材料力学(第五版)最新课件第二章课件

1、第二章第二章 拉伸、压缩与剪切拉伸、压缩与剪切轴向拉伸与压缩的概念和实例轴向拉伸与压缩的概念和实例工程实例桁架（二力杆）工程实例工程实例受力及变形特点受力及变形特点：n外力合力的作用线与杆的轴线重合。n杆件的变形沿着轴线方向伸长或缩短，横截面方向相应的减小和增大。故分别称为简单拉伸简单拉伸和简单压缩简单压缩，或轴向拉伸轴向拉伸和轴向压缩轴向压缩。 拉 伸压 缩 轴向拉伸或压缩时轴向拉伸或压缩时横截面上的内力横截面上的内力n内力是物体内部的力，只有将物体假想地截开，并将其显示地表现出来，才能确定内力的大小及其方向。例如例如n设某个横截面 m-m 将物体截开，则横截面上作用有分布内力。n 为确定内

2、力的合力，考虑所截得两部分物体的任意一部分，根据力的平衡定理，可知横截面上分布内力的合力 FN 等于外力 F，即FNFF N在第一章中已讲过，这种确定内力的方法称为截面法截面法。内力作用线与轴线重合，故此时杆中的内力也称为轴力轴力。通常规定：使轴向伸长的轴力使轴向伸长的轴力FN 规定为正值，规定为正值，而使轴向压缩的轴力而使轴向压缩的轴力FN 规定为负值。规定为负值。 即，即，拉力为正，压力为负。拉力为正，压力为负。表示杆中的轴力沿轴线分布的图称为轴力图轴力图。轴力图可清楚的显示杆件中轴力的分布，从而得到最大内力值及其截面（亦称为危险截危险截面面）所在的位置。讨论题讨论题下面通过一个例子来说明

3、轴力图的做法下面通过一个例子来说明轴力图的做法 P1=5kN P2=20kN P3=25kN P4=10kN A B C D 图示直杆的轴力 P1=5kN P2=20kN P3=25kN P4=10kN A B C D P1 由平衡条件有：= P1=5kN FN1 P1 P2 由平衡条件有：= P1- P2= -15kN P1 P2 P3 由平衡条件有：= P1-P2+ P3=10kN FN1FN2FN2FN3FN3于是，轴力 FN 为 P1= 5kN P2= 20kN P3= 25kN P4= 10kN A B C D 段在段在段在CDBCABF kN 01 kN 15 kN 5N轴力图 x

4、FN 5kN 15kN 10kN (+) (-) (+) P1=5kN P2=20kN P3=25kN P4=10kN A B C D 轴向拉伸或压缩时轴向拉伸或压缩时横截面上的应力横截面上的应力轴力仅仅是横截面上分布内力总体的度量，不能用来描述、判断杆件的受力详细情况，也不能用来刻画材料的强度等。为详细描述内力在横截面上的分布情况，需要分析和确定横截面上的应力例如下图所示的变截面杆件，其材料相同，截面积不同。显然，杆件任意截面处的轴力相同。当力F逐渐增大时，杆件在最细的部分首先断裂。可见，尽管轴力相同，由于杆件粗细不同，他们抵抗破坏的能力是不同的。 2 1 F F 截面积A2 截面积A1 拉

5、伸与压缩的实验结果拉伸与压缩的实验结果在对等截面直杆的拉伸实验中发现：n垂直和平行于轴线的表面直线变形后仍为直线，并保持平行。n平行与轴线的直线的伸长相同。n垂直与轴线的直线的缩短相同。Fs1212abcd2FF121abcd2平面变形假设平面变形假设在直杆拉伸和压缩变形中，作如下假设，称之为平面假设平面假设。在直杆的轴向拉（压）变形过程中，变形前在直杆的轴向拉（压）变形过程中，变形前垂直于轴线的平面变形后仍保持平面，并且仍与垂直于轴线的平面变形后仍保持平面，并且仍与轴线垂直。轴线垂直。这样，如果将杆设想为由无数纵向纤维组成，则任意两个平面之间的所有纤维的伸长也相同。根据材料的均匀性假设知，内

