初三圆的证明专题训练包括答案.docx

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2、谢您对菁 优网的支持。第1页（共49页）2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷（扫描二维码可查看试题解析）一.解答题（共17小题）（2014?辽阳）如图，在ABC, AB=AC ,以AB为直径的。0分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上，HZCBF= JcAB.2（1 ）求证：直线BF是。0的切线；(2 )若 AB=5 ， sin Z CB越求 BC 和 BF 的长.5学习帮手（2014?吉林）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D,延长AO交。0于点E,连接CD, CE,若CE是。0的切线，解答下列问 题：（1 ）求证：CD是。0的切线；

3、（2 ）若BC=3 ， CD=4 ，求平行四边形OABC的面积.兼翻 3.（2014?天水）如图，点D为。0上一点，点C在直径BA的延长线上，且Z CDA= Z CBD.（1）判断直线CD和O0的位置关系,并说明理由.（2 ）过点B作。0的切线BE交直线CD于点E,若AC=2 ， ©0的半径是3,求BE的长.E胡藏磷4 . （ 2013?德州）如图,已知。0的半径为1 , DE是。0的直径,过点D作。0的切线AD, C是AD的中点，AE交。0于B点，四边形BCOE是平行四边形.（1 ）求AD的长；（2 ） BC是O0的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由.E5 . （ 2013?

4、荷泽）如图，BC是。0的直径,A是。0上一点,过点C作。0的切线，交BA的延长线于点 D,取CD的中点E, AE的延长线与 BC的延长线交于点 P.（1 ）求证：AP是。0的切线；（2 ） OC=CP ， AB=6 ,求 CD 的长.D由神型6 . ( 2013?聊城,)如图，AB是。0的直径，AF是。0切线，CD是垂直于 AB的弦，垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F, CD= 4«，BE=2 .求证：(1 )四边形FADC是菱形；(2 ) FC是。0的切线.AB巍常嘘7 . ( 2012?北京)已知：如图,AB是。0的直径,C是。0上一点,OD, BC于点D,过点C作。

5、0的切线，交OD的延长线于点 E,连接BE.(1 )求证：BE与。相切；(2 )连接AD并延长交 BE于点F,若OB=9 ， sin Z AbJ=,求BF的长.竣屈8 . ( 2012?济宁)如图，AB是。的直径，AC是弦，OD, AC于点D,过点A作。的切线AP, AP与OD的延长线交于点P,连接PC、BC.(I)猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论.(2 )求证：PC是O0的切线.国就噩1G3谙9 . ( 2012?德阳)如图，已知点C是以AB为直径的。0上一点过点B作O0的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点，连接AE并延长交，CH_LAB 于点 H,BD于点F,直线

6、CF交AB的延长线于 G.(1 )求证：AE?FD=AF?EC ；(2 )求证：FC=FB；(3 )若FB=FE=2 ，求O0的半径r的长.回够能®回淤湖10 . ( 2012?黔南州)已知：如图，点C在以AB为直径的。0上，点D在AB的延长线上，Z BCD=ZA.(1)求证：CD为。0的切线；4(2 )过点 C 作 CE± AB 于 E. 若 CE=2 , cosD=:，求 AD 的长.5P(2012?广安)如图，在 ABC中，Z ABC二NACB以，AC为直径的。0分别交AB、BC于点M、N ,点P在AB的延长线上，且 Z CAB=2 Z BCP.(1 )求证：直线CP

7、是。0的切线.(2 )若BC=2，din Z BCP= 盛点B至lj AC的距离.5(3 )在第(2)的条件下，求 ACP的周长.鳞3遨物12 . ( 2012?黄冈)如图，在 ABC中，BA=BC ,以AB为直径作半圆 。O,交AC于点D,过点D作DELBC,垂足为点 E.(1 )求证：DE为O0的切线；(2 )求证：BD =AB?BE .C13 . ( 2011?芜湖)如图，已知直线PA交。于A、B两点，AE是。0的直径，点C为。0上一点，且AC平分Z PAE ,过C作CD _L PA,垂足为D .(1 )求证：CD为。0的切线；2011?凉山州)如图，已知 ABC,以BC为直径，O为圆心

