§2-5 谐振子的相干态

1、2-5 2-5 谐振子的相干态谐振子的相干态 20 x220 x0)xx (xdVd21)xx (dxdVV) x (V000 x0dxdV0 x 0.复习：复习：一维谐振子的代数解法一维谐振子的代数解法在物理学中，小振动常常可以作近似处理，而成为在物理学中，小振动常常可以作近似处理，而成为简谐运动，例如：简谐运动，例如：如如 是平衡点，即，则是平衡点，即，则 20 x220)xx(xdVd21V)x(V0在振幅很小时，可近似为在振幅很小时，可近似为 200)xx(21V)x(V 。一维谐振子的重要性不仅在于该位势是一些位势一维谐振子的重要性不仅在于该位势是一些位势在平衡处的近似形式，还在于大

2、多数连续的物理在平衡处的近似形式，还在于大多数连续的物理体系的行为能由谐振子的叠加来描述。体系的行为能由谐振子的叠加来描述。 200)xx(21V)x(V 2x21)x(V Euu)x21dxdm2(2222 是一个应用很广的理想势。是一个应用很广的理想势。若粒子在若粒子在中运动，它的不含时间薛定谔方程为中运动，它的不含时间薛定谔方程为令令 ，则，则 m Euu)xm21dxdm2(22222 ,m 1事实上，对该问题还有其他办法求解，那就是用事实上，对该问题还有其他办法求解，那就是用算符代数来求解（卷算符代数来求解（卷1）。）。（1 1）能量本征值）能量本征值在本征方程中，我们有参数在本征方

3、程中，我们有参数 ，由它可组成质量由它可组成质量m，时间，时间 ，长度，长度 。 m于是有能量于是有能量 ，动量，动量 ，角动量，角动量 ，质量，质量m， 21m 1时间时间 为单位。为单位。因此，我们可定义二个无量纲的算符因此，我们可定义二个无量纲的算符 . a , a )(212121xmpmiax )(212121xmpmiax现看现看: :12122xxxpxxpixmpmaa211H p x x p ix mp m121a a xx22x 21H11, aa)21()21(aaaaH于是，我们有二个重要结论：于是，我们有二个重要结论：A.B. 称为声子数算符。称为声子数算符。a a

4、N 对于对于)H(a )21a a (a a )21a a (a H )x(unHnEnnnuEuH 若若 是是 的本征态，相应本征值为的本征态，相应本征值为即即: :则则: : nnnnua )E(u)H( a ua H nuHnEnua H nE a a 所以，当所以，当 是是 的本征态，相应本征值为的本征态，相应本征值为 时，时，那那 也是也是的本征函数，本征值为的本征函数，本征值为 ，能量下降了一个能量下降了一个 （即称为一个量子）。所以，（即称为一个量子）。所以， 被称为一个量子的消灭算符。表示振动的量子被称为一个量子的消灭算符。表示振动的量子通常称为声子。所以，通常通常称为声子。所

5、以，通常 称为声子的消灭算符。称为声子的消灭算符。同样有同样有nnnnnuaEuaaauaaauaH )()21 ()21 (即声子的产生算符。即声子的产生算符。nua HnE a 也是也是 的本征函数，相应本征值的本征函数，相应本征值 为，为，即增加能量即增加能量 ， 所以，所以， 被称为一个量子的产生算符，被称为一个量子的产生算符，H0u0E由于由于是二个平方项之和，所以它的能量本征值恒是二个平方项之和，所以它的能量本征值恒）。）。 为正。因此必存在能量最小的本征态为正。因此必存在能量最小的本征态（相应能量为（相应能量为0ua 0E但是，如但是，如存在（不恒为存在（不恒为0），则它的本征值