6、力在横截面上的分布是均匀的。v 应力的计算公式应力的计算公式：设杆横截面上的轴力为 FN, 横截面的面积为A, 则单位面积上的内力（应力）为轴力垂直于杆的横截面，所以应力也垂直于杆的横截面。AFNs这种垂直于截面的应力称为正应力正应力，通常用 s表示。上式就是杆件受轴向拉（压）时横截面上正应力的计算公式。正应力s的符号规定于轴力FN相同，即正轴力产生的应力为正，称为拉应力。负轴力产生的应力为负，称为压应力。即 拉应力为正，压应力为负。讨论题讨论题例题例题例例有一钢杆，横截面面积为5cm2，所受轴向力如图。绘出该杆的轴力图并计算各段横截面上的应力。12330kN60kN50kN80kN 根据整体

7、平衡，轴力分布为段在段在段在3 kN 032 kN 201 kN 06NF12330kN60kN50kN80kN杆件各轴段的轴力 60kN 1 2 3 30kN 50kN 80kN (+) (-) (+) 60kN 30kN 20kN FNx杆件各轴段的应力段在段在段在3 MPa 062 MPa 041 MPa 201NAFs圣维南原理圣维南原理n 圣维南原理如用等效力系代替原有力系，则在力系作用区域附近，应力、应变和位移将有显著的变化，而在远离力系作用的区域中，应力、应变和位移的变化很小，两者几乎相同。n 圣维南原理在杆件中的表述力作用于杆端的方式不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范

8、围内受到影响。平板在集中和均匀载荷作用下的应力分布有限元分析结果直杆轴向拉伸或压缩时直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力斜截面上的应力现在分析斜截面上的现在分析斜截面上的应力应力利用截面法，沿任一斜截面 k-k 将杆件分为两部分，研究左段部分的平衡，斜截面上有合力Pa = Fa 斜截面法向与横截面法向的夹角，以逆时针为正，顺时针为负。Pa由于杆内任意两平行斜截面间的所有纵向纤维伸长相同，根据材料的均匀性可知，斜截面上的内力分布是均匀的，从而，斜截面上沿轴向的应力为aaaAPp 其中，Aa 斜截面的面积 Pa 斜截面上的轴向合力注意到有其中， 为杆件横截面上的正应力。aaaAPp aacos/AA

9、 asaaacosAPpAFAP/as因研究强度问题的需要，将斜截面上的应力分解为垂直于截面方向的应力sa和平行于截面的应力ta 。q sa 斜截面上的正应力q ta 斜截面上的切应力n正应力sa的符号规定与前述相同。n切应力ta的符号规定如下：若取保留部分内任一点为矩心，切应力对该点的矩为顺时针转动时，切应力取正号；反之，切应力取负号。当a0时，sa的绝对值达到最大；当a 时，ta的绝对值达到最大。4/asatasasaaaa2sin2sincoscos2pp讨论题讨论题例题例题例例 图示拉杆承受轴向拉力P=10kN，杆的横截面积A=100mm2，a为斜截面法线与横截面法线的夹角，计算a=3

10、0o和-60o时各相应截面上的正应力和切应力，并在图中标明它们的方向。 P 解 1. 杆的横截面上的正应力为 MPa 100MN/m 1002APs顺时针）拉MPa( 3 .432sin21)MPa( 75cos0030230astassaa2. 在a300时，有3. 在a600时，有逆时针）拉MPa( 3.432sin21)MPa( 25cos0060260astassaa任意两个相互垂直的截面上，切应力大小相等，符号彼此相反。材料在拉伸时的力学性能材料在拉伸时的力学性能n几何形状相同的结构在相同的载荷作用下，组成结构的不同材料表现出不同的变形特征。结构的响应与其组成的材料有密切的关系n在解

