函数极限和连续

1、第一章函数、极限和连续1.1 函数一、主要内容 函数的概念 1. 函数的定义 : y=f(x), xD 定义域 : D(f), 值域 : Z(f). 2. 分段函数 : 21)()(DxxgDxxfy3. 隐函数 : F(x,y)= 0 4. 反函数 : y=f(x) x= (y)=f-1(y) y=f-1 (x)定理 : 如果函数 : y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加( 或减少 )的；则它必定存在反函数：y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加( 或减少 ) 的。 函数的几何特性1. 函数的单调性: y=f(x),xD,x1、x

2、2D 当 x1x2时, 若 f(x1) f(x2), 则称 f(x) 在 D内单调增加 ( )；若 f(x1) f(x2), 则称 f(x)在 D内单调减少 ( )；若 f(x1) f(x2), 则称 f(x)在 D内严格单调增加( )；若 f(x1) f(x2), 则称 f(x)在 D内严格单调减少( )。 2. 函数的奇偶性：D(f) 关于原点对称偶函数： f(-x)=f(x) 奇函数： f(-x)=-f(x) 3. 函数的周期性：周期函数： f(x+T)=f(x), x(- ， +) 周期： T最小的正数 4. 函数的有界性： |f(x)|M , x (a,b) 基本初等函数1. 常数函

3、数： y=c ， (c为常数 ) 2. 幂函数： y=xn , (n为实数 ) 3. 指数函数： y= ax , (a0、 a1) 4. 对数函数： y=loga x ,(a0、a1) 5. 三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6. 反三角函数： y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1. 复合函数： y=f(u) , u=(x) y=f (x) , xX 2. 初等函数 : 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成

4、的，并且能用一个数学式子表示的函数1.2 极 限一、主要内容极限的概念1.数列的极限 : Aynnlim称数列ny以常数 A 为极限 ; 或称数列ny收敛于 A. 定理 : 若ny的极限存在ny必定有界 . 2. 函数的极限：当x时，)(xf的极限：AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim当0 xx时，)(xf的极限：Axfxx)(lim0左极限：Axfxx)(lim0右极限：Axfxx)(lim0函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000无穷大量和无穷小量1无穷大量：)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷大量。X 再某个变

5、化过程是指：,xxx000,xxxxxx2无穷小量：0)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷小量。3无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)( ,)(1lim0)(limxfxfxf4无穷小量的比较：0lim,0lim若0lim,则称 是比 较高阶的无穷小量；若clim（c 为常数），则称 与同阶的无穷小量；若1lim，则称 与是等价的无穷小量，记作： ；若lim,则称 是比 较低阶的无穷小量。定理： 若：；，2211则：2121limlim两面夹定理1数列极限存在的判定准则：设：nnnzxy（n=1、2、3）且：azynnnnlimlim则：axnnlim2函数极限存在的判定准则：设：对

6、于点x0的某个邻域内的一切点（点 x0除外）有：)()()(xhxfxg且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00则：Axfxx)(lim0极限的运算规则若：BxvAxu)(lim,)(lim则：BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(limBAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(limBAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim)0)( l i m xv推论：)()()(lim21xuxuxun)(lim)(lim)(lim21xuxuxun)(lim)(limxucxucnnxuxu)(lim)(lim两个重要极限 1 1sinlim0 xxx或1)()(si

7、nlim0)(xxx 2 exxx)11(limexxx10)1(l i m1.3 连续一、主要内容 函数的连续性1.函数在0 x处连续：)(xf在0 x的邻域内有定义，1o0)()(limlim0000 xfxxfyxx2o)()(lim00 xfxfxx左连续：)()(lim00 xfxfxx右连续：)()(lim00 xfxfxx2.函数在0 x处连续的必要条件：定理：)(xf在0 x处连续)(xf在0 x处极限存在3. 函数在0 x处连续的充要条件：定理：)()(lim)(lim)()(lim00000 xfxfxfxfxfxxxxxx4.函数在ba,上连续：)(xf在ba,上每一点都

8、连续。在端点a和b连续是指：)()(limafxfax左端点右连续；)()(l i mbfxfbx右端点左连续。a+0 b-x 5. 函数的间断点：若)(xf在0 x处不连续，则0 x为)(xf的间断点。间断点有三种情况：1o) (xf在0 x处无定义；2o)(lim0 xfxx不存在；3o) (x f在0 x处有定义，且)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx。两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx都存在。可去间断点 ：)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx，或) (x f在0 x处无定义。2o第

