有关矩形折叠的数学题目

1、如如图，已知正方形纸片图，已知正方形纸片ABCD，M、N分分别是别是AD、BC的中点，把的中点，把BC向上翻折，使向上翻折，使点点C恰好落在恰好落在MN上的上的P点处，点处，BQ为折为折痕，痕， 求求 ？有关矩形折叠的数学问题有关矩形折叠的数学问题有关矩形折叠的数学问题矩形性质独特,折叠起来形特各异, 会产生丰富多彩的几何问题,而这些问题形式新颖、结构独特，往往融入了丰富的数学知识和思想，因此，越来越受到各省中考命题者的青睐。纵观历年中考中所出现的有关“矩形的折叠问题”，主要涉及以下几类情况：一、折叠后求角度一、折叠后求角度 例例1.（甘肃省白银市）如图，把（甘肃省白银市）如图，把矩形矩形AB

2、CD沿沿EF对折后使两部分重合，对折后使两部分重合，若若1=50,则则AEF=( ) (A)1100 (B) 1150 (C) 1200 (D) 1300根据矩形的性质根据矩形的性质ADBC,有AEF=EFD.再由折叠的特征可知再由折叠的特征可知:BFE=EFG=1/2(1800-1)=650,所以所以EFC=EFG+1=650+500=1150由此得由此得AEF=1150 故选（故选（B） 在矩形折叠问题中，往往在矩形折叠问题中，往往利用利用轴对称图形的对称性和平轴对称图形的对称性和平行线的性质行线的性质作联系找等角来计作联系找等角来计算相关的度数。算相关的度数。二、折叠后求长度二、折叠后求

3、长度 例例2.将矩形纸片将矩形纸片ABCD按如图按如图1所示的方式折所示的方式折叠，得到图叠，得到图2所示的菱形所示的菱形AECF.若若AB=3,则则BC的长为的长为( ) (A)1 (B) 2 (C) (D) 2解析解析:根据折叠的特征可知根据折叠的特征可知:AC=2BC,设设BC=X,则则AC=2X.在在RtABC中由勾股定理中由勾股定理得：得：X2+32=(2x)2解得BC的长为故选（故选（D） 点评：在矩形折叠中，求折线等点评：在矩形折叠中，求折线等长度时，往往利用长度时，往往利用轴对称转化为相轴对称转化为相等的线段等的线段，再借助，再借助勾股定理勾股定理构造方构造方程来求解。程来求解

4、。3cm)13210(cm)1310(三、折叠后求周长三、折叠后求周长例例3如图如图1-4，把长为，把长为8cm的矩形按虚线剪出一个的矩形按虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形。剪掉部分的面直角梯形，打开得到一个等腰梯形。剪掉部分的面积为积为6cm2，则打开后梯形的周长是（，则打开后梯形的周长是（ ）（A） （B） （C）22cm （D）18cm解析：从显示的图形中我们不难看出，所剪掉的三解析：从显示的图形中我们不难看出，所剪掉的三角形的一条直角边长为角形的一条直角边长为3cm，由题意可知道所剪，由题意可知道所剪掉的每个三角形的面积为掉的每个三角形的面积为3cm2，则它的另一直，则它的另

5、一直角边为角边为2cm，因此得到的等腰梯形其上底，因此得到的等腰梯形其上底AB=8cm。腰腰故该等腰三角形的周长为故该等腰三角形的周长为本题选择本题选择（A）cmAC132322cm)13210(81322 点评：本例题通过剪折纸片作计算，检验学点评：本例题通过剪折纸片作计算，检验学生对有关数学技能的理解和掌握程度，使考生的生对有关数学技能的理解和掌握程度，使考生的自主性得以充分发挥。自主性得以充分发挥。四、折叠后求面积四、折叠后求面积例4如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点，折痕的一端G点在边BC上，BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时，试求EFG的

6、面积。 点评点评:在矩形的折叠中在矩形的折叠中,由边之间的关系利用由边之间的关系利用勾股勾股定理定理来建立方程来建立方程,从而通过解方程求线段的长度从而通过解方程求线段的长度,也也是在矩形折叠问题中常见的类型之一是在矩形折叠问题中常见的类型之一.拓展：拓展：如图，四边形如图，四边形ABCD是边长为是边长为9的正方形纸片，的正方形纸片， B为为CD边上的点，边上的点， .将纸片沿某直线折叠，使点将纸片沿某直线折叠，使点B落落在点在点B 处，点处，点A的对应点为的对应点为A ，折痕分别与，折痕分别与AD，BC边交于点边交于点M，N。求四边形求四边形ABNM的面积的面积 3CB 五、折叠后求直线解析