11、决结构的刚度、强度问题时，还必须知道材料的强度极限、屈服极限等物理量 这些物理量的通称为材料的力学性质n材料的力学性质材料在外力作用下所表现出的变形和破坏方面的特征n材料的力学性质必须通过力学试验测定n力学实验必须在一定的温度和加载方式下进行。对于一般用途的材料，其力学试验条件要求：常温静载n由于工程中广泛地应用低炭钢和铸铁，并且它们的力学性能比较典型。所以，下面只讨论这两种材料的力学性质。低碳钢的拉伸试验低碳钢的拉伸试验n为了便于试验结果的相互比较，材料试验的试件应按国家标准金属拉力试验法（GB228-87）制作成为标准试件。l=5d 或 l=10ddl材料万能试验机ll+l试验前，测量试件

12、的长度 l和直径 d。试验中，对每一个力F，测量试件的伸长l。FlFl曲线o为消除原始尺寸的影响，使曲线反映材料的本身特性，应绘制出s e曲线s e曲线称为应力应变曲线n绘制出Fl曲线（可由自动绘图仪直接绘制）。llAFes,CED弹性阶段弹性阶段（曲线的OAA1部分）屈服阶段屈服阶段（曲线的BB1B2部分）强化阶段强化阶段（曲线的B2EC 部分）局部变形阶段局部变形阶段（曲线的CD 部分） 应力应变曲线可分为四个不同的阶段AA1B2B1B弹性阶段弹性阶段spseAA1曲线的OAA1部分 当应力逐渐减小时，材料的变形将完全恢复，故称为弹性阶段。 在直线段OA中，应力与应变成正比， 即 s E

13、e 胡克定律， E 为直线OA的斜率。弹性阶段弹性阶段spseAA1sp称为比例极限se称为弹性极限通常， 近似的认为 sp= se屈服阶段屈服阶段BB2ssB1 曲线的BB1B2部分从 B 点以后，应变增加很快，而应力却在水平线上下很小的范围内波动。材料暂时失去对变形的抵抗能力，并且产生显著的塑性变形。这种现象称为屈服(或流动)spseAA1屈服阶段屈服阶段对应于最高点 B 点的应力称为屈服上限对应于载荷首次下降的低点B1 的应力 ss称为屈服下限屈服上限的值一般不稳定，依赖的因素较多；而屈服下限的值比较稳定屈服下限 ss 定义为屈服极限spseAA1BB2ssB1屈服阶段屈服阶段材料屈服时

14、，在试件表面上可以观察到于轴线成 45o 的倾斜条纹，这些条纹称为滑移线这是由于材料内部晶体沿试件的最大剪应力面发生滑动而引起的屈服极限ss是衡量材料强度性能的重要指标BB2ssB1spseAA强化阶段强化阶段曲线的B2EC部分曲线从 B2 点开始回升，如材料继续变形，则必须增加应力，这种抵抗变形能力又有所增强的现象称为材料的强化强化阶段的变形绝大部分是塑性变形。整个试件的横向尺寸明显缩小HdCEepeeFGsbBB2ssB1spseAA强化阶段强化阶段s e 曲线的最高点C的对应应力称为强度极限 sb，是材料所能承受的最大应力HdCEepeeFGsbBB2ssB1spseAA局部变形阶段局部

15、变形阶段曲线的CD 部分在 C 点以前，试件工作段内横截面尺寸的缩小时均匀的。从 C点开始，在试件的某一局部处，横截面尺寸明显变细，产生 “颈缩 ” 现象。颈缩现象颈缩现象HdCEepeeFGsbBB2ssB1spseAAD局部变形阶段局部变形阶段由于横截面尺寸明显变细（颈缩现象），因而， s e曲线变为递减的在D点处，试件被拉断sb 也是衡量材料强度的一个重要指标颈缩现象颈缩现象HdCEepeeFGsbspseAABB2ssB1D伸长率和断面收缩率伸长率和断面收缩率试件拉断后，弹性变形消失，塑性变形仍然保留，为刻画最大的塑性应变d (l1-l)/ l 100% 称为伸长率f (A-A1)/

