2022届高三数学一轮复习（原卷版）第三节 不等式的性质及一元二次不等式 教案

1、1第三节第三节不等式的性质及一元二次不等式不等式的性质及一元二次不等式核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向1.与命题的真假判断相结合，考查不等式的性质，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养与命题的真假判断相结合，考查不等式的性质，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养2结合二次函数的图象结合二次函数的图象，考查一元二次不等式的解法考查一元二次不等式的解法，凸显直观想象凸显直观想象、数学运算的核心素数学运算的核心素养养3结合结合“三个二次三个二次”间的关系，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养间的关系，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养4与实际问题相结合与实际问题相结合，考查应用

2、不等式性质考查应用不等式性质、一元二次不等式解决问题的能力一元二次不等式解决问题的能力，凸显数学凸显数学建模的核心素养建模的核心素养理清主干知识理清主干知识1两个实数比较大小的依据两个实数比较大小的依据(1)abab0；(2)abab0；(3)ababbba；aa可逆可逆传递性传递性ab，bcac；ab，bcabacbc可逆可逆可乘性可乘性ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd同向同向同向同正同向同正可乘性可乘性ab0，cd0acbd同向，同向，同正同正可乘方性可乘方性ab0，nn n*anbn同正同正可开方性可开方性ab0，nn n，n2nanb同正同正3.三个三个“二次二次”间

3、的关系间的关系判别式判别式b24ac000)的图象的图象2一元二次方程一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的根有两相异实根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集的解集x|xx2或或 xx1x|xb2arax2bxc0)的解集的解集x|x1xx2 澄清盲点误点澄清盲点误点一、关键点练明一、关键点练明1(不等式的判断不等式的判断)若若 ab1ab.1a1bc|a|b|da2b2解析：解析：选选 a取取 a2，b1，则，则1ab1a不成立不成立2(实数大小比较实数大小比较)设设 a(x3)2，b(x2)(x4)，则，则 a 与与 b 的大小关系为的大小关系为()aabbabcabda0，所以

4、，所以 ab.故选故选 b.3(解一元二次不等式解一元二次不等式)函数函数 f(x)log2(x23x4)的定义域为的定义域为_解析：解析：由由x23x40 得得 x23x40，解得，解得4x0r r，则实数，则实数 a 的取值范围是的取值范围是_解析：解析：由题意知不等式由题意知不等式 x2ax10 恒成立，恒成立，故故a240，解得解得2a2.答案：答案：(2,2)5(不等式性质不等式性质)若若 13，42，则，则|的取值范围是的取值范围是_解析：解析：42，0|4，4|0.3|3.答案：答案：(3,3)二、易错点练清二、易错点练清31(乘法运算忽视符号乘法运算忽视符号)已知实数已知实数

5、a(3,1)，b18，14 ，则，则ab的取值范围是的取值范围是()a(12,8)b(24,8)c(24,4)d(12,4)解析：解析：选选 b当当3a0 时，时，ab(24,0；当；当 0a1 时，时，ab(0,8)综上可知综上可知ab(24,8)2(没有等价变形没有等价变形)不等式不等式 x(x5)3(x5)的解集为的解集为_解析：解析：原不等式等价于原不等式等价于(x5)(x3)0，解得，解得5x3，故不等式的解集为，故不等式的解集为(5,3)答案：答案：(5,3)3(忽视二次项的符号忽视二次项的符号)不等式不等式(x2)(32x)0 的解集为的解集为_解析：解析：由由(x2)(32x)

6、0 得得(x2)(2x3)0，解得，解得32x2，故不等式的解集为，故不等式的解集为32，2.答案：答案：32，24(忽视对含参二次项系数的讨论忽视对含参二次项系数的讨论)若不等式若不等式 mx22mx40.当当 m2 时，不等式为时，不等式为 40，该不等式，该不等式恒成立；当恒成立；当 m2 时，必须满足时，必须满足2m0， 42m 244 2m 0，解得解得2mabacbccbadacb(2)若若1a1b0，给出下列不等式：，给出下列不等式：1ab0；a1ab1b；ln a2ln b2.其中其中正确的不等式是正确的不等式是()abcd解析解析(1)cb44aa2(a2)20，cb.又又