6、应为），则它的本征值应为。 0u0ua 00ua000uEuH0) 1 (uaa0u21 21nua 这与这与为最低能量所对应的本征态的假设相冲突，为最低能量所对应的本征态的假设相冲突，态应不存在，即态应不存在，即由由 所以，最低能量为所以，最低能量为于是，任一激发态的能级波函数于是，任一激发态的能级波函数，在，在的连续作用下，最终必须到的连续作用下，最终必须到 因此因此。算符算符0u21态态 （否则将存在能量（否则将存在能量的能级）。的能级）。 低于低于nu0uuannnu )21n(0n0nnu)a ()21n(u)a () 1a a (uH 00)()( uanuaaann21 )211

7、 ( )212( )21n(若若经经，则，则的本征值应为的本征值应为 也即也即 所以，谐振子的能量本征值取所以，谐振子的能量本征值取，即，即 ，。 )21n(，210n 能级是等间距的，能级是等间距的， 00ua)(21dda0udd (2) (2) 能量本征函数能量本征函数而而 ， 于是有于是有由由，xm其中，其中，是无量纲量，是无量纲量，.所以，所以， 2/02 Aeu121222mAdxeA41mA2/212/410222xeemua 0uaunn由归一化由归一化 即即而其它本征函数，可由而其它本征函数，可由作用而获得作用而获得 Su )21s (sua )211s (假设：假设：是归一

8、化的，相应本征值为是归一化的，相应本征值为那那是相应本征值为是相应本征值为的本征函数。的本征函数。Su。由由 dxua ua s*s dxua u)dd(21ss dxua ddu21ua u21s*ss*s dxua a us*s dxu21H1us*s dxuu1ss*s1 s。Su11suauss211s!)(0nuaunn因因是归一化的，那是归一化的，那而相应能量为而相应能量为.也是归一化的，也是归一化的，。所以，。所以， 至此，对谐振子势下的本征值，本征态都已求出，至此，对谐振子势下的本征值，本征态都已求出，问题已完全解决。由本征函数可求出的任何信息都问题已完全解决。由本征函数可求出

9、的任何信息都可由此得到。可由此得到。例如：求例如：求 x,x2。aamx2 a a a a a a m2x222因因 于是于是 dxxuuxnn*dxnuanuaaamunnn!20101* dxu1n!nua nm2u1n01n*s dxu1nunum21n1n*s0 0 xdxuxuxnn2*2 dxua a ua a !nua a a a a !nua um2nn02n02n*n dxnuu) 1n() 1n( nua ) 1a a ( a u) 1n( num2nn2n2n*ndxnuunnnunaanumnnnn) 1() 1()1( ) 1(22* dxnuu) 1n(u) 1n(

10、num2nn2n*n)21(nm. 所以，所以， )21(2nmx为要得到在坐标空间中的解析表达式：为要得到在坐标空间中的解析表达式：2/2102eu !nu)a (u0nn 221nn2e)dd(!n21 。2222edde)dd( 22222) 1)()(eddedddd而算符而算符 2222222( 1)deed 222222222) 1(eddeedde2222) 1(eddeddnnnn所以，所以，22221222) 1(!2)(eeddenxunnnnnxHennn2212!222)1()(eddexHnnnn其中其中 n2 n1它是一多项式，最高幂次为它是一多项式，最高幂次为n，

11、系数为，系数为；宇称为宇称为，被称为厄密多项式，被称为厄密多项式（ Hermit Polynomials ）。）。2221xm)21(n（3 3）讨论和结论）讨论和结论中，其能量取分立中，其能量取分立，A.当粒子运动于谐振子势当粒子运动于谐振子势nnunuH)21()21(aaH1, aa0)(!1uanunn00ua, 。为一个声子所带的能量。相应的归一化波函数为一个声子所带的能量。相应的归一化波函数 （ 而而 ）。）。 在坐标空间中在坐标空间中 xHenxunnn2212!2)(22) 1()(eddexHnnnnx )m( ， 。221022xeuxexux22)(221122具体而言具

