2.1第章测量误差及数据处理ppt课件

1、第2章 测量误差及数据处理 研究测量误差的目的是要在认识和掌握误差规律的基础上指导设计、制造和使用测量仪表。要解决一项测量任务，必须分析被测对象和被测量的特性，选用适当的测量仪表和测量方法，组成合理的测量系统，然后对测量结果进行数据处理和作出恰当的评价。所有这些都离不开误差理论的指导。第2章 测量误差及数据处理2.1 误差来源及其分类 2.2 误差的表示方法2.3 随机误差的估算2.4 粗大误差的判断准则2.5 系统误差及其减小方法2.6 测量数据的处理2.7 误差的合成与分配2.8 最佳测量条件的确定教学目标 掌握研究测量误差的目的。 熟悉测量误差的来源及分类。 掌握误差的表示方法、仪表的等

2、级确定和测量仪表选用。 掌握随机误差、粗大误差和系统误差的估算、判断和减小方法 掌握测量数据的处理过程 掌握常见的误差合成和分解 掌握如何确定最佳测量条件2.1 误差来源及其分类 在科学实验和工程实践中，任何测量结果都含有误差。由于误差存在的必然性和普通性，人们只能将它控制到尽量低的程度而无法消除它。因此我们根据需要对误差的来源和测量误差的性质进行类，便于研究。2.1.1 误差的来源 2.1.2 误差的分类2.1.1 误差的来源误差的来源是多方面的，概括起来主要有如下几个方面： 仪器、仪表误差 仪器仪表本身及其附件引起的误差称为仪器仪表误差。例如，仪器仪表本身的电气或机械性能不完善、零点和增益

3、漂移、非线性、刻度不准确以及标准量不稳定等所引起的误差均属于仪器仪表误差。 影响误差 由于各种环境因素与仪器仪表所要求的使用条件不一致而造成的误差称为影响误差。例如，由于温度、湿度、大气压、电磁场、电源电压及频率等波动所造成的误差均属于影响误差。 方法误差 由于测量方法不合理所造成的误差。例如用低输入电阻的仪表测量高内阻回路的输出电压所引起的误差属于方法误差。 理论误差 由于仪器仪表所依据的理论或公式本身不完善或者是近似的所引起的误差称为理论误差。例如，用均值表测量非正弦信号电压，须进行波形换算，其定度系数为： 由于和均是无理数，所取得的1.11是个近似值所造成的误差属于理论误差。 人身误差

4、由于测量者的分辨力、视觉疲劳、习惯或缺乏责任心等因素引起的误差称为人身误差。人身误差是由于人为因素造成的，欲减小人身误差必须加强责任心。 11. 122K2.1.2 误差的分类根据误差的性质及其产生的原因，可将误差分为三类： 系统误差简称系差） 定义：在相同条件下多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者改变测量条件时，按一定规律变化的误差称为系统误差。前述仪器仪表误差、方法误差和理论误差均属于系统误差。 系统误差是有规律性的误差。通过仔细分析和研究，产生系统误差的规律是可以掌握的。因而，可设法减小或消除系统误差。 系统误差表征了测量结果的准确度，系统误差愈小，准确度念高，反之亦然。

5、随机误差 在相同条件下多次重复测量同一被测量，其误差的大小和符号均是无规律变化的误差称为随机误差。产生随机误差的原因是由于许多复杂的因素微小变化的总和引起的。例如，仪表内部某些元件的热噪声和散粒噪声、机械部件的间隙和摩擦、电源电压、频率和环境因素的频繁而无规律的变化等引起的误差均属随机误差。随机误差表征了测量结果的精密度，随机误差小，精密度高，反之，精密度低。服从正态分布规律的随机误差当测量次数足够多时，大多数随机误差是服从正态分布的。服从正态分布规律的随机误差具有下列特点如 图所示）： 单峰性 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大，在误差 处，出现的概率最大。有界性 绝对值大于某一数值

6、的误差几乎不出现，故可认为随机误差有一定的界限。0 对称性 大小相等符号相反 的误差出现的概率大致相同。 抵偿性 正、负误差是相互抵消的，因此随机误差的代数和趋于或者等于零。粗大误差粗大误差简称粗差） 定义：在相同 条件下多次测量同一被测量时，可能有某些测量值明显偏离了被测量的真正值所形成的误差称为粗大误差。前述的人身误差是产生粗差的原因之一。此外，由于测量条件的突然变化，例如电源电压突变、雷电、机械冲击等是造成粗差的客观原因。凡是被确认含有粗差的测量结果称为坏值。在测量数据处理时，所有坏值都必须剔除。 2.2 误差的表示方法2.2.1 测量误差的表示方法由于误差是客观存在的，因此在计量学上认

7、为被测量的真正值是无法得到的。讨论被测量示值与真值的误差是没有应用意义的。实际值绝对误差、修正值被测量实际值取得的方法实际值相对误差 实际值绝对误差定义：由测量所得之被测量的值 与被测量实际值 之差称为实际值绝对误差，记为 。 （2-1） 由此可见， 为可正可负和有量纲的数值，其大小和符号分别表示测量值偏离被测量实际值的程度和方向。被测量实际值可用下列两种方法取得：用比所用仪表的精度等级高一级或数级的仪表的指示值作为被测量的实际值 。在测量此数足够多时，仪表示值的算术平均值作为被测量的实际值 。xxAAxxxAA修正值定义：与绝对误差的数值相等而符号相反的量值称为修正值，用 来表示，那么： 修