16、A100% 称为断面收缩率BB2ssB1spseAAHdCEepeeFGsbD伸长率和断面收缩率伸长率和断面收缩率工程中通常按伸长率的大小，把材料分为两大类塑性材料钢、铜、铝等脆性材料铸铁、玻璃、岩石等d 和f 为衡量材料塑性的指标HdCEepeeFGsbBB2ssB1spseAAD冷作硬化冷作硬化在强化阶段某一点（如E点）开始卸出载荷，则在卸载过程中，应力应变曲线沿EF下降，EF几乎平行于弹性阶段直线OA当外载为零时，试件的弹性应变 ee完全消失，所剩余的应变为残余应变 epHdCEepeeFGsbspseAABB2ssB1D冷作硬化冷作硬化v 此时，如果继续对试件加载，则应力应变曲线首先沿

17、FE，到达E点后，再沿ECD曲线，直至试件断裂v 与初始应力应变曲线相比较，材料的比例极限提高了，这种现象称为材料的冷作硬化HdCEepeeFGsbBB2ssB1spseAAD冷作硬化的应用起重机用的钢绳混凝土中的钢筋其它塑性材料在拉伸时的其它塑性材料在拉伸时的力学性能力学性能有些材料没有明显的屈服阶段。对这些材料，以产生0.2%的残余应变时的应力值作为屈服应力，称为名义屈服应力。H62铸铁的拉伸试验铸铁的拉伸试验应力应变曲线为一条微弯的曲线，没有直线段断裂时其伸长率很小（d 1，称为安全系数，许用应力的定义为 sn/0ss安全系数的确定要依据构件的材料和功能而定，本质上讲，它是一个与材料无关

18、的量对于塑性材料 ns = 1.22.5，对于脆性材料 ns = 23.5v 强度条件强度条件为了保证材料安全可靠地工作，必须使杆件内的最大工作应力小于或等于材料的许用应力 对轴向拉（压）的杆件，强度条件强度条件为应用这一条件可以解决强度计算问题 ssAFNmax实际中，涉及强度的计算问题有三类：确定许用载荷设计截面校核强度强度问题校核强度 根据已知的轴力FN及横截面面积A，计算出最大的工作应力smax，由许用应力s和许用应力公式判断杆件是否安全可靠，是否具有足够的强度。即判断下列条件是否成立 ssAFNmax设计截面 根据已知的轴力FN及许用应力s ，计算出所要求的最小横截面面积A，再进一步

19、确定截面尺寸。即应用公式 sNFA 确定许用载荷 根据已知的材料的许用应力s和杆件的横截面尺寸，利用强度条件 确定杆件的最大许用载荷 Pmax。 sAFmaxN)(例例 图示支架由两根直杆铰接而成，杆AB和杆AC间的夹角a=30o，两杆的横截面积均为100mm2，材料相同。它们的许用拉应力s+=200MPa，压缩许用应力s-=150MPa。试求支架在B点处所能承受的许用载荷F（由于考虑到BC杆受压失稳的因素，所以压缩许用应力小于拉伸许用应力）ABC解解 首先求的杆AB和BC的轴力，假设，AB杆受拉力，而BC杆受压力，其受力如图所示。根据B处的平衡条件，得杆AB的拉力FN1和杆BC的压力FN2分