12、体而言: 1)x(4e8)x(u22x21222 )(12)( 8 48)(3221322xxexux 0u)(21dda)x(un n1B. 显然显然 是偶函数，而是偶函数，而 是改变奇偶性的算符，所以是改变奇偶性的算符，所以 的宇称为的宇称为C. 零点能与测不准关系：当体系处于最低态，则零点能与测不准关系：当体系处于最低态，则即每条能级的宇称是确定的。即每条能级的宇称是确定的。，0202xux p m2121H0 对于任何实数对于任何实数ABC，则有，则有4CAB2 于是有于是有 4m2m22141x p 2220202x 02020 xxxx 02x02xx0 xpppp 2px0 x0

13、 而而 所以所以 但由测不准关系要求但由测不准关系要求 2px0 x0 2px0 x0 21因而，只有因而，只有才不违背测不准关系。才不违背测不准关系。这与经典不同，。这与经典不同，这表明最低能量不能小于这表明最低能量不能小于经典粒子可停在原点，能量为经典粒子可停在原点，能量为0。nu xHe!n2)x(un221nn2 DD. 有有n个节点（它是第个节点（它是第n+1条解级）条解级） 22edde)1()x(Hnnnn x )m( x2)(H1 ) x (u10edd2 1. 。所以，。所以，即即 ，有一个实根；，有一个实根；有一个节点，有一个节点，0edd21n1n 2e x2. 如如 有

14、有n-1个实根，即有（个实根，即有（n-1）个节点，）个节点， 及其导数在及其导数在 时趋于时趋于0。而而因此，因此，0edd21n1n 的根将的根将x轴分为轴分为n段，段，而每一段而每一段总有一个极值，不可能没有（但不可能多于一个，因否总有一个极值，不可能没有（但不可能多于一个，因否则极值数大于则极值数大于n，从而，从而 02eddnn的实根数大于的实根数大于n。 211eddnn0)edd(dd21n1n 211eddnn1nunu)21( n)21(n但它的最高幂为但它的最高幂为n，所以，所以，有有n个极值，即个极值，即有有n个根，相应于函数个根，相应于函数的的n个极值的位置。这表明有个

15、极值的位置。这表明有n个节点。所以，如个节点。所以，如有有n-1个节点，则个节点，则有有n个节点。也就是在个节点。也就是在和和能级之间不可能有另外能级，所以解能级之间不可能有另外能级，所以解是完全的。是完全的。0nnu)a (!n1a ua 1nu1n01nnu)a (!n1a a ua E. 递推关系：递推关系： 2. 1. 1nun nnua a m2xu )u21nu2n(11n1n 3. nnua a 2mudxd )unun(nn11212 4. 。这递推关系很重要，藉助于它，可计算简谐振子势下，这递推关系很重要，藉助于它，可计算简谐振子势下，222212xmmpH a , a )(

16、212121xmpmiax )(212121xmpmiax一维谐振子的哈密顿量为：一维谐振子的哈密顿量为：定义二个无量纲的算符定义二个无量纲的算符 .复习：升降算符复习：升降算符2-5 谐振子的相干态谐振子的相干态体系的各种物理量的平均值，测量取某值的几率体系的各种物理量的平均值，测量取某值的几率（ 当然，这时也要知该力学量的本征函数）。当然，这时也要知该力学量的本征函数）。1, aannna|1|1| nnna则：则： 升算符升算符 产生算符产生算符 降算符降算符 湮没算符湮没算符aamx2aamip2)21()21(aaaaH粒子的坐标、动量：粒子的坐标、动量：，0|)(!1|nann)2

17、1( nEn )21(, 0npxpx21px基态基态|0,任意态任意态，在能量本征态在能量本征态|n下，下，对于基态对于基态|0， 222221412410)(LxxmeLemx21mL基态波函数基态波函数:（自然长度）自然长度）一一 .Schrodinger.Schrodinger谐振子的相干态谐振子的相干态(coherent state)(coherent state)定义（P127）一维谐振子的哈密顿量为：一维谐振子的哈密顿量为：222212xmmpH在初始时刻在初始时刻t=0的状态为：的状态为： 220202)(21412)(4100)() 0 ,(LxxxxmeLemxxx 222

