0(xtLuxtu0sinaLiaL所以振型函数：所以振型函数：axDaxCadxdUsincos)2 , 1(coscos)(iLxiaxxUii上式同样略去系数上式同样略去系数C.0)()0(dxLdUdxdUaxDaxCxUcossi

6、n)(), 2 , 1(iELiLiai90cos, 0aLCD(3) 杆一端固定，另一端自由杆一端固定，另一端自由这时，边界条件：这时，边界条件：0cosaL)21( iaL), 2 , 1(2) 12(iELii所以振型函数：所以振型函数：axDaxCadxdUsincos)2 , 1(2) 12(sinsin)(iLxiaxxUii上式同样略去系数上式同样略去系数C.0)(, 0)0(dxLdUUaxDaxCxUcossin)(10两端固定、两端自由和一端固定一端自由的杆的前三阶振型：两端固定、两端自由和一端固定一端自由的杆的前三阶振型：x)(1xUx)(2xUx)(3xUx)(1xUx

7、)(2xUx)(3xUx)(1xUx)(2xUx)(3xU,sin)(LxixUi,cos)(LxixUiLxixUi2) 12(sin)(11例例6.2-1 求上端固定、下端有一质量块求上端固定、下端有一质量块M的等直杆作纵向振动的等直杆作纵向振动, 0), 0(tuOLMxEA的固有频率和固有振型。的固有频率和固有振型。解：上端固定，其边界条件：解：上端固定，其边界条件：, 0)0(U下端附质量下端附质量M，在振动时产生对杆端的惯性力，在振动时产生对杆端的惯性力：,),(),(22ttLuMxtLuEA),()()()(),(),()(),(222tFLUtFLUttLutFdxLdUxt

8、Lu 而),()(2LMUdxLdUEAaxDaxCxUcossin)(,sincos, 02aLMaLaEAD12axDaxCxUcossin)(,sincos, 02aLMaLaEADMaEAaL tanMALaLaLtan由上式可以求出无穷多个固有频率，有无穷多对应的振型。由上式可以求出无穷多个固有频率，有无穷多对应的振型。也可以通过作图求出固有频率：也可以通过作图求出固有频率：设质量比设质量比质量比质量比,/, 1/aLMAL,/1tan)(fO22321231tantan，86. 01，43. 32，4373. 63，ELLa86. 011，EL43. 32，EL4373. 6313

9、，86. 01，43. 32)(fO22321231tantan，4373. 63，ELLa86. 011，EL43. 32，EL4373. 63ELii2) 12(杆的固有频率为而一端固定一端自由的，EL21，EL232，EL253相比，由于前者端部附有质量，使其固有频率明显降低。相比，由于前者端部附有质量，使其固有频率明显降低。1411La由此可估算基频：, 1MAL如果杆的质量相对附加质量很小，即如果杆的质量相对附加质量很小，即这与单自由度系统的结果相同，这与单自由度系统的结果相同，例如例如抗拉刚度，为不计本身质量时杆的式中，,/ LAEk ,1也为小值对应第一阶的,tan11则, 1t

10、anMAL,21MALLMEAMk说明在计算基频时，如果杆本说明在计算基频时，如果杆本身质量比悬挂质量小得多时，可以忽略杆的质量。身质量比悬挂质量小得多时，可以忽略杆的质量。,1 . 0 时MAL而由而由误差仅为误差仅为1.65%。,3162. 01 . 01得, 1 . 0tan11,31105. 01得15代入上式，得将第一次近似MAL/21,3/1/211MAL进一步的近似可取进一步的近似可取所以基频为：所以基频为：的固有频率计算公式，和瑞利法所得结果一致。的固有频率计算公式，和瑞利法所得结果一致。, 3/tan3111,33111MAL上式就是将杆的质量的上式就是将杆的质量的1/3加到

11、质量加到质量M上所得的单自由度系统上所得的单自由度系统MALMAL3/1/13/ALMAL11La3/ALMLAE3/ALMk等价质量等价质量16基频为：基频为：与前文所解得的：与前文所解得的：例如杆的质量等于例如杆的质量等于M, 有有相比，误差仅为相比，误差仅为0.7%，11La3/ALMk3/13/1MMMELALMLALaEL866. 0，ELLa86. 011可以说，只要杆的质量不大于附加可以说，只要杆的质量不大于附加质量，那么在实际应用中据此计算基频，已经足够准确了。质量，那么在实际应用中据此计算基频，已经足够准确了。17例例6.2-2：一均质杆，左端固定一均质杆，左端固定，右端与一

12、弹簧连接，右端与一弹簧连接。解：左端固定：解：左端固定：Lx0k, 0)0(UEA,求固有频率和振型函数。求固有频率和振型函数。右端与弹簧连接，其轴力等于负的弹性力：右端与弹簧连接，其轴力等于负的弹性力：)()(),()()(),(tFLkUtLkUtFdxxdUEAxtxUEALxLx)()(LkUdxxdUEALx代入振型函数公式：代入振型函数公式：axDaxCxUcossin)(18, 0)0(U)()(LkUdxxdUEALx代入振型函数公式：代入振型函数公式：axDaxCxUcossin)(, 0)0( DUaLkCaLCaEAsincoskaEAaL tankLEAaLaL/tan

13、，则令kLEAaLaL/tan的数值解，率，不难求出各阶固有频对于给定的i的振型函数为：对应于固有频率i), 2 , 1(sin)(iaxxUii19例例6.2-3 等直杆一端固定一端自由，等直杆一端固定一端自由， 解解 ：已知等直杆一端固定一端自由的固有频率和振型函数：已知等直杆一端固定一端自由的固有频率和振型函数：)()(),(tFxUtxu在自由端加一轴力在自由端加一轴力F,在在t=0时释放，时释放， 求杆的自由振动求杆的自由振动 Lx0EA,2) 12(ELii)2 , 1(2) 12(sin)(iLxixUi1)cossin(212siniiiiitBtAxLi由初始条件决定、式中，

14、iiBAF20初始条件：初始条件：,)0 ,()(xxuEAxEAFLx0EA,2) 12(ELii0)0 ,(txu1)cossin(212sin),(iiiiitBtAxLitxu0iA由第二个初始条件得：F1)212cos(212sin),(iiatLiBxLitxu代入第一个初始条件：1212siniixLiBEAFx211212siniixLiBEAFx:), 0(212siniBLxLi区间上积分可得乘上式两边，并在用dxxLixLjBdxxLixEAFjLjL100212sin212sin212sindxxLiBLi02212sin0212cos) 12(2212sin) 12(4222LxLixiLxLiiLAEF左端2212) 12() 1(4iLAEFi22dxxLiBLi02212sin右端2212) 12() 1(4iLAEFi左端dxxLiBLi012cos12012sin) 12(2LxLiiLLBiLBi2), 2 , 1() 12() 1(8221iEAiFLBii1)212cos(212si