对新加坡小学数学模型方法的认识与思考

1、对新加坡小学数学模型方法的认识与思考凿謦龋浙江省宁波大学教师教育学院马蕾沈丹丹新加坡在小学数学教育上的成就令人瞩目,这与其顺应时代发展的教育改革和教学大纲的出台密切相关.新加坡自1965年独立以来.在经历了生存驱动教育,效率驱动教育后,进入到能力驱动教育阶段.即社会的发展要求人们具备更高的实践能力和创新能力解决问题的能力.为此.1990年,“在整个世界都重视过程的潮流中”,新加坡进行了课程改革,构建了新的数学课程框架(五角形图),其主要特征是强调解决问题在数学学习中的重要性,把解决问题放在数学学习的核心.为了达到这个目标,新加坡教育部采取了两项措施:一是重视解决问题的方法.二是对教师进行解决问

2、题能力的培训.这里的解决问题方法除了我们熟知的”具体一图像一抽象”教学法,还有建构数学模型法.本文拟介绍新加坡小学数学”模型方法(TheModelM幽od)”引入的依据,在解题中的应用,与数学代数方法的异同,并通过与我国”线段图”方法的比较与分析,为我国进一步深化数学教学改革提供一些参考.一,新加坡小学数学模型方法简介作者对宁波大学王宽诚幸福基金的资助谨致谢忱.此文是全国教育科学”十一五”规划课题(课题号FHB080511)的研究内容之一.79数学模型方法是通过建立客观对象的数学模型来揭示对象的本质特征和变化规律的一种基本数学方法.本文中所要研究的小学数学模型方法是指通过作形象化的图形来展示事

3、物各部分之间的数量关系,以此帮助学生理解问题,提高解决数学问题能力的一种方法.根据皮亚杰的理论,小学生还处于认知发展的具体运算阶段,此时的特点是思维的内容和形式不可分,即形象思维发达,抽象的逻辑思维能力还未成熟.小学生思维的这种特点与数学知识的抽象性之间无疑形成了矛盾.正是由于这一矛盾的存在.使得新加坡的小学数学教学非常重视数学模型方法的教学.数学模型方法具体,形象的特点不仅使这一矛盾迎刃而解.而且在提高小学生的问题解决能力方面也发挥了重要作用.下面举例说明新加坡小学数学模型方法的应用.【例ll,】,明用3天读完一本故事书,第一天读了这本书的1÷,第二天读了余下的40%,第三天读完.

4、如果第三天比第一3天多读了10页.问这本书共有几页.解答:方法1:040100%,1个单位1O%101oo%10o2个单位=100,801个单位:T100=50,总页数=3个单位=150.方法2:个单位1个单位=10,总页数=15个单位=150.,1,这是一道包含分数和百分数的问题解决,由于分数(÷j,和百分数(40%)所对应的单位”l”不同,因而增加了解决问题的难度.以上展示的是新加坡学生应用数学模型方法解决此问题的两种思维过程.方法l是把”第一天看书的页数”作为”单位1”.第三天比第二天多了20%,比第一天多了10%,”10%对应10页”成为解题的关键,这个隐含的关系由于数学模型

5、方法的使用而显得一目了然.方法2以”第二天和第三天看书的页数之和”为标,准,即把”总页数的÷”分成1O个单位,因此很容易得出第一lj天看书的页数可以分成5个单位,借助数学模型得出:1个单位=10页.这让小学生觉得容易理解.由此可见,数学模型方法是一种解决问题的工具和策略.不仅能帮助学生解决问题,而且由于它的形象性和易于操作,还能提高学生解决问题的信心.二,新加坡小学数学模型方法与代数方法的联系我们还可以用代数方法来解决上述问题.随着学段的提81高,代数方法尤其受到重视,于是有学者提出是否应该在小学阶段就开始以代数方法为主,我国从小学五年级开始使用代数方法也是基于这样的考虑.那么数学模

6、型方法是否还有存在的必要性,它真的能够提高小学生解决问题的能力吗,这种方法是否比代数方法更有优越性(亦或相反)带着这些疑问,新加坡学者伍师凤老师通过观察初二学生(例2)和五年级学生(例3)解决类似数学问题的脑神经活动情况,进行了专题研究.【例2】一只熊比一只狗重220千克,一只猪比一只熊轻140千克.这三只动物共重390千克,问熊重多少千克.解答:狗,=x+220千克,猪=x+80千克.390千克一220千克一80千克=90千克.所以3x=90千克,x=30千克.熊:3O千克+220千克=250千克.【例3卜一只奶牛比一只狗重150千克,一只山羊比一只奶牛少130千克,这三只动物共重410千克