7、式五、折叠后求直线解析式 例5、如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO，将纸片折后，点B恰好落在x轴上，记为B/，折痕为CE，已知OC:OB=3/4.(1)求点B的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式。），的坐标为（），点，的坐标为（所以点解得由勾股定理，得则设由勾股定理，得：，故为折痕，所以处，点轴上的恰好落在点将纸片翻折后90C415E4,aa)-(93a312-15BO-AOBAa,-9EBBEa,AE15OCBOBCOACBBCEBBEEBCCBECEBxB,)2(22222根据题意，得的解析式为设直线b,kxyCE9=b,4=15k+bb=9,K=-1/3. 9

8、31CExy所在直线的解析式为所以点评：本题设计精致，追求创新意，点评：本题设计精致，追求创新意，将几何与函数在矩形的折叠中完美将几何与函数在矩形的折叠中完美结合，最大特色是知识入口较宽，结合，最大特色是知识入口较宽，涉及折叠的对称性、勾股定理及一涉及折叠的对称性、勾股定理及一次函数解析式的确定等，这样的命次函数解析式的确定等，这样的命题，切认识水平，体现知识体系的题，切认识水平，体现知识体系的整体性。整体性。 六、折叠后判断图形形状六、折叠后判断图形形状 例例6、如图，把一张矩形的纸片、如图，把一张矩形的纸片ABCD沿对沿对角线角线BD折叠，使点折叠，使点C落在店落在店E处，处，BE与与AD

9、的交的交于点于点F。若将折叠的图形恢复原状，点。若将折叠的图形恢复原状，点F与边与边BC边上的点边上的点M正好重合，连接正好重合，连接DM，试判断四边形，试判断四边形BMDF的形状，并说明理由。的形状，并说明理由。.BMDFDMDFFBBMDF,BEEDFABF,(1)DMDFBM,BF,:, BMDF(2)EDFABF EFD,AFBEAED,AB,ABCDCEED,CD:(1):是菱形即四边形所以所以知由由由折叠可知说理如下是菱形四边形所以又因为中在矩形由折叠可知解析 点评：本题以矩形的折叠为背景，让同学点评：本题以矩形的折叠为背景，让同学们在操作和实践中观察、探究并解决问题们在操作和实践

10、中观察、探究并解决问题.有利有利于激发同学们潜在的智慧于激发同学们潜在的智慧,让同学们体验创新的让同学们体验创新的快乐快乐,并获得学习的成功感并获得学习的成功感.七、折叠后探究其数量关系七、折叠后探究其数量关系例例7、如、如图，把矩形纸片图，把矩形纸片ABCD沿沿EF折叠，使点折叠，使点B落在落在边边AD上的上的B/处，点处，点A落在落在A/处。设处。设AE=a,AB=b,BF=c,试试猜想猜想a、b、c之间的一种关系，之间的一种关系，并给予证明。并给予证明。c.baBEABAEABEcBEc,BFFB1c.bacb(ii)acbaBEABAEABEcBEc,BFEB1EBBEBE.cbacb

11、(i)a;)2(222222222所以中，在）知，有（说理如下：三者存在的关系是、所以中，在所以）知，有（，则连接说理如下：三者存在关系是、种情况三者关系不唯一，有两、cba点评：矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造的点评：矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造的图形的轴对称性质来解决问题。由于折叠前后折图形的轴对称性质来解决问题。由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此，利用轴对叠部分图形的形状、大小不变，因此，利用轴对称性，可以转化相等的线段、相等的角。称性，可以转化相等的线段、相等的角。拓展训练：在拓展训练：在ABC中，中，BAC=45，ADBC于于D， 若若BD=1，CD=2，试求，试

12、求AD的长的长?A?B?C?D 有关折叠的中考题选有关折叠的中考题选1（北京市）正方形纸片（北京市）正方形纸片ABCD的边长为的边长为1，M、N分别是分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过边上的点，将纸片的一角沿过点点B的直线折叠，使点的直线折叠，使点A落在落在MN上，落点记为上，落点记为A/，折痕交，折痕交AD于点于点E。若。若M、N分别是分别是AD、BC 中点，则中点，则A/N=_;若若M、N分别是分别是AD、BC边边 上距上距DC最近的最近的n（n2,且且n为整数为整数)等分点，则等分点，则 A/N=_.(用含用含n的式子表示）的式子表示）23nn 12 2（吉林省）将一张矩形纸片折