20、别为 FN1 FN2 F x y FFFFFF3cot2sin/N2N1aa根据两杆的强度条件，分别计算许用载荷F对AB杆，由有 11N1ssAFkN10211AFs对BC杆，由因此，为保证安全，支架的许用载荷应为两 个数值中较小者，即 Fmax=8.66kN2N22ssAFkN66. 8312AFs轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形实验发现，拉（压）直杆的变形主要是轴向变形，同时也伴随着横向变形当杆拉伸时，杆沿轴向伸长，而横向尺寸的略有缩短；当杆压缩时，其轴向尺寸缩短，而横向尺寸略有增大FF记等截面直杆变形前的轴长为l，宽为b，在轴向拉（压）力的作用下，轴线长变为l1，宽变为b1。

21、FFbb1ll1则杆的轴向伸长为 横向收缩为lll1bbb1引入杆件单位长度的变形量，即线应变 杆的轴向应变和横向应变分别定义为 和llebb1ee 和 e1 分别表示杆的轴向应变和横向应变，无量纲量当杆拉伸时，有 e 0 和 e1 0；当杆压缩时，有 e 0v胡克定律胡克定律和和横向变形系数横向变形系数工程中的材料（钢、铜等）受拉（压）时，若应力不超过材料的比例极限，由实验、热力学理论得知：杆的轴向伸长 l 与外力 F 、杆件长度 l 成正比，而与横截面面积 A 成反比这个比例常数的倒数称为材料的弹性模量，通常记为 EEseEAlFEAFllNesE这就是著名的胡克定律（1678），胡克定律

22、反映了在比例极限范围内，应力和应变的线性关系，也称为材料的物理方程。数学表述为： 也等价于： 或弹性模量 E 与应力有相同的量纲对一般的钢材料，拉伸和压缩有相同的弹性模量，大约为200210GPa（1GPa=109N/m2）自然界中存在着大量的拉伸弹性模量和压缩弹性模量不相等的材料由于 EA 越大，杆件的变形越小；EA 越小，变形越大。因此，称 EA 为杆件的（抗拉）刚度EEAlFEAFll/Nse或实验和理论研究发现，在比例极限范围内，杆的横向变形和纵向（轴向）变形具有关系ee1比例常数 称为泊松比或横向变形系数，无量纲量理论分析证明泊松比 满足 1 0.5，但实际中，目前还没有发现 0的材

23、料，所以一般材料满足 0 0.5 0.5 意味着是不可压缩材料几种常用材料的 E 和 的值，参见书中的表 2.2 (p. 33) 例题例题例例 等截面直杆受多力的作用，其横截面面积为A，材料的拉（压）弹性模量为E，求杆的总变形。 l 3l 2P P 解解1 首先分析杆中的轴力，杆各部分的受力见图,由静力平衡方程得 FN1=P FN2 = P- 2P= - P l 3l 2P P FN1 P 2P P 2 1 FN2EAPlEAlFl22N2EAPlEAlFl311N1利用胡克定律，杆件1的伸长为杆件2的伸长为因此，杆的总伸长为EAPllll221叠加原理 ！？例例 等截面直杆，沿杆长有均布载荷

24、 q 及端部集中力 P 的作用，求杆中的最大应力和总伸长解解 如图建立坐标系，利用截面法得在 x 处的轴力为 l P q xo P FN q )()(NxlqPxF横截面上的正应力为 最大正应力发生在 x= 0 处AxlqPAxFx)()()(NsAqlP )0(maxss现计算杆的伸长，取长度为dx的微元体 ox FN+dFN FN q 直杆的总伸长为 20N0211d)(dqlPlEAxEAxFllxEAxFd)(dN由胡克定理知，微元体的伸长d为 )()(NxlqPxF例例 图示简单桁架由AB和BC两杆组成，夹角为a，两杆的截面积均为A，弹性模量为E，节点B处受载荷P的作用，求桁架在B点