7、bc64a3a2，2b22a2，ba21，4baa2a1a122340，ba，cba.(2)因为因为1a1b0，故可取，故可取 a1，b2.显然显然|a|b1210，所以，所以错误错误综上所述，可排除综上所述，可排除 a、b、d.答案答案(1)a(2)c方法技巧方法技巧1比较两个数比较两个数(式式)大小的大小的 2 种方法种方法2谨记谨记 2 个注意点个注意点(1)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法殊值验证的方法(2)在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子

8、中的等号不能同时取到，会导在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大致范围扩大针对训练针对训练1(多选多选)已知实数已知实数 a，b，c 满足满足 cba 且且 acacbc(ba)0cac(ac)0dcb2ab2解析：解析：选选 abc因为因为 cba 且且 ac0，所以，所以 c0，所以所以 abac，故，故 a 一定成立；一定成立；又又 ba0，故，故 b 一定成立；一定成立；又又 ac0，ac0，所以，所以 ac(ac)0，故，故 c 一定成立；一定成立；当当 b0 时，时，cb2ab2，当，当 b0 时，有时，有 cb20，b0，且，且 a

9、b1，则，则()aa2b212b2ab12clog2alog2b2d. a b 2解析：解析：选选 abda2b2(ab)2212，a 正确；易知正确；易知 0a1,0b1，1ab2112，b 正确；正确；5对于选项对于选项 c，令，令 a14，b34，则，则 log214log2342log2340 的解集是的解集是()ax|1x3 或或 x1cx|3x1 或或 x3解析解析原不等式变形为原不等式变形为 x22x30，即即(x3)(x1)0，解得，解得1xa2.解解12x2axa2，12x2axa20，即，即(4xa)(3xa)0.令令(4xa)(3xa)0，解得，解得 x1a4，x2a3.

10、当当 a0 时，时，a4a3，解集为，解集为x|xa3；当当 a0 时，时，x20，解集为，解集为x|xr r 且且 x0；当当 aa3，解集为，解集为x|xa4 .综上所述：当综上所述：当 a0 时，不等式的解集为时，不等式的解集为x|xa3；当当 a0 时，不等式的解集为时，不等式的解集为x|xr r 且且 x0；当当 a0 时，不等式的解集为时，不等式的解集为x|xa4 .方法技巧方法技巧解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于，小于 0，还是大于，还是大于 0，然后将不等

11、式转化为一次不，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式与与 0 的关系的关系(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式而确定解集形式针对训练针对训练1(多选多选)下列四个不等式中，解集为下列四个不等式中，解集为 的是的是()6ax2x10b2x23x40cx23x100dx24xa4a 0(a0)解析：解析：选选 bcd对于对于

12、 a，x2x10，对应的函数，对应的函数 yx2x1 开口向下，显然解集开口向下，显然解集不为不为 ；对于对于 b，2x23x40，对应的函数开口向上，对应的函数开口向上，9320，其解集为，其解集为 ；对于对于 c，x23x100，对应的函数开口向上，对应的函数开口向上，9400，其解集为，其解集为 ；对于对于 d，x24xa4a 0(a0)，对应的函数开口向下，对应的函数开口向下，164a4a 164 2a4a0，其解集为，其解集为 .故选故选 b、c、d.2已知实数已知实数 a 满足不等式满足不等式3a0 的解集的解集解：解：方程方程(xa)(x1)0 的两根为的两根为1，a.当当 a1

13、，即，即3a1 时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|x1；当当 a1 时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|xr r 且且 x1；当当 a1，即，即1a3 时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|xa综上所述，当综上所述，当3a1 时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|x1；当当 a1 时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|xr r 且且 x1；当当1a3 时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为x|xa考点三考点三一元二次不等式的综合应用一元二次不等式的综合应用考法考法(一一)“三个二次三个二次”之间的关系及应用之间的关系及应用例例 1若不等式若不等式 ax2b

