14定积分与微积分基本定理练习题及答案

1、1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线yx2与yx所围成图形的面积，其中正确的是()AS(x2x)dxBS(xx2)dxCS(y2y)dy DS(y)dy答案B分析根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数解析两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在0,1上，xx2，故函数yx2与yx所围成图形的面积S(xx2)dx.2(2010·山东日照模考)axdx，bexdx，csinxdx，则a、b、c的大小关系是()Aa<c<b Ba<b<cCc<b<a Dc

2、<a<b答案D解析axdxx2|022，bexdxex|02e21>2，csinxdxcosx|021cos2(1,2)，c<a<b.3(2010·山东理，7)由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为()A. B. C. D.答案A解析由得交点为(0,0)，(1,1)S(x2x3)dx01.点评图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·湖南师大附中)设点P在曲线yx2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线yx2及直线x2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，

3、当S1S2时，点P的坐标是()A. B.C. D.答案A解析设P(t，t2)(0t2)，则直线OP：ytx，S1(txx2)dx；S2(x2tx)dx2t，若S1S2，则t，P.4由三条直线x0、x2、y0和曲线yx3所围成的图形的面积为()A4 B. C. D6答案A解析Sx3dx024.5(2010·湖南省考试院调研)1(sinx1)dx的值为()A0 B2C22cos1 D22cos1答案B解析1(sinx1)dx(cosxx)|11(cos11)(cos(1)1)2.6曲线ycosx(0x2)与直线y1所围成的图形面积是()A2 B3C. D答案A解析如右图，S02(1cos

4、x)dx(xsinx)|022.点评此题可利用余弦函数的对称性面积相等解决，但若把积分区间改为，则对称性就无能为力了7函数F(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，无最小值B有最大值0和最小值C有最小值，无最大值D既无最大值也无最小值答案B解析F(x)x(x4)，令F(x)0，得x10，x24，F(1)，F(0)0，F(4)，F(5).最大值为0，最小值为.点评一般地，F(x)(t)dt的导数F(x)(x)8已知等差数列an的前n项和Sn2n2n，函数f(x)dt，若f(x)<a3，则x的取值范围是()A. B(0，e21)C(e11，e) D(0，e11)答案D解析f(x)dt

5、lnt|1xlnx，a3S3S2211011，由lnx<11得，0<x<e11.9(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线ysinx(0x)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是()A. B. C. D.答案A解析由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积由题意得Ssinxdxcosx|0(coscos0)2，再根据几何概型的算法易知所求概率P.10(2010·吉林质检)函数f(x)的图象与x轴所围成的图形面积S为()A

6、. B1 C4 D.答案C解析面积S2f(x)dx2(x2)dx02cosxdx224.11(2010·沈阳二十中)设函数f(x)xx，其中x表示不超过x的最大整数，如1.22，1.21，11.又函数g(x)，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，则g(x)dx的值是()A B C D答案A解析由题意可得，当0<x<1时，x0，f(x)x，当1x<2时，x1，f(x)x1，所以当x(0,2)时，函数f(x)有一个零点，由函数f(x)与g(x)的图象可知两个函数有4个交点，所以m1，n4，则g(x)dxdx14.11(2

7、010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间0,1上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间0,1上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，若关于x的方程x22bxc0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为()A. B. C. D.答案A解析方程x22bxc0有实根的充要条件为4b24c0，即b2c，由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p.12(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线yx2(x0)与x轴，直线x1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形

8、中，则质点落在区域M内的概率是()A. B. C. D.答案C解析如图，正方形面积1，区域M的面积为Sx2dxx3|01，故所求概率p.2如图，阴影部分面积等于()A2 B2C. D.答案C解析图中阴影部分面积为S (3x22x)dx(3xx3x2)|.3.dx()A4 B2C D.答案C解析令y，则x2y24(y0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，S××22.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示)那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是()A在t1时刻，甲车在乙车

9、前面B在t1时刻，甲车在乙车后面C在t0时刻，两车的位置相同Dt0时刻后，乙车在甲车前面答案A解析判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t0，tt0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t0，tt0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和tt1围成区域的面积，仍然大