8、正值 是通过检定或校准由上一级标准或基准以表格、曲线、公式或数字等形式给出的。因而，用修正值与仪表的示值相加，可算出被测量的实际值，即： 可见，用修正值可以减小测量误差，得到更接近于被测量真值的实际值。 应该指出，使用修正值必须在仪表检定的有效期内。修正值本身也有误差。 xAxcccxAc实际值相对误差 例 测量两个电压，实际值 ， ，仪表的示值分别为 ， 。其绝对误差分别为：很显然，虽然二者的绝对误差相同，但是二者测量的精确度却相差甚远，因此有必要引入相对误差的概念。 定义：实际值绝对误差与被测量实际值之比的百分数称为实际值相对误差，即：%100AxA1V100)V-(101111UUUx1

9、V5)V-(6222UUUx100V1U5V2U101V1xU6V2xU2.2.2 仪器仪表误差的表示方法 误差是仪器仪表的重要质量指标。按有关规定，可用工作误差、固有误差、影响误差和稳定误差来表征仪器仪表的性能；也可以用基本误差和附加误差来表征仪器仪表的性能，本书采用后面一种表示方法。 1.基本误差 它是仪器仪表在标准条件下使用时所具有的误差。2.附加误差 当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差外，还会产生附加误差。 基本误差 定义：它是仪器仪表在标准条件下使用时所具有的误差。标准条件一般是指仪器仪表在标定刻度时所保持的工作条件。例如电源电压交流(2205%)V，环境温度(205)；

10、相对湿度(7015)；大气压(98.14.0)kPa等。 对于相同的绝对误差，相对误差随被测量 的增加而减小，相反，随 的减小而增加，在整个测量范围内相对误差不是一个定值。 因而，相对误差不能用于评价仪器仪表的精确度，也不便于用来划分仪器仪表的精度等级。为此提出最大满度相对误差称为最大引用误差的概念在标准工作条件下）。xx满度相对误差与引用误差 最大满度相对误差是仪表基本误差最大值 与仪器仪表量程之比的百分数，即： 最大引用误差是仪表的绝对误差最大值 与仪器仪表量程之比的百分数，即： 当仪表是在标准条件下使用的，那么：%100量程基momx%100量程绝mx基mx绝mx大引用误差最大满度相对误

11、差最仪表精度等级的确定仪表的精确度等级1.51.0仪表的精确度等级5*100%1.25%4000 0.5*100%1.25%400 附加误差 当仪表在使用中偏离了标准工作条件，除了基本误差外，还会产生附加误差。附加误差也用百分数表示。 例如，仪表使用时温度超出(205)，则会产生温度附加误差；使用时电源电压超出(2205%)V，则会产生电压附加误差。 此外，还有频率附加误差，湿度附加误差，振动附加误差等等。 在使用仪表时，附加误差和基本误差要合理综合，再估计出测量的总误差。 2.2.3 数字仪表误差的表示方法 数字仪表的基本误差用下列两种方式表示： 式中， 为绝对误差； 为误差的相对项系数；

12、为被测量的指示值； 为误差固定项的系数； 为仪表的满度值。 上述两种方式实质上是一致的，常用后一种，因较为方便。 是用示值相对误差表示的，它与读数成正比，称为读数误差。它与仪表各单元电路的不稳定性有关。 不随读数变化， 一定时，它是个固定值，称为满度误差。它包括量化误差和零点误差等。 mxbxax% 几个字xax%xabxmxxa%mxb%mx2.2.4 一次直接测量时最大误差的估计 在工程测量中，通常只做一次直接测量而取得测量结果，此时如何从仪器仪表的精度等级来确定测量误差呢？ 设只有基本误差的情况下，仪器仪表的最大绝对误差为： 与 示值之比，即为最大示值相对误差mmxsx%mxxxxsxx

13、mmxm%100一次直接测量时最大误差的估计 可见， 不仅与仪器仪表的精度 有关， 而且与满度值 和示值 之比值有关。示值 大时，相对误差 小。当 时， 。可见，仪器仪表给出的精度 是相对误差的最小值。 离开满度 愈远， 愈大。 因而，当仪器仪表的精度等级已知时，示值 愈接近满度值 ，测量示值的精度愈高。在使用正向刻度的模拟式仪表时，应尽量使指示值 靠近满度值 ，至少应在 左右。 反之选择仪表量程时， 应该使其满度值尽量接近被测量的数值，至少不应比被测值大得太多。xmsmxxxxmmxx %sxm%sxmxxmxmxxmx3/2mxx mx例2-7 测量一个约80V的电压。现有二块电压表，一块

14、量程为300V，0.5级，另一块量程100V，1.0级，问选择哪一块为好？解：根据式2-9），求其最大相对误差。1） 使用300V，0.5级电压表时2） 使用100V，1.0级电压表时 可见，用100V，1.0级电压表测量该电压时，精度比较高，故选用100V，1.0级电压表较好。%88. 180300%5 . 01x%25. 180100%0 . 12x例2-8 用一台4位的数字电压表的5V量程分别测量5V和0.1V电压，已知该仪表的基本误差为 个字，求由于该表的基本误差引起的测量误差。解 ：测量5V电压时的绝对误差。 因为该表是4位，用5V量程时，1个字相当于0.001V，所以绝对误差为：=