14、xc0 的解集为的解集为x|1x2ax 的解集为的解集为()ax|2x1bx|x1cx|0 x3dx|x3解析解析由题意由题意 a(x21)b(x1)c2ax，整理得整理得 ax2(b2a)x(acb)0，又不等式又不等式 ax2bxc0 的解集为的解集为x|1x2，则则 a0，且，且1,2 分别为方程分别为方程 ax2bxc0 的两根，的两根，由根与系数的关系得由根与系数的关系得712ba， 1 2ca，即即ba1，ca2.将将两边同除以两边同除以 a 得得 x2ba2x1caba 0，将将代入代入得得 x23x0，解得，解得 0 x0(或或 ax2bxc0)解集的端点，也是函数解集的端点，

15、也是函数 yax2bxc 的图象与的图象与 x 轴交点的横坐标轴交点的横坐标考法考法(二二)一元二次不等式的恒一元二次不等式的恒(能能)成立问题成立问题题点题点 1一元二次不等式在实数集一元二次不等式在实数集 r 上的恒成立问题上的恒成立问题例例 2若不等式若不等式 2kx2kx380 对一切实数对一切实数 x 都成立，则都成立，则 k 的取值范围为的取值范围为_解析解析当当 k0 时，显然成立；时，显然成立；当当 k0 时 ， 即 一 元 二 次 不 等 式时 ， 即 一 元 二 次 不 等 式 2kx2 kx 380 对 一 切 实 数对 一 切 实 数 x 都 成 立 ， 则都 成 立

16、， 则k0，k242k38 0，解得解得3k0.综上，满足不等式综上，满足不等式 2kx2kx380a0，0，0ax2bxc0a0，0ax2bxc0a0，0题点题点 2 2一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题例例 3设函数设函数 f(x)mx2mx1(m0)，若对于，若对于 x1,3，f(x)m5 恒成立，则恒成立，则 m 的的取值范围是取值范围是_8解析解析f(x)m5 即即 mx2mxm60，故故 mx12234m60 时，时，g(x)在在1,3上是增函数，上是增函数，所以所以 g(x)maxg(3)7m60.所以所以 m67，则，则 0m67.当当

17、 m0 时，时，g(x)在在1,3上是减函数，上是减函数，所以所以 g(x)maxg(1)m60.所以所以 m6，所以，所以 m0，且且 m(x2x1)60，所以，所以 m6x2x1.因为函数因为函数 y6x2x16x12234在在1,3上的最小值为上的最小值为67，所以只需，所以只需 m0 在集合在集合 a 中恒成立，即集合中恒成立，即集合 a 是不等式是不等式 f(x)0 的解集的子集，可以先求解集的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值再由子集的含义求解参数的值(或范围或范围)(2)转化为函数值域问题转化为函数值域问题，即即：已知函数已知函数 f(x)的值域为的值域为m，n

18、，则则 f(x)a 恒成立恒成立f(x)mina，即即 ma；f(x)a 恒成立恒成立f(x)maxa，即，即 na.题点题点 3 3不等式能成立或有解问题不等式能成立或有解问题例例 4设设 ar r，若关于，若关于 x 的不等式的不等式 x2ax10 在区间在区间1,2上有解，则上有解，则()aa2ba29ca52da52解析解析关于关于 x 的不等式的不等式 x2ax10 在区间在区间1,2上有解上有解，ax1x在在 x1,2上有解上有解ax1xmax，x1,2，函数函数 yx1x在在1,2上单调递增，上单调递增，f(x)max52，a52.答案答案d方法技巧方法技巧解决不等式能成立问题的

19、策略一般也是转化为函数最值，即：解决不等式能成立问题的策略一般也是转化为函数最值，即：af(x)能成立能成立af(x)min；af(x)能成立能成立af(x)max.针对训练针对训练1已知关于已知关于 x 的不等式的不等式 x2(k1)xk10 对任意实数对任意实数 x 都成立都成立，则实数则实数 k 的取值范围的取值范围是是()a(，31，)b(，13，)c1,3d3,1解析解析：选选 d关于关于 x 的不等式的不等式 x2(k1)xk10 对任意实数对任意实数 x 都成立都成立，则则(k1)24(k1)0，解得，解得3k1，故选，故选 d.2(2021山东泰安一中月考山东泰安一中月考)设设