8、的半圆交AC于(2 )若DC+DA=6 ， O0的直径为10 ,求AB的长度.点F,点E为CF的中点，连接BE交AC于点M , AD为ZSABC的角平分线，且AD±BE,垂 足为点H.(1 )求证：AB是半圆O的切线；(2 )若 AB=3 ， BC=4 ,求 BE 的长.2011?乐山)如图，D为。0上一点，点C在直径BA的延长线上，且Z CDA= Z CBD.(1 )求证：CD是。的切线；(2 )过点B作。0的切线交CD的延长线于点E,若BC=6 , tan Z CDA=,泉BE的长.回联轴16 . ( 2011?广安)如图所示,P是。0外一点,PA是。0的切线,A是切点,B是。上

9、一点，且PA二PB,连接AO、BO、AB,并延长BO与切线PA相交于点Q.(1)求证：PB是。0的切线；(2 )求证：AQ?PQ=OQ?BQ ；(3 )设 N AOQ=a ,若&3sdOQ=15 ,求 AB 的长.5QB嬲翻海 17 . ( 2012?达州)如图，C是以AB为直径的。上一点，过O作OELAC于点E,过点A作。的切线交 OE的延长线于点F,连接CF并延长交 BA的延长线于点P.(1)求证：PC是。的切线.(2 )若 AF=1 , OA= 22，求 PC 的长.学习帮手学习帮手2015年04月19日九年级数学组的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题（共17小题）1. （

10、2014?辽阳）如图，在ABC, AB=AC ,以AB为直径的。分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上，且NCBF=LcAB.2（1 ）求证：直线BF是。0的切线；（2 ）若 AB=5 ， sin Z CbHI 求 BC 和 BF 的长.5考切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三点：角形.专 几何综合题.题：分 （1）连接AE,利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形 ，利用直角三析：角形两锐角相等得到直角，从而证明ZABF=90° .（2）利用已知条件证得XQCs* ABF利，用比例式求得线段的长即可 .解 （1）证明：连接AE,答

11、：AB是。0的直径，Z AEB=90 ° ,AZ 1+ Z 2=90 0 .,? AB=AC ,AZ llz CAB.2VZ CBpiz CAB,2AZ 1= Z CBF Z CBF+ Z 2=90 0即 ZABF=90° / AB是。0的直径，直线BF是。0的切线.（2）解：过点C作CG, AB于G. sin Z CB Z 1= Z CBF ,5 sin N应5 在 Rt AEB 中，Z AEB=90 ° AB=5, BE=AB?sin N娓，AB=AC , Z AEB=90 0 , BC=2BE=2遍，在RtAABE中，由勾股定理得 AE=1小=BE?=2 炳

12、,.ZAE W5 CG /双爬 BG AB 5 BC AB 5 BC在 RtACBG 中，可求得 GC=4 , GB=2 , AG=3 ,GC/ BF ,/. AGCA ABF ,.GC AG访F.rfSOAB= 20AG 3点本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，角的大小及线段长度的求法，要求学评：生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题.2. (2014?吉林)如图，四边形OABC是平行四边形 ,以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D,延长AO交。于点E,连接CD, CE,若CE是。的切线，解答下列问题 ：(1 )求证：CD是。0的切线；(2 )若BC=3 ， CD=4 ，求

13、平行四边形OABC的面积.考切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质题：分 (1)连接OD ,求出Z EOC=Z DOC,根据SAS推出 EOCA DOC,推出析： Z ODC=Z OEC=90 °根，据切线的判定推出即可；(2)根据全等三角形的性质求出 CE=CD=4 ,根据平行四边形性质求出 OA=3 ,根 据平行四边形的面积公式求出即可.解 (1)证明：连接OD ,答： *., OD=OA,AZ ODA=Z A, 四边形OABC是平行四边形，/. OC AB,AZ EOC=Z A, Z COD=Z ODA,AZ EOC=Z DOC,在 EOC和 ADOC中(O