15、0.01%5V1个字=(0.00050.001)V=0.0015V因此其示值相对误差为： 测量0.1V电压时的绝对误差。 =0.01%0.1V1个字 =(0.000010.001)V 0.001V其示值相对误差为：101. 0 xU1U%03. 0%10050015. 0%10011xUU2U%1%1001 . 0001. 0%10022xUU 可见，当不在接近满量程显示时，误差是很大的。因而，当测量小电压时，应当用较小的量程。同时还可看出，“1个字的误差对测量结果的影响也是比较大的，不可忽视。2.3 随机误差的估算 2.3.1 测量值的算术平均值与数学期望 2.3.2 标准差 2.3.3 随

16、机误差的正态分布 2.3.4 贝塞尔公式 2.3.5 算术平均值标准差2.3.1 测量值的算术平均值与数学期望 由同一测量者用同一仪器和方法，以同样的精细程度在短时间内对同一被测量进行多次重复测量，称为等精密度测量。设对被测量 进展 次等精密度测量，得测量值数列为： 这里为随机变量，测量值的算术平均值为： 也称为样本平均值。当测量次数 时，样本平均值的极限称为测量值的数学期望 ： 也称为总体平均值。xnnxxxx,321niixnx11xnExniinxnEx1)1(limEx 随机误差是精密度的反映，表征了各次测量值的分散程度，故随机误差 为： ，即 而系统误差是准确度的反映，则系统误差 为

17、：，即 式中， 是被测量真值。 真值绝对误差 是测量示值 与真值之差： 由上式可见，绝对误差等于随机误差和系统误差的代数和。若系差和粗差等于零，故 那么：iExxiiExxii0AEx ExA00AiiiiExExAxx)()(0ixix0AEx 0Axii 随机误差的算术平均值为： 由上式可知，当 时， 那么 由此可见，当 时，随机误差的算术平均值为零。 对于有限次等精密度测量，当 足够多时，可近似认为 。由上式得： 由此可见，若仅存在随机误差，可用多次测量的算术平均值 作为最后测量结果。（常在实验里用到） niniiniiniiAnxnAxnn10101111)(110Ax nExx 00

18、AExnn00Ax x2.3.2 标准差 测量值的算术平均值是被测量的最可信赖值。但是仅知道测量值的算术平均值仍无法知道测量值的分散程度。被测量的分散程度可以用测量值数列的标准差来表示。其定义为：当 时，随机误差 的平方的算术平均值再开平方后，只取正值，即 标准差 是表征精密度的重要参数。 小表示测量值集中； 大， 表示测量分散。 取平方的目的是，不论 是正是负，其平方总是正的，其平方和不会等于零，给计算带来方便。 niin121inii2.3.3 随机误差的正态分布 由概述论中的讨论可知，测量中随机误差 的分布和在 影响下的测量数据的分布大多数是服从正态分布的。服从正态分布的随机误差，其概率

19、密度函数 为： 式中， 为随机误差； 为标准差。 与 的曲线见图2-1。 由图可见，标准差 一经确定， 就是 的单值函数。 22221)(ei)(i)()(图2-1 随机误差的正态分布曲线 图2-2 示出了三个不同的 对应的三条正态分布曲线。由图可见， 愈小，曲线愈高愈陡，小误差出现的概率愈大，表示测量值集中，精密度高；反之， 愈大，曲线平坦，测量值分散，精密度低。 图2-2 标准差 的意义2.3.4 贝塞尔公式 在实际测量中，测量次数不可能无穷大。当测量次数 为有限次时，可用剩余误差 来计算标准差 ，同时用标准差的估计值 替代 。在有限次测量中，标准差估计值 可用贝塞尔公式计算，即： 式中，

20、（ ）称为自由度，常用 表示， 。 由上式可见，当 时， 值不定，故仅做一次测量的数据是不可靠的。 in1n1 nKK1nniin12112.3.5 算术平均值标准差 在有限次等精密度测量中，以测量值的算术平均值作为测量结果。 如果在相同条件下对同一量值作 组，每一组作 次测量，通过计算可得到 个算术平均值。 由于随机误差的存在，这 个算术平均值并不相同，而围绕着真值 有一定的分散性。 这说明了算术平均值还存在着误差。当需要更精密考虑时，可用算术平均值的标准差 来评定测量结果的分散程度。算术平均值标准差与标准差估计值的关系为： nxmnmm0Ax算术平均值标准差 由上式可见， 随 的增加而减小

21、，测量次数愈多，测量结果的精密度愈高。但由于 与 成反比，精密度的提高随 的增加而越来越慢。一般取 次即可。不能单靠增加 来减小 ，而应该在增加 的同时，设法减小 。 这就意味着要改善测量方法，采用精确度等级较高的仪器仪表，才能进一步提高测量的精密度。xnnxn2010nnxnx2.4 粗大误差的判断准则2.4.1 置信概率与置信区间2.4.2 有限次测量的置信度2.4.3 随机不确定度与坏值剔除2.4.1 置信概率与置信区间 由概率积分可知，随机误差的正态分布曲线所包含的全部面积相当于全部误差出现的概率，对式2-25从-到+积分，并令其等于1，即： 对式2-18从 到 积分，便可得 误差出现

22、的概率： 将积分变换成 ，设 ，那么 ，故上式变为： 式中， 称为概率积分， 与 的关系见表2-1。 121222dededeP02222222221)(tdtdt)(2)21(2)(022tdtePtt)(t)(tt 由写出随机误差的表达式，并取绝对值，即： 可得出超出的概率为： 由表2-1查出不同的 对应的 值， 便可由式算出 ，见表2-2， 表2-2中， 为测量次数。 t |)(21tat)(tan图2-3 置信概率与置信区间的关系t)(t表2-1 正态分布下的置信概率数值表0.500.600.700.800.901.001.101.201.301.400.19150.22570.258