9、二类间断点：特点：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx至少有一个为，或)(lim0 xfxx振荡不存在。无穷间断点 ：)(lim0 xfxx和)(lim0 xfxx至少有一个为函数在0 x处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim00 xfxfxx，)()(lim00 xgxgxx1o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx2o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx3o)()()()(lim000 xgxfxgxfxx0)(lim0 xgxx2.复合函数的连续性：)(),(),(xfyxuufy)()(lim),()(lim0)(000 xfufxxx

10、uxx则：)()(lim)(lim000 xfxfxfxxxx3.反函数的连续性：)(),(),(001xfyxfxxfy)()(l i m)()(l i m011000yfyfxfxfyyxx函数在,ba上连续的性质1.最大值与最小值定理：)(xf在,ba上连续)(xf在,ba上一定存在最大值与最小值。y y +M M f(x) f(x) 0 a b x m -M 0 a b x 2.有界定理：)(xf在,ba上连续)(xf在,ba上一定有界。3.介值定理：)(xf在,ba上连续在),(ba内至少存在一点，使得：cf)(，其中：Mcmy y M f(x) C f(x) 0 a b x m 0

11、 a 12b x 推论：)(xf在,ba上连续，且)(af与)(bf异号在),(ba内至少存在一点，使得：0)(f。4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一元函数微分学 2.1 导数与微分一、主要内容导数的概念1导数：)(xfy在0 x的某个邻域内有定义，xxfxxfxyxx)()(l i ml i m000000)()(lim0 xxxfxfxx00)(0 xxxxdxdyxfy2左导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx右导数：000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx定理：)(xf在0 x的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：)(l

12、im)(00 xfxfxx（或：)(lim)(00 xfxfxx）3.函数可导的必要条件：定理：)(xf在0 x处可导)(xf在0 x处连续4. 函数可导的充要条件：定理：)(00 xfyxx存在)()(00 xfxf，且存在。5.导函数：),(xfy),(bax)(xf在),(ba内处处可导。y )(0 xf)(xf6.导数的几何性质：y)(0 xf是曲线)(xfy上点x00, yxM处切线的斜率。o x0 x 求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1ovuvu)（2ovuvuvu)（3o2vvuvuvu)0(v3.复合函数的导数：)(),(),(xfyxuufydxdududydx

13、dy，或)()()(xxfxf注意)(xf与)(xf的区别：)(xf表示复合函数对自变量x求导；)(xf表示复合函数对中间变量)(x求导。4.高阶导数：)(),(),()3(xfxfxf或)4,3,2(, )()()1()(nxfxfnn函数的 n 阶导数等于其n-1 导数的导数。微分的概念1.微分：)(xf在x的某个邻域内有定义，)()(xoxxAy其中：)(xA与x无关，)( xo是比x较高阶的无穷小量，即：0)(lim0 xxox则称)(xfy在x处可微，记作：xxAdy)(dxxAdy)()0( x2.导数与微分的等价关系：定理：)(xf在x处可微)(xf在x处可导，且：)()(xAx

14、f3.微分形式不变性：duufdy)(不论 u 是自变量，还是中间变量，函数的微分dy都具有相同的形式。2.2 中值定理及导数的应用一、主要内容中值定理1.罗尔定理 : )(xf满足条件 : .0)(,),().()(3;),(2,10.0.0.fbabfafbaba使 得存 在 一 点内 至 少在内 可 导在上 连 续 ；在y )(f)(f)(xf)(xfa o b x a o b x 2.拉格朗日定理：)(xf满足条件 : abafbffbababa)()()(),(),(2,100， 使 得 ：在 一 点内 至 少 存在内 可 导 ；在上 连 续 ，在罗必塔法则： （,00型未定式）定理

15、：)(xf和)(xg满足条件：1o）或）或(0)(lim(0)(limxgxfaxax；2o在点 a 的某个邻域内可导，且0)(xg；3o）（或,)()(lim)(Axgxfax则：）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxfxgxfaxax注意： 1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2o若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是00型或型时，不可求导。3o应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4o若)(xf和)(xg还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：）（或Axgxfxgxfxgxfaxaxax)()(lim)()(lim)()(lim)

16、()()(5o若函数是,0型可采用代数变形，化成00或型；若是00,0,1型可采用对数或指数变形，化成00或型。导数的应用1 切线方程和法线方程：设：),(),(00yxMxfy切线方程：)(000 xxxfyy法线方程：)0)(),()(10000 xfxxxfyy2 曲线的单调性：),(0)(baxxf内单调增加；在),()(baxf),(0)(baxxf内 单 调 减 少在),()(baxf),(0)(baxxf内严格单调增加；在),(ba),(0)(baxxf内 严 格 单 调 减 少在),(ba3.函数的极值：极值的定义：设)(xf在),(ba内有定义，0 x是),(ba内的一点；若