14、E-OD Zeoc=Zdocgo。., EOC四DOC (SAS),AZ ODC=Z OEC=90 0 ,即 OD±DC, CD是。0的切线；(2)解：VA EOCA DOC, CE=CD=4 ， 四边形OABC是平行四边形，/. OA=BC=3 ,平行四边形OABC的面积S=OA X CE=3 X 4=12 .占八、评:本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是推出 AEOCADOC.3. （ 2014?天水）如图，点D为。0上一点，点C在直径BA的延长线上，且Z CDA= Z CBD.（1）判断直线CD和O0的位置关系,并说明理由.（2

15、）过点B作。0的切线BE交直线CD于点E,若AC=2 ， ©0的半径是3,求BE的长.考 切线的判定与性质占八、专 几何图形问题.题：分 （1）连接OD ,根据圆周角定理求出Z DAB+ Z DBA=90。求，出N CDA+ Z ADO=90 ° ,析：根据切线的判定推出即可 ；（2）根据勾股定理求出DC,根据切线长定理求出DE=EB ,根据勾股定理得出方程， 求出方程的解即可.解 解：（1）直线CD和。0的位置关系是相切，答：理由是：连接OD,AB是。0的直径， Z ADB=90 0 , Z DAB+ Z DBA=90 ° ,VZ CDA= Z CBD,/. Z

16、 DAB+ Z CDA=90 ° ,OD=OA,AZ DAB= Z ADO,/. Z CDA+ Z ADO=90 0 ,即 OD±CE, 直线CD是。0的切线，即直线CD和。0的位置关系是相切 ；（2） AC=2 , 00 的半径是 3, OC=2+3=5 , OD=3 ,在RtACDO中，由勾股定理得：CD=4 ,CE 切。0 于 D , EB 切。0 于 B,/ DE=EB , Z CBE=90 设 DE=EB=x ， 在RtACBE中，由勾股定理得：CE2 =BE2+BC77贝ij ( 4+x ) =x + ( 5+3 ) 解得：x=6 ， 即 BE=6.E点本题考查

17、了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周角定理，等腰三角形评：的性质和判定的应用，题目比较典型，综合性比较强，难度适中.4. ( 2013?德州)如图，已知。的半径为1, DE是。0的直径,过点D作。0的切线 AD , C是AD的中点，AE交。0于B点，四边形BCOE是平行四边形.(1 )求AD的长；(2 ) BC是O0的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由.考切线的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质占JW 专 计算题.题：Z DBE 为分 （1）连接BD,由ED为圆O的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到直析： 角，由BCOE为平行四边形，得到BC与OE平行，且B

18、C=OE=1 ,在直角三角形ABD中，C为AD的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可；（2）连接OB,由BC与OD平行,BC=OD ,得到四边形BCDO为平行四边形，由 AD为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AD,可得出四边形BCDO为矩形, 利用矩形的性质得到OB垂直于BC,即可得出BC为圆O的切线.解 解：（1）连接BD, V DE是直径,Z DBE=90° ,答： :四边形BCOE为平行四边形,：.BC OEBC=OE=1,在RtABD中，C为AD的中点，. bc=1ad=i ,2则 AD=2 ；（2）是，理由如下：如图，连接 OB. 丁 BCOD, BC

19、=OD , 四边形BCDO为平行四边形，,/ AD为圆O的切线， .OD± AD, 四边形BCDO为矩形，/. OB± BC,则BC为圆O的切线.E点此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的评： 判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键5. （2013?荷泽）如图，BC是。0的直径，A是。0上一点，过点C作。0的切线，交BA的延长线于点D,取CD的中点E, AE的延长线与 BC的延长线交于点 P.（1 ）求证：AP是。0的切线；（2 ） OC=CP ， AB=6 ,求 CD 的长.考切线的判定与性质；解直角三角形.占八、分 （1 ）