23、00.28810.31590.34130.36430.38490.40320.41921.501.601.701.801.902.002.102.202.302.400.43320.44520.45540.46410.47130.47720.48210.48610.48930.49182.502.602.702.802.903.003.203.403.804.000.49380.49530.49650.49740.49810.498650.499310.499660.4999280.499968t)(tt)(ttt |)(t)(21taan/11.001.962.002.583.001.001

24、.962.002.583.00 0.34130.47500.47720.49500.498650.31740.05000.04560.01000.002732022100370表2-2 正态分布的置信系数|P反而言之，不超出 的概率为 ，可由下式求得： )(2)(21 11ttaP置信区间 取不同值时，随机误差 出现的概率为 ： 当 时， 时， 时， 上述结果表明，对于正态分布规律的随机误差，不超出 的随机误差出现的概率为95.44%；不超出 的随机误差出现的概率为99.73%。 上述用于描述测量结果的误差处于某一范围内的可靠程度的量称为置信程度或者置信概率。所选择的极限误差范围称为置信区间。

25、 tP1t2t3t%26.683413. 02)(2tP%44.954772. 02)(2tP%73.9949865. 02)(2tP232.4.2 有限次测量的置信度 图2-4所示的置信概率与置信区间的关系，是在测量次数 足够多，误差服从正态分布，以标准差为条件得出的结论。 当测量次数 足够多（ ）时，应用这一结论是合适的。因为随机误差的分布接近正态分布。 若测量次数 较小（ ），随机误差的分布曲线与正态分布曲线差别较大，而服从 分布也称学生分布），正态分布曲线与 分布曲线的不同见图2-4。 为区别于正态分布， 分布用置信系数 表示。自由度 、置信概率 与置信系数 的关系见表2-3。 若已知

26、 和置信概率 ，可由表2-3查出置信系数 。 nn20nn20ntttat) 1( nKKatPKPat95%99%95%99%123456789101214161812.714.303.182.782.572.452.362.312.262.232.182.142.122.1063.669.925.844.604.033.713.503.363.253.173.052.982.922.882022242628304050607080901002.092.072.062.062.052.042.022.012.001.991.991.991.981.962.852.822.802.782.76

27、2.752.702.682.662.652.642.632.632.58表2-3 学生分布的置信系数 PK PK2.4.3 随机不确定度与坏值剔除 由表2-2可见，若取置信系数 ，在22个随机误差中，至多仅有一个的误差大于 ；若取 ，在370个误差中，至多仅有一个误差大于 。 在实际测量中，可以认为大于 的误差出现的可能性极小，所以通常把大于 的误差称为极限误差或随机不确定度，用表示 或用估计值 这个数值说明测量结果在数学期望附近某一确定范围内的可能性有多大，由测量值的分散程度来决定，所以用标准差的若干倍来表示。 2t23t33333莱特准则 根据上述理由，在测量数据中，如果出现大于 的剩余误

28、差 ，可以认为该次测量值 为坏值，应予剔除，即： 上式称为莱特准则亦称为 原则）。 在测量次数足够多（ ）时，按莱特准则剔除坏值是客观的和合理的。但是，若测量次数较少（ ），按莱特准则剔除坏值就不一定可靠，这时应采用格拉布斯Grubss原则。3iix3|i320n20n格拉布斯准则 在等精密度测量数据中，若有剩余误差 的绝对值满足下式： 则认为 与该相对应的测量数据 是坏值，应予剔除。式中是 格拉布斯系数，见表2-4。 算术平均值的不确定度可以表示为： 当 足够大时 当 较小时 或者 剔除坏值后，对剩余的测量数据重新计算算术平均值和标准估计值，再次作判断，直到测量数据中无坏值为止。 |Giii

29、G3natGn2.5 系统误差及其减小方法 如前所述绝对误差是系统误差和随机误差的代数和，即 。此式说明测量结果的精确度不仅取决于随机误差，也取决于系统误差。 由于系差不具有抵偿性，不能用求算术平均值的方法加以消除。但是，系差是有规律性的误差，经过仔细的分析和研究，其产生的规律是可以掌握的，因此可以采取一些技术措施削弱或消除其对测量结果的精确度的影响。 2.5.1 系统误差的分类 2.5.2 系统误差的判断 2.5.3 减小系统误差的方法ixi2.5.1 系统误差的分类按照系差变化的征性，可将系差分为两种类型。恒值系统误差 在测量过程中误差的大小和符号是不变的误差称为恒值系差。例如，仪器仪表的

30、基本误差、仪表的零点偏高或低、标尺刻度不准确等均属于恒值系差，见图2-5曲线a。变值系统误差 误差的绝对值和符号按照一定规律变化的误差称为变值系差。线性系统误差 在测量过程中误差的数值随差时间线性增加或者减小的误差称为线性系差。例如由于晶体管老化过程引起放大倍数下降引起的误差；标准电池的电动势随时间而减小引起的误差等均属此类系误。见图2-5曲线b。 周期性变化的系统误差 在测量过程中误差值作周期性变化，见图2-5曲线c。复杂变化的系统误差 在测量过程中误差的变化规律很复杂，见图2-5曲线d。通常它是由几个影响因素同时变化引起的。 图2-5 系统误差的特征2.5.2 系统误差的判断 由于产生系差