25、处的总位移。解解 设杆 AB 和 BC 的轴力分别为FN1 (拉）和FN2 (压） l P A C B a FN2 P x y B FN1由 B 点的平衡条件得aatan/,sin/N2N1PFPF由此可计算各杆的伸长（缩短）伸长）aaatan(cossinN2N1EAPlEAlFlEAPlEAlFlBCBCABAB l P A C B a aatan/,sin/N2N1PFPFv利用几何法分析计算点利用几何法分析计算点 B 的位移的位移 设点 B 的最终位置为点B ，记点 B 的水平位移为 dx，铅直位移为 dy（缩短）伸长）aaatan,(cossinEAPllEAPllBCAB力和变形一

26、致原则力和变形一致原则（缩短）伸长）aaatan,(cossinEAPllEAPllBCABadtan2EAPllBBEBBCxaaaaad22tancossintan/sin/EAPlEAPlllDEBDBEBCABy轴向拉伸或压缩时的应变能轴向拉伸或压缩时的应变能物体受外力作用而变形。在变形过程中，外力将做功。这是由于外力作用点的位置已发生了变化另外，在变形过程中，物体在内部将储存能量。当外力逐步减少（或撤去）时，物体的变形将逐步恢复，同时储存在物体内部的能量也将逐步释放出来。如钟表的发条，射箭过程等物体因变形而储存的能量称为物体的应变能由于外力是缓慢作用到物体上的（静载荷），可以忽略物体

27、动能的改变，既不考虑动能的影响。在弹性变形范围内，同时忽略物体热能的改变，由能量守恒原理可知：外力在变形过程中所做的功等于物体的应变能在塑性变形范围内，当外力逐步减少（或撤去）时，物体的变形不能完全恢复。因此，不能忽略物体热能的改变v轴向拉伸或压缩时的应变能计算公式轴向拉伸或压缩时的应变能计算公式F l F F1 dF l d( l) l1 考虑如下图所示的轴向拉伸杆l F l由功的定义可知，外力 F 所作的功 W 为：在线弹性变形范围内，即应力小于比例极限的范围内。这时外力 F 与所对应杆的伸长 l 之间的关系也是线性的，于是外力作的功 W 可写成：)(0ldFWllFW21在线弹性变形范围

28、内，轴向拉伸或压缩时的应变能 为：lFW21VV由胡克定律， l = Fl/EA ，轴向拉伸或压缩时的应变能 可写成：eVEAlFlFW221V2应变能密度：变形物体单位体积所储存的应变能考虑变形物体中的任意一点，在该点附近取一微元体，其边长分别为 dx，dy，dz d y d x d z s s v 轴向拉伸或压缩时的应变能密度计算公式轴向拉伸或压缩时的应变能密度计算公式 d y d x d z s s s e s s 1 ds e d e e 1 应力应变关系如下图所示微元体上受的力为 s dydz，其相应的伸长为 e dx 。于是力在微元体上所作的功为eeeses00)()(dVddxd

29、dydzdWees0)(VdVddWd d y d x d z s s 在弹性变形范围内，力在微元体上所作的功 dW 等于微元体的变形能（应变能） ，即Vd于是，变形物体在该点的应变能密度 为：ees00VlimddVdvdVEEdv2221220seseesev在线弹性变形范围内，并由胡克定律,s = E e , 变形物体在该点的应变能密度 可写成：v应变能密度的计算公式适用于所有单一方向存在应力（状态）的情况sp2 / 2E 称为材料的回弹模量， sp 材料的比例极限。应变能密度的单位为 J/m3（焦耳/米3）EEdv2221220seseese例题例题例例 如图所示，BD杆为钢管，外径9

30、0mm，壁厚2.5mm，杆长 l = 3m，弹性模量E = 210 GPa。 BC是两条横截面面积为172mm2的钢索，弹性模量E1 = 177 GPa 。若不考虑立柱的变形，试求B点的垂直位移。设 P = 30 kN 。 P B D C 750 450 解解：1) 计算 BC 的长度: BC = l1= ( BD sin(450 ) / sin (750 ) = 2.20cm sin(450 ) = 0.7071; sin(750 ) = 0.9659 ; cos(750 ) = 0.2588 2) 计算 BC 杆和 BD 杆的横截面面积: A1 = 2172 = 344 mm2 A = (