20、连接AO , AC （如图）, 欲证AP是。0的切线，只需证明 OA, AP即可；析： （2）利用（1）中切线的性质在Rt OAP中利用边角关系求得 Z ACO=60 °然.后在Rt BAC、Rt ACD中利用余弦三角函数的定义知 AC=2近，CD=4 .解 （1）证明：连接AO ， AC （如图）.答：BC是00的直径，Z BAC= Z CAD=90 ° . E是CD的中点,/. CE=DE=AE .AZ ECA= Z EAC.OA=OC,AZ OAC=Z OCA.CD是。0的切线，:.CD± OC. Z ECA+ Z OCA=90 ° ./. Z E

21、AC+ Z OAC=90 ° ./. OA± AP.TA是。0上一点， AP是。0的切线；(2)解：由(1)知 OA_L AP.在 RtAOAP 中，VZ OAP=90° , OC=CP=OA ,即 OP=2OA , sirii ”1 yOP 2AZ P=30 0 .AZ AOP=60 0 . : OC=OA,AZ ACO=60在 RtABAC 中，VZ BAC=90° ， AB=6 , Z ACO=60° ,'AC=tanZAC0=2又在 RtZACD 中，Z CAD=90° ， Z ACD=900- ZACO=30

22、6;解题的点本题考查了切线的判定与性质 、解直角三角形.注意，切线的定义的运用评： 关键是熟记特殊角的锐角三角函数值.6. (2013?聊城)如图，AB是。0的直径，AF是。0切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E,过点C作DA的平行线与 AF相交于点F, CD= BE=2 .求证：(1 )四边形FADC是菱形；(2 ) FC是。0的切线.考切线的判定与性质；菱形的判定.占J、专 压轴题.题：分 （1）首先连接OC,由垂径定理，可求得CE的长，又由勾股定理，可求得半径 OC析： 的长，然后由勾股定理求得 AD的长，即可得AD=CD ,易证得四边形 FADC是平行 四边形，继而证得四边形FADC是

23、菱形；（2）首先连接OF,易证得 AFOA CFO,继而可证得FC是©0的切线.解 证明：（1 ）连接OC,答：*/ AB是。0的直径，CD± AB, CE二DECD= 1x43=2*73,22设 OC=x ,? BE=2 ,.*. OE=x - 2 ,在 RtAOCE 中，OC2=OE 2+CE 2,22 JI 2x= （ x - 2） + （2）,解得：x=4 ,：.OA=OC=4 , OE=2 ,/. AE=6 ,在 RtAAED 中，AD= 7aE：2+DE2=4：.AD=CD ,? AF是。0切线,：.AF ± AB,CD± AB,/. AF

24、/ CD,? CF AD, 四边形FADC是平行四边形，AD=CD ,平行四边形FADC是菱形；(2)连接 OF, AC, 四边形FADC是菱形， FA=FC , Z FAC= Z FCA ,: AO=CO,AZ OAC=Z OCA,/. Z FAC+ Z OAC=Z FCA+ Z OCA,即 ZOCF=ZOAF=90° ,即 OC_LFC, ,点C在。0上,J FC是。0的切线.B点此题考查了切线的判定与性质 、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等评： 三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想7. (2012?北京)已知：如图，AB是。0的直

25、径,C是。0上一点，OD，BC于点D,过点C作。0的切线，交OD的延长线于点 E,连接BE.(1 )求证：BE与。0相切；(2 )连接AD并延长交BE于点F,若OB=9 , sin Z ABC二工求BF的长.考切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形.专几何综合题.题：分 (1)连接OC,先证明OCEgAOBE,得出EB_LOB, 从而可证得结论.（2）过点 D 作 DH± AB,根据 sin Z ABC=,W可求出 OD=6 , OH=4 , HB=5 ,然后3由ADHsa AFB,利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长.解答:证明：（1 ）连接OC,OD&#

26、177; BC,AZ COE=Z BOE,在 ZOCE 和 ZOBE 中，pX 二 OB< ZC0E=ZB0E7.OE=OE '/. OCEA OBE,/. Z OBE= Z OCE=90 B|J° , OB± BE,VOB是OO半径,BE与OO相切,（2）过点D作DH± AB,连接AD并延长交BE于点F,VZ DOH=Z BOD, Z DHO=Z BDO=908. （2012?济宁）如图，AB是。0的直径,切线AP, AP与OD的延长线交于点 P,连接PC （1）猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系， （2）求证：PC是。的切线.BCAC是弦，O

