初中数学中求极值的几种常见的方法

1、初中数学中求最值的几种常见方法仪陇县实验学校李洪泉在生活实践中，人们经常面对求最值的问题：如在一定方案中，往往会讨论什么情况下花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；在解数学题时也常常求某个变量的最大值或最小值。 同时，探求最值也是中考或一些高中学校自主招生考试中的一个热点内容，是初高中知识衔接的重要内容。这类问题涉及变量多，综合性强， 技巧性强， 要求学生要有较强的数学转化思想和创新意识。下面从不同的角度讨论如何求一些问题的最值。、根据绝对值的几何意义求最值实数的绝对值具有非负性，a 0 ,即a1的最小值为0,但根据绝对值的代数意义求一些复杂问题的最值就要采用分类讨论法，比较麻烦。 若根据

2、绝对值的几何意义求最值就能够把一些复杂的问题简单化。例1:已知M = x _1| +|x 43，则M的最小值是 。【思路点拨】用分类讨论法求出x 1 x _珂最小彳1是4,此时 3 _x至隹如果我们从绝对值的几何意义来看此题，就是在数轴上求一点，使它到点 1和点 _3的距离之和为最短。显然，若x C -3，距离之和为 1 一(3)42( -3 x ) >4 ；若一3 < x <1，距离之和为 1 (3) = 4 ;若x ：>1，距离之和为 1 一(-3) +2( x 1) >4 。所以,当一3 x x三1时，距离之和最短，最小值为4。故M的最小值为4。 二、利用配

3、方法求最值完全平方式具有非负性,22 “I即(a b ) 一 0 。 一个代数式右能配方成m ( a b )k的形式,则这个代数式的最小值就为13例2:设a , b为实数，求a2 abb2a - 2 b的最小值。【思路点拨】一是将原式直接配方成与a , b的完全平方式有关的式子可以求出最小值。是引入参数设ab b 2 - a - 2b将等式整理成关于a的二次方程，运用配方法利用判别式求最值。解：(方法一)2配方得： a23 2abb a 2 b4 中2(b 1) a b 2 bb 1 )22b -1 2 )2b -1当a -0, b -1 力，即 a 二 0, b时，上式中不等号的等式成立，故

4、所求的最小值(方法二)令 a 2 +abb 2 _ a _ 2b t-可知此关于a的二次方程有实数解,整理得 a 2 (b (b _ 1) a 卡(b 2 _ 2k t ) = 0 ,由题2 2”. ( b- 1) - 4( b - 2 b- t ) 03b 2 6b 4 t 1. 03 231t_ b b4 243 2t- (b1)1当b =1时，上式中不等号的等式成立，故 t的最小值为 _1 ,即原式的最小值为 一 1例3:若xy 1 z _ 2-1 =,则x 23y 2十z2的最小值为(23A. 3 B. 空 C.1 49D. 62【思路点拨】引入参数设x - 1 =-= 二k ,则x

5、2 + y 2 +z 2就可用含 k的代数式23表示，再通过配方求最小值。解：令 x - 1= = k，则 x = k #1, y = 2 k 1, z = 3k 去 2 ,23三(k 1) 2 (2 k 1) 2(3 k 2) 2-14( k-5-) 2 -59 _ 591414145当k三一时，上式中不等号的等式成立。故1459x 2 y y户z 2的最小值为1 4三、利用对称图形求最值根据两点之间线段最短可以求出两条线段之和的最小值。若两条线段在某条直线的同侧时，可以利用轴对称的性质将在某条直线同侧的两条线段转化成在该直线异侧的两条线段，进而求出最值。例 4、如下图，已知边长为8 cm的

6、正方形 AB C D,点E在A B上，且 A E = 2 cm。在对角线B D上求作一点P，使AP + EP最短，弁求出它的最小值。【思路点拨】此题是要在 段最短”，只需把 A P和EP 方形是轴对称图形，对角线B D上找一点 P，使AP+EP 转化到一条线段上，这就需要找到 B D所在的直线是它的对称轴，而点的和最小。根据“两点之间线E点关于BD的对称点。正E的对称点E 在正方形的边BC上，连结 AE 交BD于点P ,连结PE ,所以PE = PE航，AE= AP妄P八2EP- 则点P就是所求作的点。要想求AP+EP的最小值，只要求 AE的长即可。与该图形类似的还有菱形、圆。解：如上图，作出