31、的原因很多，所以发现它或判断它的方法也很多，这里仅介绍几种常用的判断方法。实验对比法 改变测量条件、测量仪器仪表或测量方法进行重复测量，然后将测量结果进行对比，从而发现系差。剩余误差观察法 用仪器仪表对某一被测量进行一系列等精密度测量，得示值 ，然后求算术平均值 ，并求出各示值的剩余误差 ，最后将剩余误差数列按测量先后制成表格或画成曲线进行观察，从而判断是否存在系差。 nxxx,21xn,21马利科夫判据马利科夫判据 该判据用于判断是否存在线性系差。首先将测量数据按测量先后排列起来，分别求剩余误差 。把剩余误差数列分为前后两组，分别求前后两组 的代数和，然后求前后两组代数和之差 ： 当 为偶数

32、时， 当 为奇数时， 如果满足： 则认为不存在线性系差。 如果满足： 则认为存在线性系差。 式中 是最大剩余误差。n,21innnniinii1221nniinii232110|imim阿卑赫梅特判据阿卑赫梅特判据 该判据用于判断是否存在周期性系差。首先按测量数据的测量先后求剩余误差列 。然后用下式判断： 若上式成立，则认为存在周期性系差，否则不存在周期性系差。 n,21211132211|nniiinn对于存在变值系差的测量数据，原则上应舍去不用。对于存在变值系差的测量数据，原则上应舍去不用。但是，若明显小于测量允许的误差范围或者仪器仪表但是，若明显小于测量允许的误差范围或者仪器仪表的基本误

33、差，也可以考虑使用。的基本误差，也可以考虑使用。2.5.3 减小系统误差的方法对于测量者，善于找出产生系差的原因并采取有效措施以减小误差是极为重要的。它与被测对象、测量方法、仪器仪表的选择以及测量人员的实践经验密切有关。下面介绍几种常用的减小系差的方法。从产生系差的原因采取措施 定期校正减小缓变系差 用加修正值方法减小系差 零位测量法 微差法 替代法 从产生系差的原因采取措施 接受一项测量任务后，首先要研究被测对象的特性，选择适当的测量方法和测量仪表、所用仪表的精度等级和量程上限；测量工作环境如温度、湿度、大气压、交流电源电压、频率、振动、电磁场干扰等是否符合仪表的标准工作条件。必要时可采用稳

34、压、稳频、恒温、散热、防振和屏蔽接地措施。 测量者应提高测量技术水平，增强责任心，克服主观原因所造成的误差。为避免读数或记录出错，可用数字仪表代替指针式仪表，用自动打印代替人工抄写等。 总之，在测量工作开始前，尽量消除产生误差的根源，从而减小系差的影响。 定期校正减小缓变系差 缓变系差的特点是随时间平稳变化。例如，仪表的零点和灵敏度过一段时间后可能会发生变化，见图2-6。 原来仪表的输入输出特性见图2-6直线1，经过一段时间后可能变成直线2。显然仪表的零点和灵敏度或满度值已发生变化、产生了系差。应调整仪表的零点和满度值机构使直线2回复至直线1，恢复仪表原来的输入输出特性，从而减小系差。 为了不

35、断消除仪表的缓变或线性变化的误差，应定期对仪表进行校正，校正周期愈短，缓变误差愈小。 图2-6 校正仪表零点和灵敏度微差法 设标准量为 ，被测量为 ，微差为 ，则微差法的绝对误差 为：式中， 为标准量的绝对误差； 为测量 的绝对误差。 相对误差为： 因为 。故 ，并令 ，得： 式中， 为标准量的相对误差，即为标准量的精度等级； 为测量微差 的示值相对误差。由于标准量的精度等级很高，故上式第一项误差很小；第二项是两个小于1的数之乘积也很小。所以用微差法可以减小系差。 NxxNxxNxxNNxxNxxNxNx NxNx/NxNNxxNN /x 设标准电压 ， 级。已知微差 ， 用 ， 级电压表测量

36、 。求 测量的相对误差。 解 丈量 的相对误差为： 丈量 的相对误差为： 可见，测量误差主要取决于标准量的精确度，而仪表引起的测量误差仅为0.06%。在测量微差时误差达3.0%，但它在总误差中仅占0.06%。用 级仪表，可达到0.06%的精度。 %0 . 35 . 01%5 . 1%UUsm%16. 0255 . 0%)0 . 3(%1 . 0NNNxUUUUV25NU1 . 0sV5 . 0UV0 . 1mU5 . 1sUUxUxU5 . 1s替代法 替代法是在测量过程中将被测量以等值的标准量来替换。替换时，要使仪器的工作状态前后不变，这样就能消除由仪器产生的恒值系差。 可见，丈量 的误差与

37、桥路参数的精度无关，仅取决于标准电阻 的精度，因此可减小系差。 xRNR图2-7 替代法减小系差2.6 测量数据的处理 测量数据的处理是指从原始的测量数据中经过加工、整理求出被测量的最佳估计值，并计算其精确度。2.6.1 测量数据的舍入法则2.6.2 有效数字的位数2.6.3 有效数字的运算规则2.6.4 有效数字位数的确定2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤2.6.1 测量数据的舍入法则 由于测量数据是由0，1，2，3，9十个数组成的近似数，因此在进行数据处理时会遇到数据的舍入问题。通常的“四舍五入规则中，对5只入不舍是不合理的，它也应当有舍有入。 所以在测量技术中规定：“小于5舍，大于5