20、 m 为实数为实数，若函数若函数 f(x)x2mx2 在区间在区间(，2)上是减上是减函数，对任意的函数，对任意的 x1，x21，m21，总有，总有|f(x1)f(x2)|4，则，则 m 的取值范围为的取值范围为()a4,6b(4,6)c(4,6d4,6)解析：解析：选选 a函数函数 f(x)x2mx2 的对称轴为的对称轴为 xm2，由其在区间，由其在区间(，2)上是减函数，上是减函数，可得可得m22，m4.m21，m21且且m21m2m21，当当 x1，x21，m21时，时，f(x)maxf(1)3m，f(x)minfm2 m242.由由x1，x21，m21，总有，总有|f(x1)f(x2)

21、|4，10|f x1 f x2 |max4，f(x)maxf(x)min4，(3m)m2424，即即 m24m120，解得，解得2m6.综上，综上，4m6，故选，故选 a.一、创新思维角度一、创新思维角度融会贯通学妙法融会贯通学妙法转化与化归思想在不等式中的应用转化与化归思想在不等式中的应用典例典例(1)已知已知 0 x2 时时，不等式不等式1tx22x1 恒成立恒成立，则则 t 的取值范围是的取值范围是_(2)设设 f(x)2x2bxc， 已知不等式已知不等式 f(x)0 的解集是的解集是(1,5)， 若对任意若对任意 x1,3， 不等式不等式 f(x)2t 有解，则实数有解，则实数 t 的

22、取值范围是的取值范围是_(3)已知函数已知函数 f(x)x2axb(a，br r)的值域为的值域为0，)，若关于若关于 x 的不等式的不等式 f(x)c 的解集的解集为为(m，m6)，则实数，则实数 c 的值为的值为_解析解析(1)当当 x0 时，时，101，不等式恒成立，不等式恒成立当当 0 x2 时，时，1tx22x1 可化为可化为2x1x2t2x1x2.因为因为 y2x1x21x121 在在(0,2上的最大值为上的最大值为 1，所以，所以 t1；因为因为 y2x1x21x121 在在(0,2上的最小值为上的最小值为54，所以，所以 t54.综上，综上，t 的取值范围是的取值范围是1，54

23、 .(2)2x2bxc0 的解集是的解集是(1,5)，1 和和 5 是是 2x2bxc0 的两个根的两个根，由根与系数的关系可知由根与系数的关系可知b26，c25，b12，c10.f(x)2x212x10.不等式不等式 f(x)2t 在在1,3上有解上有解，等价于等价于 2x212x8t 在在1,3上有解上有解， 只需只需 t(2x212x8)min即可即可设设 g(x)2x212x8，x1,3，g(x)在在1,3上单调递减上单调递减g(x)ming(3)10，t10.(3)由题意知由题意知 f(x)x2axbxa22ba24.11因为因为 f(x)的值域为的值域为0，)，所以，所以 ba24

24、0，即，即 ba24.所以所以 f(x)xa22.又又 f(x)c，所以，所以xa22c，即即a2 cxb2；2a2b1； ab a b，能够使以上三个不等式同时，能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是成立的一个条件是_(答案不唯一，写出一个即可答案不唯一，写出一个即可)解析：解析：使三个不等式同时成立的一个条件是使三个不等式同时成立的一个条件是 ab0.当当 ab0 时，时，显然成立；对于显然成立；对于，( ab)2( a b)22 ab2b2 b( a b)0，故，故( ab)2( a b)2.即即 ab ab，所以，所以成立成立答案：答案：ab0(答案不唯一答案不唯一)12课时跟踪检测

25、课时跟踪检测一、基础练一、基础练练手感熟练度练手感熟练度1(2021大连模拟大连模拟)已知已知 ar r，pa24a5，q(a2)2，则，则 p 与与 q 的大小关系为的大小关系为()apqbpqcpq解析：解析：选选 d因为因为 pqa24a5(a2)210，所以，所以 pq，故选，故选 d.2若若11，则下列各式中恒成立的是，则下列各式中恒成立的是()a20b21c10d11解析：解析：选选 a11，11，11，0，20 的解集是的解集是()a.32，1b(，1)32，c.1，32d.，32 (1，)解析：解析：选选 b2x2x30 可化为可化为(x1)(2x3)0，解得解得 x32或或