7、点 E关于BD的对称点E 在连接 AE，交BD于点P,则点P就是 所求作的点。由图可知 AP PE = AE =J 8 2+6 2 = 10，即AP + EP的最小值为10例5、如下图，在平面直角坐标系中，已知点A （2,4），点B（6, 3）,分别在x轴、y轴上求作点C , D ,使四边形A BC D的周长最短？弁求出周长的最小值。【思路点拨】已知点 A,B为定点，所以AB的长固定不变，这样只要求出AD + D C +C B的最小值即可。要想求出它的最小值，设法把这三条线段构造在一条线段上，分别作出点A,B的对称点A ,B :旌接A B ' * ,与x轴和y轴分别交于点C,D ,则A

8、 B'=A D + D c+c B '=A D + D C C B,于是点 C , D就是所求作的点。然后分别以A B, A B为斜边构造R t VA B E 和RA B F ,易知点 E坐标为（6, 4）,点F坐标为22/i t i（2, 一3）, AE = 4, Bt 1 ,所以 AB = " AE BE =717 ,同理可得，A B 3 113 ,则四边形A B C D的周长的最小值是1 17 +%113 。四、根据垂线段最短求最值例6 （、2011年南充中考）如图，等腰梯形 A BC D中，AD / /BC, AD = AB =CD 2/C =60,M是B C

9、的中点。（1）求证：M D C是等边三角形；（2）将“DC 绕点M旋转，当MD （即 MD ）L AB交于一点E ,MC （即MC '）同时与 AD 交于一点F时，点E, F和点A构成VAEF .试探究aEF的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出 AEF离k的最小值。【思路点拨】易证 BME AM AMF.由此可推出AEAF += AB 2,同时可推出VM E F为等边三角形，进而得到EF = M F ,根据“垂线段最短”可得 M F的最小值为点 M到AD的距离新，即EF的最小值是耶。由此可得到AEF周长的最小值为 23。+解：（1）略（2） VAEF的周长存

10、在最小值 . 理由如下：连接AM ,由（1）可得 V ABM D是菱形， V MAB , MAD V MC D *是等边三角形，IBM A = Z BMEAMEZ=60 ° , Z EM F =4AM F +Z AME 60 aBM E f，AM F在葛ME 与 VMF 中，BM 二 AM ,左BM=/ FAM = 60工嶙 BME g、/AMF ( ASA )BE - AF ,ME - MF , AE AF =AEBE AB:* NEM F =/D M C = 60故Vem F是等边三角形,: MF的最小值为点 M到AD的距离3，即EF的最小值是7'AEF 的周长=AE 善

11、 AF +EF = AB + EFVa E F的周长的最小值为2+ 工；3 .五、利用一次函数与二次函数的性质求最值一次函数y = kx +b的图像是一条直线。当自变量x取一切实数时， 函数y不存在最值。但当自变量x定义在某一区间内时，x存在着最值，函数y也就存在着最值。2二次函数y =ax *bx # c的图像是一条抛物线。当自变量x取一切实数时，抛物线顶点的纵坐标就是函数 y的最值。当自变量 x定义在某一区间的条件限制时，函数y的最值有以下两种情况：（1）当抛物线的顶点在该区间内时，顶点的纵坐标就是函数y的最值。（2）当抛物线的顶点不在该区间内时，函数y的最值在区间内两端点处取得。例7:某

12、家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调彩电冰箱111工时2 13)4产值（千元）432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？【思路点拨】根据题意，可分别令生产空调器x台，彩电 y台，冰箱Z台，总产值M （千元）,易得总产值与冰箱台成一次函数关系M （千元）z解：分别令生产空调器x台，彩电y台，冰箱z台，总产值为M （千元），由题可得:1,因为 k= _y 0, M 随 z2x + y 血