10、于v乙的图象与t轴和tt1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面所以选A.5(2012·山东日照模拟)向平面区域(x，y)|x，0y1内随机投掷一点，该点落在曲线ycos2x下方的概率是()A. B.C.1 D.答案D解析平面区域是矩形区域，其面积是，在这个区 6 (sinxcosx)dx的值是()A0B. C2D2答案D解析 (sinxcosx)dx(cosxsinx) 2.7(2010·惠州模拟)(2|1x|)dx_.答案3解析y，(2|1x|)dx(1x)dx(3x)dx(xx2)|(3xx2)|3.8(2010·芜湖十二中)已知函

11、数f(x)3x22x1，若1f(x)dx2f(a)成立，则a_.答案1或解析1f(x)dx1(3x22x1)dx(x3x2x)|4，1f(x)dx2f(a)，6a24a24，a1或.9已知a0(sinxcosx)dx，则二项式(a)6的展开式中含x2项的系数是_答案192解析由已知得a0(sinxcosx)dx(cosxsinx)|0(sincos)(sin0cos0)2，(2)6的展开式中第r1项是Tr1(1)r×C×26r×x3r，令3r2得，r1，故其系数为(1)1×C×25192.10有一条直线与抛物线yx2相交于A、B两点，线段AB与

12、抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段AB的中点P的轨迹方程解析设直线与抛物线的两个交点分别为A(a，a2)，B(b，b2)，不妨设a<b，则直线AB的方程为ya2(xa)，即y(ab)xab.则直线AB与抛物线围成图形的面积为S(ab)xabx2dx(x2abx)|(ba)3，(ba)3，解得ba2.设线段AB的中点坐标为P(x，y)，其中将ba2代入得消去a得yx21.线段AB的中点P的轨迹方程为yx21.能力拓展提升11.(2012·郑州二测)等比数列an中，a36，前三项和S34xdx，则公比q的值为()A1 BC1或 D1或答案C解析因为S34xdx2x2|18，所以6

13、18，化简得2q2q10，解得q1或q，故选C.12(2012·太原模拟)已知(xlnx)lnx1，则lnxdx()A1 Be Ce1 De1答案A解析由(xlnx)lnx1，联想到(xlnxx)(lnx1)1lnx，于是lnxdx(xlnxx)|(elnee)(1×ln11)1.13抛物线y22x与直线y4x围成的平面图形的面积为_答案18解析由方程组解得两交点A(2,2)、B(8，4)，选y作为积分变量x、x4y，S (4y)dy(4y)|18.14.已知函数f(x)ex1，直线l1：x1，l2：yet1(t为常数，且0t1)直线l1，l2与函数f(x)的图象围成的封闭

14、图形如图中区域所示，其面积用S2表示直线l2，y轴与函数f(x)的图象围成的封闭图形如图中区域所示，其面积用S1表示当t变化时，阴影部分的面积的最小值为_答案(1)2解析由题意得S1S2(et1ex1)dx(ex1et1)dx(etex)dx(exet)dx(xetex)|(exxet)|(2t3)ete1，令g(t)(2t3)ete1(0t1)，则g(t)2et(2t3)et(2t1)et，令g(t)0，得t，当t0，)时，g(t)<0，g(t)是减函数，当t(，1时，g(t)>0，g(t)是增函数，因此g(t)的最小值为g()e12e(1)2.故阴影部分的面积的最小值为(1)2

15、.15求下列定积分(1)1|x|dx; (2)cos2dx；(3)dx.解析(1)1|x|dx2xdx2×x2|1.(2)cos2dxdxx|sinx|.(3)dxln(x1)|1.16已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值解析f (x)3x22axb，f (0)0，b0，f(x)x3ax2，令f(x)0，得x0或xa(a<0)S阴影0(x3ax2)dx(x4ax3)|a4，a<0，a1.1(2011·龙岩质检)已知函数f(x)sin5x1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求f(x)dx的值，结果是()A. BC1 D0答案B解析 f(x)dxsin5xdx1dx，由于函数ysin5x是奇函数，所以sin5xdx0，而1dxx|，故选B.2若函数f(x)的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为()A. B.C1 D.答案D解析由图可知acosxdxsinx|0.3对任意非零实数a、b，若ab的运算原理如图所示，则sinxdx_.答案解析sinxdxco