最全版导数专题精华知识点总结

1、专题：导数知识点总结、导数的定义1 .函数y= f(x)在x= xo处的导数称函数尸f(x)在x= xo处的瞬时变化率舸眷嬰一时为 函数 y= f(x)在 x= xo 处的导数，记作 fx0)或 yx= xo,即 fx6)=jmfxo + Ax-fxo=limxo-Ax2 .函数f(x)的导函数称函数f x)= 処枚+fx为f(x)的导函数.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)= C(C为常数)fx)= 0a*f(x) = X ( a Q )f x)= ax 1f(x) = sin xf (x)= cos Xf(x) = cos Xf (x)=- sin xf(x)= axf (x) =

2、 axln a(a0)f(x)= exf (x)= exf(x)= logaX1f (x) = xln a(a6,且a工1)f(x)= In x1 f (x)=一 X三、导数的运算法则(1) f(x) (x) =f x) x);(2) f(x) g(x) = f x)g(x) + f(x)g x);(3)f (X)f (x)g(x) f(x)g (x)g(x)g(x)2(4)Cf(x)cf (X)(6)、复合函数的导数复合函数y= f(g(x)的导数和函数y= f(u), u= g(x)的导 数间的关系为yx= yulu/,即y对x的导数等于y对u的导 数与u对x的导数的乘积.四.导数的几何意

3、义(1) 函数f(x)在x6处的导数f(x6)是曲线f(x)在点P(x6,f(x6) 处的切线的斜率 k,即k=f (x6).用好这个条件是解决切线问 题的关键，不知道切点时要先设切点.注: (1)曲线y= f(x)在点P(x6, y6)处的切线是指P为切点, 斜率为k= fx6)的切线，是唯一的一条切线.曲线y= f(x)过点P(X6, y。)的切线，是指切线经过点P,点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条.五、.函数的导数与单调性的关系1、函数y=f(x)在某个区间内可导，(1) 若f(x)6在该区间内恒成立，则f(x)在这个区间内单调递增；(2) 若f(x)0(0或f

4、(x) v0求出单调区间f (x)= 0可解先确定函数的定义域，解方程f (x) = 0,求出实数根，把函数 f(x)的间断点(即f(x) 的无定义点)的横坐标和实根按从大到小 的顺序排列起来，把定义域分成若干个小 区间，确定f (X)在各个区间内的符号，从 而确定单调区间f (x)0(0或f (x) v 0及方程f (x) = 0均不可解 时，求导并化简，根据f (x)的结构特征， 选择相应基本初等函数，利用其图象与性 质确定f(X)的符号，得单调区间3研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不 等式解集的影响进行分类讨论.常见的分类讨论标准有以 下几种可能： 方程f x)=。是否有根

5、；若fx(=。有根,求出根后判断 其是否在定义域内； 若根在定义域内且有两个，比较根的 大小是常见的分类方法.-弼丄：;.当我们无法判段导函数的符号时，有时需要二次求导研究导函数的最值来判断导函数的正负.4 .用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系(1) fx)6(或fxjv。)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2) f x) 或fx) w是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件(f x)= 0不恒成立).5、根据函数y= f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：(1) 利用集合间的包含关系处理：y= f(x)在(a,b)上单调， 则

6、区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2) 转化为恒成立或存在性问题处理 若函数y= f(x)在(a，b)上单调递增，转化为fx) 0在(a，b)上恒成 立求解. 若函数y = f(x)在(a，b)上单调递减，转化为f x) 0(或fx) 0(或 0,右侧fx)v 0，那么f(x0) 是极大值；(2)如果在X0附近的左侧f x(0,那么f(x0)是 极小值.上 极值点”不是点，若函数f(x)在 X1处取得极大值，则 X1即为极大值点，极大值为f(X1)；在X2处取得极小值，则X2为极小值点，极小值为f(X2).2.求可导函数f(x)的极值的步骤(1) 求导函数fx);(2) 求方程fx(= 0

7、的根；(3) 检验fx)在方程fx)= 0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数y= f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y= f(x)在这个根处取得极小值，可列表完成.3. :冬f x0) = 0是X0为f(x)的极值点的必要而非充分条 件.例如，f(x) = X3, f (0) = 0,但x= 0不是极值点. 七、函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在a, b上有最值的条件如果在区间a, b上函数y= f(x)的图象是一条连续不断的 曲线，那么它必有最大值和最小值 若有唯一的极值点，则 这个极值点就是最值点 设函数y=f(x)在a,b上连续，在(a,b)内