18、221412410)(LxxmeLemx波函数与基态波函数波函数与基态波函数 相类似，但波包中心不在谐相类似，但波包中心不在谐振子的平衡点振子的平衡点x=0，而在，而在x0点。从经典力学的观点看，点。从经典力学的观点看，粒子将围绕平衡点振动。这个态不可能是一个定态。粒子将围绕平衡点振动。这个态不可能是一个定态。因为处于定态的粒子，其空间分布几率密度不随时间因为处于定态的粒子，其空间分布几率密度不随时间改变。但是，后面可以证明，它的几率密度是随时间改变。但是，后面可以证明，它的几率密度是随时间改变的。同样，既不是基态，也不是任何一个能量本改变的。同样，既不是基态，也不是任何一个能量本征态。可将其

19、按照能量本征态作展开：征态。可将其按照能量本征态作展开：)()()0 ,(000nnnxCxxx!21) 0 ,(| )(40200nexxCnnnn（证明见（证明见P129 注注1）)(0 x 0 | )(|)()()() 0 ,(00000 xDxxxDxxx)(0 xDxipexDxpixx,)(/00下面，用一维谐振子的代数解法证明上式（即：相干态下面，用一维谐振子的代数解法证明上式（即：相干态可以看作是用一平移算符作用在基态波函数上产生的）可以看作是用一平移算符作用在基态波函数上产生的）为平移算符，为平移算符，/2/000)(aamxpixeexDxaamip2222000Lxmx令

20、令aapixeexDx/00)(nneaneeeeeeeexDnnnnnaaaaaaa|!0|) (!0|0|0|0|0| )(02022202222,21BABABAeeee.)(! 2112aaea0|0|.)(! 211 (0|2aaea（利用关系式：，nnanennnnna|!0|)(!00） )()(!21|!0 | )(|0002020202nnnnnnnnnxCxnenxnexDx20即：即：0000|)()() 0 ,(nnnnnnCxCxxx与利用积分法计算结果相同。与利用积分法计算结果相同。下面，证明相干态不是定态下面，证明相干态不是定态.在在t时刻，相干态可以表示为：时刻

21、，相干态可以表示为：)2sin41sin21()cos(21exp1)(!21)()() 0 ,(),(2020) 2/ 1(00400040tttitLxenexeCxCexetxntninnnnntEinnnnHtiHtin/)cos(exp1| ),(|2202LtxxLtx（详细证明（详细证明P130）与与/)(exp1| ) 0 ,(|2202LxxLx不同不同22| )0 ,(| ),(|xtx 2| ),(|txtxxccos0即：相干态不是定态，即：相干态不是定态，包中心位置在包中心位置在相同，是理想的准经典态。相同，是理想的准经典态。是一个围绕是一个围绕x=0 x=0点点振荡

22、的振荡的GaussGauss波包，波形不变（波包不扩散）。波波包，波形不变（波包不扩散）。波，与谐振子的振动规律，与谐振子的振动规律a cV二. 相干态是湮灭算符相干态是湮灭算符 证明：相干态用证明：相干态用 表示 的本征态的本征态cccVVa nnncubV nnncua bVa nnnunb1 nnnubc令令 于是有于是有 可得可得 !ncbbcbnbnnnn01 由由 cV归一化得归一化得1220220 cnnc*cea!ncardVV 2210cea a c0a cc210nnnc21cueu!nceV22 所以所以 的相应于本征值为的相应于本征值为 的归一化本征态的归一化本征态x

23、p x mp )m( i 21a 21x21 我们看到我们看到，没有共同的本征态，但其线性组合没有共同的本征态，但其线性组合 有本征态有本征态,这类态称为相干态。这类态称为相干态。A. 在该态中位置和动量满足最小测不准关系在该态中位置和动量满足最小测不准关系21 xpx 相干态的性质相干态的性质dxu! scx u!ncedxVx Vxss ,ns*nncc*c* 2dx)usus(m! scu!ncess ,nss*nnc*112122 nnnnc)!n(c!nc(m!nce*12112)cc(m* 2dxu! scpu!ncedxVpVpss ,nsx*nnccx*cx* 2)cc(mi*