26、x0 的解集是的解集是(，1)32，.故选故选 b.4若实数若实数 m，n 满足满足 mn0，则，则()a1m mnc.12m12ndm2 21)5若若xr,r,2x2mx30 恒成立，则实数恒成立，则实数 m 的取值范围为的取值范围为_解析：解析：由题意可知由题意可知m2240，解得，解得2 6m2 6.答案：答案：2 6，2 6二、综合练二、综合练练思维敏锐度练思维敏锐度1(多选多选)设设 a，b 为非零实数，且为非零实数，且 aabba2b2c.1ab21a2bda3b3解析：解析：选选 cd对于对于 a，当，当 a2，b3 时，时，ab，但但 2223，故，故 a 中不等式不一定成立；

27、中不等式不一定成立；13对于对于 b，当，当 a2，b1 时，时，a12，故故 b 中不等式不一定成立；中不等式不一定成立；对于对于 c，ab，1ab21a2baba2b20，故故 c 中不等式恒成立；中不等式恒成立；对于对于 d，a3b3(ab)(a2abb2)(ab)a12b234b2，ab，ab0，a31”是是“a21 时，时，a2a3a2(1a)0，所以，所以 a2a3；当；当 a20，所，所以以a1.综上，综上，“a1”是是“a2a3”的充要条件故选的充要条件故选 c.3若关于若关于 x 的不等式的不等式 axb0 的解的解集是集是()a(，1)(3，)b(1,3)c(1,3)d(，

28、1)(3，)解析解析：选选 c关于关于 x 的不等式的不等式 axb0 的解集是的解集是(1，)，即不等式即不等式 axb 的解集是的解集是(1，)，ab0 可化为可化为(x1)(x3)0，解得解得1x3，所求解集是所求解集是(1,3)4设函数设函数 f(x)x1，x0，2，x1，则关于，则关于 x 的不等式的不等式axx11 的解集是的解集是()a.1，1a1b.1，1a1c(，1)(1，)d(，1)1a1，解析解析：选选 d由由axx11 得得axx110，即即 a1 x1x10，(a1)x1(x1)0 且且 x1，解得解得 x0 的解集为的解集为 x|12x0bb0cc0dabc0解析：

29、解析：选选 bcd因为不等式因为不等式 ax2bxc0 的解集为的解集为 x|12x2，故相应的二次函数，故相应的二次函数 yax2bxc 的图象开口向下，所以的图象开口向下，所以 a0，故，故 a 错误；错误；易知易知 2 和和12是关于是关于 x 的方程的方程 ax2bxc0 的两个根，则有的两个根，则有ca212 10，又，又 a0，c0，故，故 b、c 正确；正确；因为因为ca1，所以，所以 ac0，又，又 b0，所以，所以 abc0，故，故 d 正确，故选正确，故选 b、c、d.8在关于在关于 x 的不等式的不等式 x2(a1)xa0 的解集中至多包含的解集中至多包含 2 个整数，则

30、个整数，则 a 的取值范围是的取值范围是()a(3,5)b(2,4)c3,5d2,4解析解析：选选 d关于关于 x 的不等式的不等式 x2(a1)xa0 可化为可化为(x1)(xa)1 时时，不等式的不等式的解集为解集为(1，a)；当当 a1 时时，不等式的解集为不等式的解集为(a,1)要使得解集中至多包含要使得解集中至多包含 2 个整数个整数，则则 a4且且 a2.又当又当 a1 时时，不等式的解集为不等式的解集为 ，符合题意符合题意所以所以 a 的取值范围是的取值范围是2,4，故故选选15d.9若若 0a0 的解集是的解集是_解析：解析：原不等式等价于原不等式等价于(xa)x1a 0，由由 0a1，得，得 a1a，ax1a.答案：答案： x|ax0 在区间在区间1,5上有解，则上有解，则 a 的取值范围是的取值范围是_解析解析： 令令 f(x)x2ax2.f(0)2， 于是不等式在区间于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是上有解的充要条件是 f(5)0，解得解得 a235，故，故 a 的取值范围为的取值范围为235，.答案答案：235，13已知函数已知函数 f(x)x2ax，x0，bx23x，x0为奇函数，则不等式为奇函数，则不等式 f(x)4 的解集为的解集为_解析：解析：