13、=3601 11_x _ y _z _ 12012 234整理得：M _z +1080( z 60)2M =4 x + 3 y * 2 zz _ 60增大而减小，所以当z _60时，M有最大值，即M一z720 _ 3 z兀）.当 z 60 时，x = 丁 = 30, y = = 270 .22故：每周应生产空调器 30台，彩电270台，冰箱1050千元。的最大值为1丈 62 1080 二 1050 (千260台，才能使产值最高，最高产值为28 ：设一 x1 , x2 是万程 2 x 4 mx 2m3m 20的两个实根，当m为何值时,x 2 3 +x 2有最小值，弁求这个最小值。12【思路点拨】

14、由韦达定理可知x12+x22是关于m的二次函数，从判别式入手，根据 m的取值范围可分析出x12+ x 22的最小值。22解：由题可知.一( 4m ) -4 2 (2 m3m 2) 一22令y x1x 2 ,则20 ,解得：mV 32y 干 x1 +x2 ) 2 -2 x1 x2 = fm)2=2 2-m-3 m 2 = 2 m 2 -3m 上22即 y .-2m 23 m 2( mm =及时，y有最小值，最小值为32 ( 2 ) 2 -322 - 8339故：当例9:28m =一时，x12中x 22有最小值，最小值为二39（2011年南充中考）某工厂在生产过程中要消耗大量电能,消耗每千度电产生

15、利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y（元/千度）与电价x（元/千度）的函数图象如图：（1）当电价为600元/千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？ （2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x（元/千度）与每天用电量 m（千度）的函数关系为x=10m+500 ,且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂 涌每天应安排使用多少千度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？,（元/千度）300 j20 01 I .jK（千度）& 5W【思路点拨】根据图像易求出每千度电产生利润y （元/千度）与电价 x （元/千度）的1函数解析式为y二x #300

16、（ x 2。）。令工厂每天消耗电产生利润为W元，易得51 一 1一2二 二 Wm y m （x 308m 占一 （10m 500并 300 1三一 十2 m200 m （。 mg 60）, 55,Imafi根据二次函数的性质即可求出W的最大值。解：（1）略（2）设工厂每天消耗电产生利润为W元，由题意得：Wm y m （二： 1 x +i 300）二 m，二（10 m f 500） + 300 1=一2 m 2 + 200 m （0 前 f 60）5Jt 5iMk化简配方，得：W =-2（ m- 50） 2 + 5000（0 m mW 60）当m = 50时，W最大=5000 o即当工厂每天消耗

17、50千度电时，工厂每天消耗电产生利润最大为 5000元.六、利用均值定理求最值当a, b均为正实数，且a4 bnk （定值）时，a +b之24b （定值）当且仅当a F时取等号，此定理称为均值定理。运用均值定理求最值要同时满足“一正、二定、三 相等”三个条件。多数运用均值定理求最值的问题的条件具有隐蔽性，需要适当地变形 才能用均值定理求解。例10 ：已知正数 2, y 3彳 'x -2 y的最小值为 18. , y满足f+汁=1，求x 42 y的最小值。x y【思路点拨】把x 2 y看作（x +2 y ） 1 ,1用已知条件整体代换，再用均值定理可以求解。81x 16 yx 16 y上

18、T 解f x 2y （ x 2 y）=1 （六 2 y）（二 +）=0 +一T- > 10 2=18，由x yy x1yxx 一 一一社可知，当且仅当一二一16 y ,且8# -1 =1时等号成立，义“x > 0, y > 0 ,解得 y xx y例11 :已知x 5 ,求函数y三4 x _ 2+ 1的最大值。44 x - 51【思路点拨】由题可知4 x 一5 <0 ,首先需调整符号；又 丫 (4 x 2). 不是定值,4 x 5-需对4 x _2进行凑项才能求出定值。'111解：y 4 x 2(5 4 x . ) 3_2 (5 4 x)3_2 3 _ 14 x - 55 - 4