24、 2同理有同理有: )ccc (mdxVx Vx*c*c22222212 )ccc (mdxVp Vp*cx*cx22222212 mxxx22222222 mpppxxx于是有于是有 21 xpx0 tcVt 时，处于相干态时，处于相干态 则则 体系的波函数为体系的波函数为B.相干态随时间的演化相干态随时间的演化若谐振子在若谐振子在 时，时，c/tHicVe)t,x(V 0/21!2nntHincuence 021212nnt)n( incue!ncetice/tiVe 2)(2 /2 /titicetiticetiVeceVe aa 0 tcttice 于是于是 这表明这表明 的本征值在的

25、本征值在 时为时为，而在，而在时刻为时刻为。我们有平均值我们有平均值 dx) t ,x(Va ) t ,x(Vc*c dx) t , x(V x mp mi)t , x(V21cx21*c x mp )m( i 21x21 tice dx) t ,x(Va ) t ,x(Vc*c x mp )m( ix 2121ti*ec 我们也有平均值我们也有平均值 )ecce(m) t (x ti*ti 2) tcos()(x 0i)ecce(m) t (p ti*tix 2) tsin()(xm 0所以，所以， 其中其中 cm)(x 20其随其随t演化的运动很接近经典的谐振子的运动。演化的运动很接近经典

26、的谐振子的运动。C.本征值为实的相干态正是受迫振动的基态本征值为实的相干态正是受迫振动的基态这时，体系的哈密顿量为这时，体系的哈密顿量为Fxxmmp Hxm)xx(mmp Hx 20 mFx于是，我们有于是，我们有其中其中 如令如令 0 xxX 则则: 20222221212xmXmmp HXX )(2121XmpmiAX) ()(21021xxmpmiX而而 02xma0)2(00XVxmaXXVxmVa0002所以所以: 即即 这表明这表明: cXVV0而而 02xmcXV0222212xmmpHx 所以，所以， 是哈密顿量是哈密顿量 的相干态。的相

27、干态。26 Rydberg 波包波包 波形的演化与波形的演化与恢复恢复nlmal lnr)1(3 212mar5 . 0104 Rydberg态态:原子或分子中量子数很大的束缚态原子或分子中量子数很大的束缚态（H原子，原子，n100的量子态）。对于的量子态）。对于H原子，对应原子，对应 本征态本征态上的电子，径向坐标的平均值上的电子，径向坐标的平均值。对于。对于n100的量子态，的量子态，因此因此Rydberg态最适合用来研究微观世界态最适合用来研究微观世界，接近于宏观尺度。，接近于宏观尺度。和宏观世界的联系，或经典力学与量子力学的关系。和宏观世界的联系，或经典力学与量子力学的关系。Rydbe

28、rg波包：由许多波包：由许多Rydberg态相干叠加形成的波包。态相干叠加形成的波包。波包一般是扩散的。但是，前面讨论的谐振子的相干态，波包一般是扩散的。但是，前面讨论的谐振子的相干态，是由许多定态叠加而成的一个不扩散的波包。是由许多定态叠加而成的一个不扩散的波包。近年来，随着短脉冲激光技术的发展，在实验室中已经近年来，随着短脉冲激光技术的发展，在实验室中已经能够产生和检测各种体系中的电子局域波包，这些波包能够产生和检测各种体系中的电子局域波包，这些波包局限在一定的范围内，且是许多定态相干叠加形成的。局限在一定的范围内，且是许多定态相干叠加形成的。这种波包的演化和动力学，是目前在物理和化学很多这种波包的演化和动力学，是目前在物理和化学很多领域比较热门的研究课题。实验方法通常是：用短脉领域比较热门的研究课题。实验方法通常是：用短脉冲激光照射处在基态的电子，电子从基态激发冲激光照射处在基态的电子，电子从基态激发 到量到量子数很大的一系列相邻的能级子数很大的一系列相邻的能级上去，形成上去，形成Rydberg波包。波包。假定局域波包是假定