38、入，等于5时采取偶数法则”。也就是说，保留数字末位为位，第位大于5，第位数字加1；第位小于5，第位数字不变；若第位恰好是5，则将第为凑成偶数，即第位为奇数时，第位加1，第位为偶数时，则第位不变。例例2-10 将下列数字保留三位：将下列数字保留三位： 12.3412.345） 12.3512.4因第三位是因第三位是3为奇数，为奇数，5入）入） 12.4512.4因第三位是因第三位是4为偶数，为偶数，5舍）舍）当舍入足够多时，舍和入的概率相同，从而舍入误差基本当舍入足够多时，舍和入的概率相同，从而舍入误差基本抵消，又考虑到末位是偶数容易被除尽，减小计算误差。抵消，又考虑到末位是偶数容易被除尽，减小

39、计算误差。由此可见，每个数据经舍入后，末位是欠准数字，末位以由此可见，每个数据经舍入后，末位是欠准数字，末位以前的数字是准确数字。其舍入误差不会大于末位单位的一前的数字是准确数字。其舍入误差不会大于末位单位的一半，这是最大舍入误差，故称该舍入法则为半，这是最大舍入误差，故称该舍入法则为“0.5误差法误差法则。则。2.6.2 有效数字的位数 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数字。 可见，数字“0在一个数值中，可能是有效数字，也可能不是有效数字。 2.6.3 有效数字的

40、运算规则 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行舍入处理也可多保留一位欠准数字），计算结果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理也可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算简便准确。2.6.4 有效数字位数的确定 确定有效数字位数的标准是误差。并非写得越多越好，多写位数，就夸大了测量的精确度，少写位数就会带来附加误差。测量结果有效数字处理原则是：由测量精确度来确定有效数据的位数，但允许多保留一位欠准数字，与误差的大小相对应，再根据舍入法则将有效位以后的数字舍去。 例2.12 用一块 =100V，s0.5级电压

41、表进行测量，其示值为85.35V，试确定有效数字位数。 解：该量程的最大误差为： 可见示值范围为84.85 85.85V，因为误差是0.5V，根据“0.5误差法则，此数据的末位应是整数，所以测量结果应写成两位有效数字，根据舍入法则，示值末尾的0.350.5，因而，不标注误差的报告应写成85V。 由上可见，测量结果的有效数字反映了测量的精确度。 mU0.5V100V*0.5%mmUsU 有效数字的位数与小数点的位置和所用有效数字的位数与小数点的位置和所用单位都无关，而只由误差的大小所决定，这单位都无关，而只由误差的大小所决定，这是应该十分明确的。是应该十分明确的。 2.6.5 等精密度测量结果的

42、处理步骤对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分析和处理。数据处理的基本步骤如下： 用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。求算术平均值 式中， 是指可能含有粗差在内的平均值。niixnx11x等精密度测量结果的处理步骤求剩余误差 ，并验算 的代数和是否等于零，从而验算计算平均值的正确性。 假设 的代数和约等于零，说明 的计算是正确的；否则说明计算 时有错，要重新计算。 求标准差的估计值 。利用贝赛尔公式 xxii01niiiiixxniin1211等精密度测量结果的处理步骤判断粗差，剔除坏

43、值。 当 足够大时，随机不确定度为： 当 较少时，利用格拉布斯准则 若有 ，则认为 对应的测量值 是坏值，应予剔除。剔除坏值后，利用剩下的数据再来求 ，剩余误差 ，标准差 和随机不确定度 ，并再次判断粗差和剔除坏值，知道测量数据没有坏值为止，然后继续往下计算。 3Gnn |iiixxi 判断有无变值系统误差马利科夫判据 当 为偶数时， 当 为奇数时， 上两式中的 必须是无坏值时所计算得到的剩余误差。假设 ，则认为存在线性系差。含有线性系差的数据原则上不能使用应重新作等精密度测量）利用阿卑赫梅特判据判断有无周期性系差。 若上式成立则认为存在周期性系差。 是无坏值时的标准差估计值。含有周期性系差的

44、数据也不能使用。 nnnniinii1221nniinii23211i|im21111|ninii求算术平均值标准差估计值求算术平均值的不确定度 当 较小时 或 当 较大时给出测量结果的表达式或报告值。对于技术测量，需要指明不确定度 时，可表示为： 若不指明不确定度，可 用代表 。nxxaxtxxGxx3nnxxxAxA 必须指出，上述计算所用数据和计算所得各个值均是在无坏值情况下必须指出，上述计算所用数据和计算所得各个值均是在无坏值情况下的计算结果。在上述计算过程中，也应当考虑有效数字的位数，可先化整的计算结果。在上述计算过程中，也应当考虑有效数字的位数，可先化整然后再计算，使计算简化。然后

45、再计算，使计算简化。 为避免累积误差，在化整和结果中可保留两位欠准数字。但最后结果为避免累积误差，在化整和结果中可保留两位欠准数字。但最后结果要与误差相对应。要与误差相对应。 例2.13 对某一电压进行16次等精密度测量。测量数据中已计入修正值，具体数值见表单位为V）。要求给出包括误差即不确定度在内的测量结果表达式。 niUii1205.300.000.099205.01-0.29-0.202204.94-0.36-0.2710204.70-0.60-0.513205.63+0.330.4211205.560.260.354205.24-0.060.0312205.350.050.145206