8、可导，则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且最值在极值点或端点处取得 若函数f(x)在a,b上单调递增，则f(a)为函数的最小值,f(b) 为函数的最大值若函数f(x)在a,b上单调递减，则f(a)为函 数的最大值,f(b)为函数的最小值.求y= f(x)在a, b上的最大(小)值的步骤 求函数y= f(x)在 (a, b)内的极值; 将函数y= f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.用龙极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间 的端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极

9、值.(3) 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究 其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤：第一步：(求导数)求函数f(x)的导数fx);第二步：(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：(求最值)将 f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较, 确定f(x)的最大值与最小值；第五步：(反思)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范.八. 构造辅助函数的四种方法(1) 移项法 证明不等式f(x)g(x)(或f

10、(x)0(或 f(x)-g(x) A的不等式，可选x1(或 X2)为主元，构造函数f(x，X2)(或f(xx);(4)放缩法:若所构造函数最值不易求解，则可将所证明不等 式进行放缩，再重新构造函数.九、导数的综合应用题型一：利用导数研究与不等式有关的综合问题(一)对于含有参数的恒成立问题或存在性问题常用的处理方法有分类讨论或参数分离，并借助于函数图象来解决问题。常有以下几种考虑途径：(1) 已知不等式f(x,入) 0(入为实参数)对任意的x D恒成 立，求参数入的取值范围利用导数解决此类问题可以运 用分离参数法，转化为最值问题；(2) 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，

11、直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如：要使不等式f (x) 0恒成立，可求得f (x)的最小值ha，令ha0即可求出a的范围.(3) 如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a0, A0或a0, AA 恒成立，则 f(X)minA ；2. x D,均有 f(x) A 恒成立，则f(x)maxg(x)恒成立，则 F(x)= f(x)- g(x) 0, /. F(x)min 04. x D,均有 f(x) g(x)恒成立，则 F(x)= f(x)- g(x) 0, /. F(x)max A 成立，则 f(x) max A ；2. 2. X0 D使得 f(X0) A 成立

12、，则 f(x) min g(X0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x),. F(x)max 04. X0 D使得 f(x0) g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x),. F(x) ming(X2)成立，则 f(x) max g(x) min6. X1 D, X2 E均使得 f(X1) g(X2)成立，贝V f(x) min g(x2)f(x)在a,b上的最小值 g(x) 在c,d上的最大值.(2) X1 a,b,x2 Gd,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值 g(x)在c,d上的最小值.(3) x1 a,b,x2 c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的

13、最小值 g(x)在c,d上的最小值.(4) X1 a,b,x2 Gd,f(x1)g(X2)f(x)在a,b上的最大值 g(x) 在c,d上的最大值.(5) X1 a,b,x2 Gd时,f(x1)=g(X2)f(x)在a,b上的值域与g (x)在g d上的值域交集非空.(6) x1 a,b,x2 c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域 g(x)在 c,d上的值域.X1 a,b,x2 Gd,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域 g(x)在 c,d上的值域.(二八证明不等式、比较两函数大小，解不等式问题解题思路：利用题目条件，构造辅助函数，把证明不等式、 比较大小或求解不等

14、式的问题转化为先利用导数研究函 数的单调性问题、最值问题。证明不等式时的一些常见结论(1)lnX X 1(X 0)，等号当且仅当x= 1时取到；exsx+ 1,等号当且仅当x= 0时取到；(3)ln xx0 ；X(4)二 win(+ 1)兎x- 1,等号当且仅当 x= 0时取到. .XI I(7)ln xX 1(X 1)(6)e x 1 X ；12x2(x0)i利用导数证明不等式f(x)g(x)的基本方法iI(1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明！iij f(x)ming(x)max ；!若f(x)与 g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)= f(x) i|g(x),然后

15、根据函数 h(x)的单调性或最值，证明 h(x)0.利用导数比较大小或解不等式构造辅助函数的常用技巧|(1)f(x)g(x) tF(x)= f(x)- g(x)；-IIfxI (2)xf x)+ f(x) Tf(x) (3)xfx( f(x)；|iifxi (4)fx) + f(x) t ef(x)(5)f ；x) f(x) tex ；.(二)利用导数研究函数的零点或方程根的综合问题一-一 策略分析：解决函数的零点或方程的根的问题，在解题过 程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨 论思想的应用。通过导数研究函数的单调性、最大值、最 小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势 规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去 分析问题，