27、D, AC于点D ,过点A作。0的、BC.并证明你的结论./. ODHA OBD, 0D_ 0H_ PH0D- BD又 Vs in ZABC=2, OB=9 ,3 OD=6 ,易得 ZABC=ZODH, sin Z ODft=,艮四=23 OD 3/. OH=4 , dh=7 OD 2 - OH 2=2 逐,又 VA adha afb,.AH DH 13 2近t "二,AB FB 18 FB.fr3&V513点此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握评： 切线的判定定理，在第二问的求解中，一定要注意相似三角形的性质的运用.考切的判定与性；全等三

28、角形的判定与性；三角形中位定理；周角定理.点：'(1)根据垂径定理可以得到D是AC的中点，OD是ABC的中位，根据三角形的中位析： 定理可以得到ODBC, CD= BC;1(2)接OC, OP与。0交于点E,可以得 OAPS OCP,利用全等三角形的 角相等 ，以及切的性定理可以得到 ：/ OCP=90° ,即OCJ_PC,即可等解 (1)猜想：OD/ BC, OD= AbC. 2答： 明：: OD1AC, AD=DCAB是。O的直径，OA=OB - 2 分。口是 ABC的中位， OD BC, OD=-BC2(2)明：接OC, OP与。O交于点E.,/ OD1 AC, OD

29、心 O,.*.AB=Sxoe= Z COE在 /XOAP 和OCP 中，(OA=OCZA0P=ZC0P,OP二OP OAP=AOCP,AZ OCP = Z OAP/ PA是OO的切线，/. Z OAP=90 ° .AZ OCP=90 0 即，OC± PC，PC是。0的切线.3 C点本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三角形的中位线定理，证明圆的切线的评：问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题9. (2012?德阳)如图，已知点C是以AB为直径的。0上一点，CHLAB于点H,过点B作。0的切线交直线 AC于点D,点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F,

30、直线CF交AB的延长线于G.(1 )求证：AE?FD=AF?EC ；(2 )求证：FC=FB；(3 )若FB=FE=2 ，求O0的半径r的长.D考 切线的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的 点： 中线；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质 .1-r-专 证明题；几何综合题；压轴题.题：分 (1)由BD是。0的切线得出Z DBA=90 0推，出CH/ BD,证 AECA AFD得，出比 析：例式即可；(2)连接 OC, BC,证AECs AFD , AHEA ABF 推出，BF=DF ,根据直角三角形斜边上中线性质得出 CF=DF=BF 即可；(3)求出

31、EF二FC,求出 NG=NFAG 推，出 AF=FG ,求出 AB=BG ,求出 N FCB= N CAB 推出CG是。切线,由切割线定理得出(2+FG ) 2=BG X AG=2BG2,在Rt BFG中，由勾股定理得出 BG2=FG 2 - BF2 ,推出FG2 - 4FG - 12=0 ,求出FG即可.解(1)证明：: BD是。0的切线,答： A Z DBA=90 0 ,; CH± AB,/. CH/ BD,/. AECA AFD ,.AE CE = """"",AF DF AE?FD=AF?EC .(2)证明：连接OC, BC,

32、CH/ BD, AECA AFD ， AHEA ABF , CE_ AE AE= EH证屈AF丽. CE_ AE_ EH,TF AF BF,? CE=EH （E 为 CH 中点）,：.BF=DF , / AB为。0的直径,：.Z ACB= Z DCB=90 ° ,? BF=DF , CF=DF=BF （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），即 CF=BF.（3）解：*.* BF=CF=DF 已（证），EF=BF=2 , EF=FC , Z FCE= Z FEC ,Z AHE= Z CHG=90 0 ,AZ FAH+ Z AEH=90 ° , Z G+Z GCH=90 0