31、902-852)/4 = 687 mm2 P B D C 750 450 3) 计算 BC 杆和 BD 杆的轴力FN1 (拉）和 FN2 （压）： 受力情况如图所示，由平衡方程得 FN2 sin(450) FN1 sin(750) = 0 FN2 sin(450) FN1 cos(750) - P = 0 解得 FN1 = 1.41P ， FN2 = 1.93P B P FN1 x y FN2 P B D C 750 450 4) 计算 B 点的垂直位移 d ：外力 P 作的功 W = Pd / 2。BD 和 BC 两个杆的应变能 为： = FN12 l1 / 2E1A1 + FN22 l /

32、 2EA。由 W = ， 即 Pd / 2 = FN12 l1 / 2E1A1 + FN22 l / 2EA，得69269221106871021023)93.1 (1034410177220.2)41.1 (PPPdmP381048.41093.14dVVV拉伸拉伸、压缩超静定问题压缩超静定问题v超静定问题的概念超静定问题的概念如果系统的未知量数目等于独立的平衡方程数目，则称系统是静定的。该问题称为静定问题如果系统的未知量数目大于独立的平衡方程数目，则称系统是超静定的或静不定的。该问题称为超静定问题或静不定问题未知量数目与独立平衡方程数目之差，称为系统的超静定次数，保持结构静定的多余的约束称

33、为多余约束 （静定问题） （一次超静定问题）理论力学研究的是静定系统问题，对超静定问题，必须考虑材料的变形特征，问题才能得以解决，材料力学的任务之一v 超静定问题的例题超静定问题的例题例例1 两端固定的杆件在中间截面C处受轴向力P的作用，求A、B两端的支座反力解解 解除A、B两端的固定约束，代之于约束反力RA和RB，其受力如图。 CABRBPRA根据力的平衡方程，有此方程不能求解两个未知量，故需要补充方程PRRBA0BCACABlll如记lAC和lBC分别为杆AC和杆BC的伸长，杆AB的总伸长为lAB ，则有补充方程来自于问题的位移约束条件。对本问题，由于两端固定，故杆件总的伸长为零 CABR

34、BPRA利用胡克定律，则杆AC和杆BC的伸长分别为EAlREAlFlEAlREAlFlBCBCBAACAC2NB1NA将上式代入变形协调方程中，得21lRlRBA0BCAcABlll此方程称为变形几何条件或变形协调方程 CABRBPRA联和静力平衡方程式，可求得支座的约束反力21lRlRBA211212,llPlRllPlRBA变形协调方程（未知力表示）例例2 设杆系由三根直杆铰链连接组成，如图所示，已知1、2二杆的长度、横截面面积及材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2=A，E1=E2=E。杆3的横截面面积为A3，其材料的弹性模量为E3，与杆1、2的夹角均为a，试求在沿杆3轴线方向的外力P

35、作用下个杆的轴力P3ABDCa aa12解解 设各杆的轴力分别为FN1、FN2和FN3，点 A 的受力分析如图0sinsin:01N2NaaFFFx0coscos:01N2N3NPFFFFyaa平衡方程超静定次数：3-2=1yPxFN3aFN1aFN2变形协调方程变形协调方程： 各杆变形的几何关系aacoscos3312llllEAlFAElFllAElFAElFl2N2222N2133N3333N33cosa胡克定律胡克定律（物理方程）：（物理方程）：ABDCa aa aal3l2l1Aa力和变形一致原则由平衡方程、变形协调方程、胡克定律联合解出aaa233N2N1333N3coscos2c