46、.65+1.3513205.21-0.090.006204.97-0.33-0.2414205.19-0.11-0.027205.36+0.060.1515205.21-0.090.008205.16-0.14-0.0516205.320.020.11niUii 解： 1计算算术平均值 2计算剩余误差 各 列于表2-5中第三列。然后求 的代数和 说明计算算术平均值是正确的。 3计算标准差估计值。利用贝赛尔公式V30.205161161iiUUUUii0161iiii43. 0116112nii4判断粗差。求随机不确定度，因为 次，比较少，采用格拉布斯准则。取 ，查表2-4，得格拉布斯系数 ，那

47、么查表2-5，可知 为最大，大于 ，所以测量值 是坏值，予以剔除。此外没有大于 的 ，暂定坏值只有一个，剩下数据只有15个。5重新计算 ， 和 值计算剩余误差 ，列于表2-5的第四列。计算标准差估计值 ，再查表2-4， 得 ，算出再判断坏值。查表2-5知 。说明所剩数据中没有坏值。 16n%95P2.41G05. 143. 044. 2G35. 15G5UGiV21.205116116641iiiiUUUUii24. 0 15 n58. 024. 041. 2G0.580.51|im2.44G6判断有无变值系差马利科夫判据判断是否有线性系差 查表2-5知 ，可见 ，不存在线性系统误差。利用阿卑

48、赫梅特判据判断有无周期性系差。而可见 ，故不存在周期性系差。 -0.060.07-0.13)()(161691088611ii51. 010im|10193. 0|1156 , 41iii216. 024. 0115)(122n21111|ninii7利用 计算算术平均值标准差的估计值8计算不确定度 。较少， ，取 ，查表2-3，得 ，那么9给出测量结果的表达式报告值）。由 值可以看出，测量结果只能精确到十分位，从而得出被测量 这一结果表明，虽然被测电压的真值不知道，但可以用经过数据处理后的算术平均值 代表它。在这个数值中含有随机误差，其标准差为0.06V，但无论如何不可能超过0.1V。 06

49、. 01524. 0nx15 n141 nK%95P14. 2at1 . 013. 006. 014. 2xaxtxV) 1 . 02 .205(xUU205.2VU2.7 误差的合成与分配2.7.1 概述2.7.2 常用函数的合成误差2.7.3 系统误差的合成2.7.4 系统误差的分配2.7.1 概述 测量方法分为:直接测量、间接测量和组合测量； 前面课程涉及的误差计算都是在直接测量的基础上讨论的。 对间接测量的误差又应该如何计算？间接测量的误差计算问题？又如测量标准电阻的电阻率:需测量标准电阻的电阻值、横截面积和长度。如果已知 、 和 ，如何计算 ？RlSSRl12S110米跨栏米跨栏12

50、秒秒88S1 S2刘翔刘翔知知如何求如何求 ?误差的合成与分配 误差的合成 已知被测量与各个参数的函数关系以及各个参数测量值的分项误差，求被测量的总误差称为误差的合成。 例如研究一台仪表各局部环节的系统误差与整台仪表系统误差之间的关系；间接测量时，被测量误差与各测量值误差之间的关系刘翔的跨栏时间测量等。 误差的分配 已知总误差及其与各测量值之间的函数关系，将总误差合理地分配给各测量值称为误差分配。 例如在设计一台测量仪表时，应当怎样合理分配各环节和各元件的系统误差。误差传递公式 若要进行误差的合成与误差的分配，首先必须知道误差的传递公式。 那么误差传递公式又是如何得出的？ 设被测量 与各测量值

51、 之间的函数关系为， 测量值 各自有独立的绝对误差 ，那么 有绝对误差 。 与 之间的关系为： 上式是绝对误差的传递公式。 是误差传递系数。iniixxfy1),.,(21nxxxfy ixynxxx，21ixyyyixixf绝对误差与相对误差 前式表明，总误差是各分项误差 与其传递系数的代数和。即对函数表达式求全微分，然后求其代数和便可得到 的绝对误差 。 前式两边也分别除以 ，便过得相对误差的传递公式： 由上式可见，对函数两边分别取自然对数，再求全微分，然后求代数和便可得到 的合成相对误差。ixyyyiniiniiyxxffxxfyyr11lnydxfdfdxdfln/iniixxfy12

52、.7.2 常用函数的合成误差积函数的合成误差 （功率测量 ） 设 ， 是积函数。对 求全微分得其绝对误差为：若要求其相对误差，可对 取对数再求全微分，即上式说明，由积函数的合成相对误差等于各分项误差之和。当 和 分别有“”号时，从最大误差出发，总误差应等于各分项误差之绝对值和。即 21xxy yy2112dxxdxxdyy21lnlnlnxxy212211xxyrrxdxxdxydyr|)|(|21xxymrrr1xr2xrUIP 已知电阻上的电压和电流的误差分别为2.0%和1.5%，求电阻耗散功率的相对误差。解：电阻耗散功率 ，此为积函数。 根据式2-41得： 如果已知电阻和电流的误差为2.