33、,丁 Z AEH= Z CEF ,AZ G=Z FAG,AF=FG ,FB _L AG,/. AB=BG ,V BF 切 OO 于 B,AZ FBC= Z CAB,/ OC=OA, CF=BF ,AZ FCB= Z FBC , Z OCA=Z OAC,AZ FCB= Z CAB,Z ACB=90 0 ,AZ ACO+Z BCO=90 0 , Z FCB+ Z BCO=90 ° ,即 OC_LCG, CG是©0切线, GBA 是。0 割线，AB=BG （已证），FB=FE=2 , ,由切割线定理得：（2+FG ） FG - 4FG - 12=0 ,解得：FG=6 , FG=

34、- 2 （舍去），由勾股定理得：AB=BG= 4 62-淤=4 版AO0的半径是2 V2.=BG X AG=2BG2,79?D在RtBFG中，由勾股定理得：BG =FG - BF ,占八、本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判评： 定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用题目综合性比较强，有一定的难度.10 . （2012?黔南州）已知：如图，点C在以AB为直径的。上，点D在AB的延长线上，Z BCD= Z A.(I)求证：CD为。0的切线；(2 )过点 C 作 CE± AB 于 E.若 CE=2 , cosD= W,求

35、 AD 的长.DC考切线的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形.占J、分 （1 ）先连接CO,根据AB是。0直径，得出Z 1+ Z OCB=90 °再，根据AO=CO ,得析： 出Z1 = ZA,最后根据Z4=ZA,证出OC1CD,即可得出CD为。的切线；（2）根据OC_L CD,得出N 3+ N D=90 °再，根据CE± AB,得出Z 3+ Z 2=90 °从，而得出cosN2=cosD,再在aoCD中根据余弦定理得出CO的值，最后根据。的半径为5,一，即可得出AD的长.2解 证明：（1 ）连接co,答： AB是。0直径AZ 1+ Z OCB=90

36、0 ,: AO=CO,r.z 1= z a.,/ Z 4= Z A, Z 4+ Z OCB=90 0 .即 ZOCD=90° .:.OC± CD.又TOC是。0半径，CD为。0的切线.(2) OC± CD 于 C, Z 3+ Z D=90 0 .CE± AB 于 E, Z 3+ Z 2=90 0 .AZ 2= Z D.cos Z 2=cosD ,在OCD 中，Z OCD=90° ,cos ZCO4 cosDT CE=2 ,5.2.4 tanD. 52 - 42 3CO 544，。0的半径为二5 PC L 10tanD J 34AD=更6D C点

37、本题考查了切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接评： 圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可，同时考查了三角函数的知识.11 . ( 2012?广安)如图，在 ABC中，NABC二N ACB以，AC为直径的。0分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上，且NCAB=2NBCP.(1 )求证：直线CP是。0的切线.(2 )若 BC=2,Jin Z BCP=增点 B 至ij AC 的距离.(3 )在第(2)的条件下，求 ACP的周长.考切线的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 ；解点：直角三角形.专几何综合题；压轴题.题:析:答:Z ABC+

38、 Z BAC+ Z BCA=180在aABC中,(1)根据 Z ABC= Z ACB 且 Z CAB=2 Z BCP 在， ABC 中 Z ABC+ Z BAC+ Z BCA=180 得到2ZBCP+2ZBCA=180° , 从而得到ZBCP+ZBCA=900 ,证得直线CP是©0的切 线.(2)作BD± AC于点D ，得到BD PC,从而利用sin Z BCP=sin Z其夕二虫，求得DC=2 ,再根据勾股定理求得点 B到AC的275 5距离为4.(3)先求出AC的长度，然后利用BD PC的比例线段关系求得CP的长度，再由勾 股定理求出AP的长度，从而求得4AC

39、P的周长.解：(1) VZ ABC=ZACBH ZCAB=2ZBCP,/. 2 Z BCP+2 Z BCA=180 ° ， ：.Z BCP+ Z BCA=90 ° ,又C点在直径上， 直线CP是。0的切线.(2)如右图，作BD± AC于点D,: PC± ACBD PCZ PCB= Z DBCBC=2而 sin Z BCP噂5sin Z BCP=sinrDC在解得：DC=2 ， 由勾股定理得：BD=4 ,工点B到AC的距离为4.(3)如右图，连接AN ，,/ AC为直径，/. Z ANC=90 0 , CN _ CN V5Rt ACN中，AC-Z痂-2而荏