36、os21EAAEPFFAEEAPF静定与超静定的辩证关系多余约束的两种作用：增加了未知力个数，同时增加对变形的限制与约束；前者使问题变为不可解，后者使问题变为可解v 求解超静定问题的基本方法总结求解超静定问题的基本方法总结求解超静定问题的基本方法平衡、变形协调、 物理关系。现在的物理关系体现为力与杆件伸长的关系（胡克定律）温度应力与装配应力温度应力与装配应力v 温度应力温度应力当物体某一部分温度发生变化时，该部分产生热胀冷缩的变形对于静定结构，由于结构可以自由变形，这种热胀冷缩的变形并不会引起结构中的应力对于超静定结构，由于多余约束的存在，这种热胀冷缩的变形将引起结构中应力产生。这种应力通常称

37、为温度应力。由实验得知，在一定的范围内，当物体的温度发生变化 T = t2 - t1 时，物体沿一个方向的伸长与该方向的长度和温度变化 T 的乘积成正比，即 l = a T L ，a 称为热膨胀系数， t2、t1分别为终了和起始时刻的温度杆件在轴力和温度变化共同作用下的物理关系（本构方程）为TlEAlFlaN正负号正负号例例1 两端固定的直杆，当温度上升 T 时，求杆中的内力 l T 解解 由于直杆两端固定，因此， l = 0 从而，杆中内力为 FN = - a EATTlEAlFlaN（物理关系） FN FN例例2 图示铜管2和钢螺栓1装配在一起，螺栓的螺距为 s =1.5mm，截面积为A1

38、=1.5cm2，弹性模量为E1=200GPa；铜管的长度l=40cm，截面积A2=2.5cm2，E2=100GPa，分别求下列情形中螺栓和铜管中的应力2. 旋紧 s/2 后，温度升高50 0C（钢和铜的热膨胀系数分别为 a1=12510-7/0C 和 a2=16010-7/0C ）1. 当螺母的垫圈接触铜管后，再旋紧 s/2解解 1. 设铜管和螺栓的内力分别为FN2(压)和FN1 (拉) 由静力平衡方程，有 FN1 = FN2 一次超静定的问题=s /2 2 1 2/21s 设螺栓伸长和铜管压缩的分别为1和 2，则有变形协调方程FN1 FN2/2FN2/2力和变形一致原则利用物理关系，有由上四

39、式联合求解，可得22N2211N11,AElFAElFkN6 .25)11(22211N2N1AEAElsFF2/,21N2N1sFF2. 同样设铜管和螺栓的内力分别为FN2(压)和FN1 (拉) 由静力平衡方程，有 FN1 = FN2 一次超静定的问题2/21s设螺栓伸长和铜管压缩的分别为1和 2，则有变形协调方程FN1 FN2/2FN2/2=s /2 2 1 利用物理关系，有由上四式，可得TlAElFTlAElF222N12111N11,aakN2811)(2221121N2N1AEAETlsFFaaTlEAlFlaN（物理关系）求得铜管和螺栓的内力后，可按公式 计算它们的应力。AFNs正

40、负号正负号v 装配应力装配应力杆件在加工时，其尺寸常存在着微小的误差，从而导致结构的几何形状出现微小的改变对于静定结构，这种微小误差并不会引起结构中的应力对于超静定结构，由于多余约束的存在，这种微小误差将引起结构中的应力。这种应力称为装配应力无装配应力存在装配应力例例 如图所示的刚性梁有三根钢杆支承。钢杆的横截面面积均为A，其中中间杆的长度短了，设杆的弹性模量为E，求三杆横截面上的装配应力求解过程：思考：思考：如何分析此结构的装配应力应力集中应力集中等截面直杆在轴向拉（压）时，在离开力作用点一定距离的中间部分，各截面上的应力分布是均匀的对于有圆孔、切口等的杆件，由于截面尺寸的突然变化，应力分布将发生变化理论和实验研究表明：在杆件尺寸突然改变的截面上，应力分布将是不均匀的考虑一个拉力作用下有小圆孔的平板，在圆孔附近的局部范围内，应力数值显著增大；而离开圆孔少远的地方，应力迅速下降，并且趋于均匀状态这种因截面尺寸