53、0%和1.5%， 那么5.0%1.5%)2(2.0%|)|2|(|IRpmrrrUIP RIP2RIIP3.5%1.5%)(2.0%|)|(|IUpmrrr2.7.2 常用函数的合成误差2.商函数的合成误差 已知为商函数 。对 求全微分可得其绝对误差为：对 取对数得 ，然后微分得 的相对误差为：可见，商函数的合成相对误差是各分项相对误差之差。但由于 和 往往前面有“”号，从最大误差出发，仍取各分项误差的绝对值相加，即： 21/ xxy y222121122221/)(xdxxxdxxxdxxdxdyy21lnlnlnxxyy212211xxyrrxdxxdxr1xr2xr|)|(|21xxym

54、rrr与积函数一样 已知放大电路晶体管集电极电阻 ，利用测量 上的压降 ,然后间接测得集电极电 。已知测量电压的误差是1.5%，电阻的误差是2.0%，求测量电流的误差。 解：知 是商函数。 根据式2-44可得测量电流的误差为： 3.5%2.0%)(1.5%|)|(|RUcmrrrcRcRUI/cRcRRUcRcRUI/2.7.2 常用函数的合成误差3.幂函数的合成误差 设 ，可见 是幂函数。对 取对数得： 然后微分，得 的合成误差式中， 、 和 为影响系数。 pmnxxkxy321常数kyy321lnlnlnlnlnxPxmxnkyy332211xdxPxdxmxdxnry321Prxxxmr

55、nrn mP 电流流过电阻，发热量 。知 ， ， ，求 是多少？ 解：由于 ， 和 的前面均有“”号，从最大误差出发，仍取各项误差的绝对值相加。由式2-66可得由此例说明，因为测量电流的影响系数为2，而 的误差占了总合成误差的近80%，因而，选择合成函数时应尽量避免影响系数大的函数。RtIQ224. 0%0 . 2Ir%0 . 1Rr%5 . 0trQrIrRrtr|)|2| (tRIQmrrrr%)5 . 0%0 . 1%0 . 22(%5 . 5I2.7.2 常用函数的合成误差4.和差函数的合成误差 设 ， 左式求全微分得绝对误差若各分项误差的符号不能预先确定时，从最大误差出发，仍取绝对值

56、相加，即相对误差 21xxy21dxdxdy|)|(|21dxdxdy2121xxdxdxydyry4.和差函数的合成误差 设 是和函数，那么 设 是差函数。同理得：当 和 的符号为未知时，上两式仍需取绝对值相加。由式2-70可见，当 和 比较接近时，其合成误差比较大，所以尽量不选择差函数。21xxy22212112112121xdxxxxxdxxxxxxdxdxry22121211xxrxxxrxxx21xxy22121211xxyrxxxrxxxr1xr2xr1x2x 用三瓦特表法测量三相交流电路中的功率，各仪表的示值分别为 、 和 ，设三仪表的相对误差相等为 。求总功率的相对误差为多少？

57、解：三相交流电路的总功率等于 由式2-69可知，总功率的误差为： 可见，若测量三相功率的各功率表相对误差相同，三相电路总功率的相对误差等于任一相功率的误差。1P2P3Ppr321PPPPPPPPrrPPrPPrPPr321 用指针式频率计测量放大电路的频带宽度，仪器的 级。测量值 ， 。求频带宽度的合成误差。解：丈量 的相对误差为： 丈量 的相对误差为： 已知频带宽度由于 和 的符号均为未知，代入式2-49），并取绝对值相加，得：MHz20fm0 . 1sMHz20fhMHz10fL%0 . 12020%0 . 1%hmhffsrhf%0 . 21020%0 . 1%LmLffsrMHz10M

58、Hz)1020(fffLhBhrLr)rfff|rfff(|rLLhLhLhhf%)0 . 21010%0 . 11020(%0 . 4Lf5.和差积商函数的误差 例2-19 两只电阻 和 联，求并联后电阻的总误差。解：并联后总电阻 是和差积商函数。根据误差传递公式2-58可以得出：那么即当 时，那么 。表明相对误差相同的电阻并联后总电阻的相对误差与单个电阻的相对误差相同。 2R1R2121RRRRR2211dRRRdRRRdR1221112121111)()(dRRRRdRRRRRRdRRR2221222121222)()(dRRRRdRRRRRRdRRR2221112212)()(dRRR

59、RdRRRRdR2221111212RdRRRRRdRRRRRdRrR22111212RRRrRRRrRRRr21RRrr21RRRrrr其相对误差为：其相对误差为：2.7.3 系统误差的合成1.已定系统误差的合成 对于已定系差，由于误差的大小、符号和函数关系均为已知，故可直接由误差传递公式2-37进行合成。因为 ，假如 则可对各分项误差采用代数和法进行合成。即： 而相对误差为： iiix0iiniiyxf1iniiyyxfyr1ln 有五个1000电阻串联，若各电阻的系统误差分别为： ， ， ， ， 。求总电阻的绝对误差和相对误差。 解：其相对误差为：-11322324155000RRRRR

60、R543213) 12231(RR51iiR%06. 0%10050003RrRR2.系统不确定度的合成 对于未定系统误差，由于往往只知道其误差极限而不知道其确切的大小和符号，因此对它的合成方法视具体情况而定。通常可用下列两种方法。 （1绝对值和法 各分项误差取绝对值，然后求和。用式子表示为： 绝对系统不确定度 相对系统不确定度 一般情况下，niiymxf1niiymxfr1|)r |r |r(|rn21ym 用二功率表法测量三相三线制电路中的总功率。设两功率表的 级， ， 。它们的读数分别为 ， 。求测量总功率的系统不确定度。 解：总功率为 。 根据式2-73和仪表精度等级的定义，可求出测量