7、,问奶牛有多重.解答:4lo千克l130干克150130=20(千克),150+20=170(千克),410170=240(千克),240+3=80(千克).牛重:80+150=230(千克).上述两道题目的类型相同.借助CT,伍师凤老师发现,两82个学生用两种方法解题时的神经激活点基本相似.由此得出结论:代数方法和数学模型方法需要人们使用相同的认知过程.但我们不能就此推出数学模型方法无足轻重的结论.实验还表明.两种方法的主要区别是:在使用代数方法得到等式的过程中需要付出更多的注意力,大脑要产生更多的过程2.这与我们上文提到的小学生以形象性思维为主的认知发展特点存在差距.很明显,把模型方法引入

8、到小学数学学习中,适应了小学生认知水平的发展,而且与代数方法一样能激活大脑的思维,因而在很大程度上能促进学生提高解决问题的能力.这也为新加坡小学数学模型方法的引入和应用提供了科学依据.作为解决问题的策略.数学模型方法也能帮助学生更好地理解代数解法.如例1也可通过以下数学模型用代数方法求解.设第一天读书页.040100%X0.4×【20.6×(2)0.6(2x)-x=lO,1.2x-x=lO,0.2x=lO,x=50.总页数=3x=150.新加坡要到六年级才学习代数初步知识,小学生通常不擅长使用代数方法,但借助数学模型,把上题中各数量之间的关系明确化,克服了小学生在解题时不会

9、寻找等量关系的弱点,使小学阶段学生解决问题的方法呈现出多样化的特点.83三,新加坡小学数学模型方法对我国教学改革的思考由上面的介绍我们可以看到,新加坡小学数学模型方法与我国的线段图除在形式有些差别外,其在本质上没有大的区别,两者在教学效果上有异曲同工之处.然而线段图在我国未像数学模型方法在新加坡那样受到重视.在我国新课程改革前,线段图在低段教学中应用较多,一般是作为解题的辅助手段,到了高段,特别是学习分数,比和比例后,很少要求用线段图解决问题.有人认为利用线段图不利于培养学生的抽象思维能力.所以,除非学生在草稿中自己愿意用线段图来“理解题意”.作业中基本不出现线段图.新课程实施后更是基本舍弃了

10、线段图.在我们的观念中,线段图不是作为一种解题策略.而是作为解题的辅助手段.而且普遍认为使用线段图说明学生的抽象思维能力不高,所以,线段图难登”大雅之堂”,教师一般也不要求学生画线段图.与我国不重视线段图的做法不同.新加坡在经过1990年的课程改革后,其教学法中的数学模型法成为新加坡数学教育的一大特色.新加坡把数学模型方法作为重要的解题策略,不仅教材中有许多范例,作业中也要求学生用图形展示其思考过程,并将其作为新加坡的数学教学特色和重要的学习策略积极向外推介.笔者曾在新加坡与我国的小学进行了解题能力的测试比较.现介绍如下.1【J4l在一个俱乐部里,-k-N比男孩多12A-,女孩的÷与

11、j1男孩的在运动场比赛.参加比赛的人中,女孩比男孩多6人用分数表示没有参加比赛的男孩占俱乐部总人数的几分之几.有关分数的应用题在小学中本来就是难点,再加上题目中是男孩的寺与女孩的÷(单位”1”不同)进行比较,又加大了问题的难度.从测试的情况来看,我国学生的解题正确率不足10%.在与学生的访谈中,大部分学生反映题目条件太多无从下手,当教师给学生画出如下图示时,学生解答此题的正确率明显提高.士菝1个单位l6I1个单位l6I1个单位l6男孩L_L堕_.J苎L_j解答:1个单位:3x612=6,总人数:7x6+18=60,3/!.单位:3x6=18.60=.诸如此类的问题对一个小学生来说确实

12、很难.但在新加坡,这样的题目非常普遍,学生利用模型方法和归一的思想基本都能解决问题.显然,把数学模型方法作为一种解题策路,打通了形象思维与抽象思维之间的”数学通道”.”能把本来只有小部分学生会做的数学,变成大部分学生都能完成的问题解决”.虽然我国也有线段图,但是在解题时绝大部分学生却想不到用它来解题,即使想到了,又由于平时很少使用而盲目套用,没有上升到”策略”的高度,反而不利于问题的解决和思维能力的培养.85目前,我国的新课程改革正处于反思与调整阶段.新课程虽然注重学生解决问题能力的培养,小学数学教材在例题的选择和呈现方式上都力求从学生的生活经验和认知水平出发,但在具体内容的教学上,我国更注重

13、让学生在大量实例的基础上建立起数学模型,重视的是数学模型的建立过程,而不是把它作为解决数学问题的重要方法和策略.原有的线段图已基本淘汰.数学建模的思想固然重要,把数学模型方法作为解决问题的策略也有其特定的作用.而解决问题的策略也是人类学习的重要目标.在我们了解新加坡小学数学模型方法的广泛应用与理论基础后,希望能对我国正在进行的”深化教学改革”有所反思和借鉴.参考文献f1MinistryofEducation.MathematicsSyllabus,PrimaryOnetoPrimaryFour.PrimaryFiveandPrimarySix(EM,&EM2Streares).SingaporeMinistryofEducation.2伍师凤.模型方法的研究和发现.东北师