40、=5T又 CD=2 ,/ AD=AC - CD=5 - 2=3 ./ BD CP, BD AD ，CP AC:.CP汨 Vac2+cp2=-j, 号争,3在 RtAACP 中,AC+CP+AP=5+ ACP的周长为20.点本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多评:12 . （2012?黄冈）如图,在 ABC中，BA=BC ,以AB为直径作半圆 。O,交AC于点D,过点D作DELBC,垂足为点E.（1 ）求证：DE为O0的切线；（2 ）求证：BD =AB?BE .考切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质.占八、专 证明题.题：分 （1）连接OD、BD,根据圆周角定理可

41、得Z ADB=90 0继，而得出点D是AC中点，析： 判断出OD是三角形ABC的中位线，利用中位线的性质得出ZODE=90° ,这样可判断出结论.（2）根据题意可判断 BEDA BDC从，而可得BD2 =BC?BE ,将BC替换成AB即可得出结论.解 证明：（1 ）连接OD、BD,则NADB=90° （圆周角定理），答： *. BA=BC ， CD=AD (三线合一)，又 VAO=OB, 。口是 ABC的中位线,：.OD BC, Z DEB=90 0 ,AZ ODE=90 ° 即，0D± DE,故可得DE为OO的切线；(2) VZ EBD= Z DBC,

42、 Z DEB= Z CDB,/. BEDA BDC,. BD_ BE 一BC BD又 VAB=BC,. BD_ BE =,AB BD故 BD =AB?BE .点此题考查了切线的判定及性质、三角形的中位线的判定与性质等腰三角形的性质评： 解答本题的关键是得出点 D是AC中点，求出NODE是直角，有一定难度.13 . （ 2011?芜湖）如图，已知直线 PA交。0于A、B两点,AE是。0的直径，点C为。0上一点，且AC平分ZPAE,过C作CD± PA,垂足为D.（1 ）求证：CD为。0的切线； （2 ）若DC+DA=6 ， ©0的直径为10 ,求AB的长度.考切线的判定与性质；

43、勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理.占八、专 几何综合题.题：分 （1）连接OC,根据题意可证得 Z CAD+ Z DCA=90 °再，根据角平分线的性质 ，得析： Z DCO=90 ° ,则CD为00的切线；（2）过 O 作 OF_L AB,则 Z OCD=Z CDA= Z OFD=90 0 得,四边形 OCDF 为矩形，设AD=x，在Rt AOF中，由勾股定理得（5 - x） 2+ （ 6 - x） 2=25 ,从而求得x的值，由勾股定理得出 AB的长.解 （1）证明：连接OC,答： *., OA=OC,AZ OCA=Z OAC, ? AC 平分 Z PAE ,AZ

44、DAC= Z CAO, Z DAC= Z OCA,PB OC,CD± PA, .CD± OC, CO为。0半径， CD为。0的切线；(2)解：过O作OF± AB,垂足为F, Z OCD=Z CDA= Z OFD=90 " , 四边形DCOF为矩形,：.OC=FD , OF=CD .VDC+DA=6 ,设 AD=x ,则 OF=CD=6 - x,。0的直径为10 ,/. DF=OC=5 ,. AF=5 - x,在RLAOF中，由勾股定理得 AF2 +OF 2=OA 2 .即(5 - x) + ( 6 - x) =25 ,7化简得 x - 1 lx+18=0

45、 ,解得 xi =2, X2=9 .CD=6 - x大于0,故x=9舍去,x=2 ,从而 AD=2 , AF=5 - 2=3 ,.OF± AB,由垂径定理知，F为AB的中点，AB=2AF=6 .点本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基评：础知识要熟练掌握.14 . (2011?凉山州)如图，已知 ABC,以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F,点E为谛的中点，连接BE交AC于点M , AD为 ABC的角平分线，且AD± BE,垂足为点 H.(1 )求证：AB是半圆O的切线；(2 )若 AB=3 ， BC=4 ,求 BE 的长.切线的判定与