13、叠成如图所示（吉林省）将一张矩形纸片折叠成如图所示三形状，则三形状，则ABC=_度度733（吉林省）将宽为（吉林省）将宽为2cm长方形纸条折叠成如长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕图所示的形状，那么折痕PQ的长是的长是 （ ）cmDcmCcmBcmA2 .5.334.332.B 4（河北省）如图，等边三角形ABC的边长为1cm,D、F分别是AB、AC上的点，将ADE沿直线DE折叠，点A落在A/处，且点A/在ABC外部，则阴影部分图形的周长为_cm.35(河南省）动手操作：在矩形纸片河南省）动手操作：在矩形纸片ABCD中，中，AB=3，AD=5。如图所示，折叠纸片，使点。如图所示，折叠纸片

14、，使点A落在落在BC边上的边上的A处，折痕为处，折痕为PQ。当点。当点A在在BC上移动时，折痕的端上移动时，折痕的端点点P、Q也随之移动。若限定点也随之移动。若限定点P、Q分别在分别在AB、AD边上移动，则点边上移动，则点A在在BC边上刻移动的最大距离为边上刻移动的最大距离为_.26（山东省）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在 D、C的位置.若EFB=65,则AED=_ (A) 70(B) 65(C) 50(D) 25(C)7(山东省）将三角形纸片（山东省）将三角形纸片（ABC）按如图所）按如图所示的方式折叠，使点示的方式折叠，使点B落在边落在边AC上，记为点上，记为点B

15、。折痕为折痕为EF。已知。已知AB=AC=3，BC=4，若以点，若以点B、F、C为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相相似，那么似，那么BF的长度是的长度是_2 712或8（江苏省）（江苏省）（1）观察与发现：小明将三角形纸片）观察与发现：小明将三角形纸片ABCD（ABAC）沿过点）沿过点A的直线折叠，使得的直线折叠，使得AC落落在在AB边上，折痕为边上，折痕为AD，展平纸片（如图，展平纸片（如图1）；再次折）；再次折叠该三角形纸片，使点叠该三角形纸片，使点A和点和点D重合，折痕为重合，折痕为EF，展，展平纸片得到平纸片得到AEF(如图如图2),小明认为小明认为AEF是等腰三是等腰三角形角形

16、,你同意吗你同意吗?请说明理由请说明理由.(2)实践与运用实践与运用:将矩形纸片将矩形纸片ABCD沿过点沿过点B的直线折叠的直线折叠,使点使点A落在落在BC边上的点边上的点F处处,折痕为折痕为EF(如图如图3);再沿着过点再沿着过点E的的直线折叠直线折叠,使点使点D落在落在BE上的点上的点D处处,折痕为折痕为EG(如图如图4);再再展平纸片展平纸片(如图如图5),求图求图5中中的大小。的大小。 解析：解析：（1）同一。如图，设）同一。如图，设AD与与EF交于点交于点G。由折。由折叠知，叠知，AD平分平分BAC，所以所以BAD=CAD。又由折叠知，又由折叠知，AGE=AGF=90 ， 所以所以A

17、EF=AFE， 所以所以AE=AF， 即即AEF为等腰三角形。为等腰三角形。（2）由折叠知，四边形）由折叠知，四边形ABFE是正方形，是正方形，AEB=45， 所以，所以，BED=135, 又由折叠知又由折叠知, BEG=DEG, 所以所以DEG=67.5. 从而有从而有=9067.5=22.5.9（海南省）如图，将矩形（海南省）如图，将矩形ABCD沿沿EF折叠后，点折叠后，点C、D分别落在分别落在C/、D/处，若处，若AFE=45，则，则C/EF=_度度.6510（海南省）如图（海南省）如图1（上右图），在（上右图），在ABC中，中，ABC=90， CAB=30， ABD是等边三角是等边三角

18、形，形，E是是AB的中点，连接的中点，连接CE并延长交并延长交AD于于F。（1）求证：）求证： AEF BEC ；四边形；四边形BCFD是平是平行四边形；行四边形；（2）如图）如图2，将四边形，将四边形ACBD折叠，使折叠，使D与与C重合，重合，HK为折痕，求为折痕，求sinACH的值。的值。解析（1）略。.714741sin47412241AHa,41x,x)-(2a3axHCACAHACRt3aa-2a)AC ABCRtx,-2AHDHCx,AH2a.ABAD2a,2BCABa,BC30CABABCRt9030,60)2(22222222220000aaACAHACHaaaxaHCaCAHCABBAD即解得即中，在（中，在则设，设中，在11（哈尔滨市）如图，梯形ABCD中，AD/BC，DCBC，将梯形沿对角线BD折叠，点A恰好落在DC边上的点A/处，若A/ BC=200，则A/ BC的度数为 （ ） A.150 B.200 C.250 D.300C的式子表示）用含等于为整数），则若则，若则若中在图类比归纳n_( BNAM(1_;BNAM41CDCE_;BNAM,3