46、性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质专几何综合题；压轴题.题：分 (1)连接EC, AD为aABC的角平分线，得N1 = N2,又ADLBE, 可证N3=N4,由析： 对顶角相等得 Z4=Z5,即Z3=Z5,由E为!F的中点，得Z6=Z7,由BC为直径得Z E=90 ° 即，Z 5+ Z 6=90 ° 由，AD CE 可证 Z 2= Z 6 从，而有 Z 3+ Z 7=90 ° 证，明结论；（2）在RtABC中，由勾股定理可求AC=5,由N 3= N4得AM=AB=3 ,则CM= AC-AM=2 ,由（1 ）可证aCMEs有理CE, 利用相似比可得

47、EB=2EC,在RtaBCE中， 99?999根据 BE +CE =BC ,得 BE + （）=4 ,可求 BE.解 （1）证明：连接EC,答:.* AD± BE 于 H , Z 1= Z 2 ,AZ 3= Z 14 （分）VZ 4= Z 5 , N 4=-g5= N 32,分（）又VEEF CE的中点，V BC是直径,/. Z E=90 0 ,：.Z 5+ Z 6=90 0 ,又 TN AHM=ZE=90° , AD CE,AZ 2= Z 6= Z 1 , Z 3+ Z 7=90 0 ,又BC是直径， AB是半圆O的切线；（4分）学习帮手学习帮手（2）解：AB=3 , B

48、C=4 ，由（1）知，Z ABC=90° , , /aBBC2=732 + 42=5（5 分）在 ZXABM 中，AD±BM 于 H , AD 平分 ZBAC,AM=AB=3 , CM=2 （6分） Z 6= Z 7 ,为NE公共角， CMEA BCE 彳42 匹:&1= , （ 7 分）EB CB 4 2777 EB=2EC，在 Rt BCE 中，BE+CE =BC ,点本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理评： 的运用.关键是由已知条件推出相等角，构造互余关系的角推出切线 ，推出相似三角形，由相似比得出边长的关系，由勾股定理求解.,勾股定

49、理利用相等角15 . ( 2011?乐山)如图，D为。0上一点,点C在直径BA的延长线上，且Z CDA= Z CBD.(1)求证：CD是。0的切线；(2 )过点B作。0的切线交 CD的延长线于点E,若 BC=6 , tan Z CDA上求 BE 的长.3考切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质.占J、专几何综合题；压轴题.题：分 (1)连OD , OE,根据圆周角定理得到Z ADO+Z 1=90 °而，Z CDA= Z CBD,析： Z CBD= N 1 于，是 N CDA+ Z ADO=90 ° ；(2)根据切线的性质得到 ED=EB, OE± B

50、D,则N ABD= N OEB,到得tan Z CDA=tan Z易证 Rt CDO Rt CBE 得益ij旦=理=2=，求得BE 3CB BE BE 3CD ,然后在Rt CBE中，运用勾股定理可计算出BE的长.解 (1)证明：连OD , OE,如图，答：AB为直径，/. Z ADB=90 ° 即，Z ADO+Z 1=90 ° ,又 VZ CDA=ZCBD,而 ZCBD=Z1,AZ 1= Z CDA,/. Z CDA+ Z ADO=90 ° BP, Z CDO=90 ° ,CD是。0的切线；(2)解：: EB为。0的切线,：.ED=EB , OE± DB,/. Z ABD+ Z DBE=90 ° , Z OEB+ Z DBE=90AZ ABD= Z OEB,AZ CDA= Z OEB.而 tan NCDA=M3/. tan Z OE胆工BE 3Rt CDOs Rt CBE,. CD_ 0D_ 0B_ 2Tb- BE- bT 7CDjX 6=4 ，3在 RtACBE 中，设 BE=x ,/. (x+4 ) 2