17、对于0 x的某个邻域内的任意点0 xx，都有：)()()()(00 xfxfxfxf或则称)(0 xf是)(xf的一个极大值（或极小值），称0 x为)(xf的极大值点（或极小值点）。极值存在的必要条件：定理：0)()(.2)()(.100000 xfxfxfxf存在。存在极值0 x称为)(xf的驻点极值存在的充分条件：定理一：是极值点。是极值；时变号。过不存在；或处连续；在000000000)()(.3)(0)(.2)(.1xxfxxfxfxfxxf当x渐增通过0 x时，)(xf由（ +）变（ -） ；则)(0 xf为极大值；当x渐增通过0 x时，)(xf由（ -）变（ +） ；则)(0 xf

18、为极小值。定理二：是极值点。是极值；存在。；000000)()(.20)(.1xxfxfxf若0)(0 xf，则)(0 xf为极大值；若0)(0 xf，则)(0 xf为极小值。注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4 曲线的凹向及拐点：若baxxf,0)(； 则)(xf在),(ba内是上凹的 （或凹的），（） ；若baxxf, 0)(；则)(xf在),(ba内是下凹的（或凸的） ， （） ；的拐点。为称时变号。过，)()(,)(.20)(.1000000 xfxfxxxfxf5。曲线的渐近线：水平渐近线：的 水 平 渐 近 线 。是或若)()(l i m)(l i mxfAyAxf

19、Axfxx铅直渐近线：的铅直渐近线。是或若)()(lim)(limxfCxxfxfCxCx第三章一元函数积分学3.1 不定积分一、主要内容重要的概念及性质：1原函数：设：DxxFxf),(),(若：)()(xfxF则称)( xF是)(xf的一个原函数，并称CxF)(是)( xf的所有原函数 , 其中 C 是任意常数。2不定积分：函数)( xf的所有原函数的全体，称为函数)(xf的不定积分；记作：CxFdxxf)()(其中：)(xf称为被积函数；dxxf)(称为被积表达式；x称为积分变量。3. 不定积分的性质：)()(xfdxxf或：dxxfdxxfd)()(Cxfdxxf)()(或：Cxfxd

20、f)()(dxxfxfxfn)()()(21dxxfdxxfdxxfn)()()(21分项积分法dxxfkdxxkf)()(k 为非零常数 ) 4.基本积分公式：换元积分法：第一换元法： （又称“凑微元”法）dxxxf)()()()(xdxf凑 微 元CtFdttfxt)()()(令CxFxt)()(回代常用的凑微元函数有：1o )(1)(1baxdaaxdadx)0,(aba为 常 数 ，2o )()1(11111baxdmadxmdxxmmm为常数）（m3o )(1)(baedaeddxexxx)1, 0(),(ln1aaadadxaxx4o )(ln1xddxx5o)(sincos)(c

21、ossinxdxdxxddx)( co tcsc)( t a ns e c22xdxdxxdxdx6o)(arccos)(arcsin112xdxddxx)o t()( a r ct a n112xa r cdxddxx2.第二换元法：)()()()(tdtfdxxftx令CtFdxtft)()()(CxFxt)(1)(1反 代第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，其作用是将根式有理化。一般有以下几种代换：1o0,tntxn为偶数时(当被积函数中有nx时) 2o20),cos(,sintxaxtax或(当被积函数中有22xa时) 3o)0(,0),cot(,tan22tttaxtax或(当被

22、积函数中有22xa时) 4o)0(,0),csc(,sec22tttaxtax或(当被积函数中有22ax时 ) 分部积分法：1. 分部积分公式：vd xuvudxvuvduvuudv2.分部积分法主要针对的类型：xdxxPxdxxPcos)(,sin)(dxexPx)(xdxxPln)(xdxxPxdxxParccos)(,arcsin)(xdxarcxPxdxxPcot)(,arctan)(bxdxebxdxeaxaxcos,sin其中：nnnaxaxaxP110)(（多项式）3.选 u 规律：在三角函数乘多项式中，令uxP)(，其余记作dv;简称“三多选多” 。在指数函数乘多项式中，令ux

23、P)(，其余记作dv;简称“指多选多” 。在多项式乘对数函数中，令uxln，其余记作dv;简称“多对选对” 。在多项式乘反三角函数中，选反三角函数为 u，其余记作dv;简称“多反选反” 。在指数函数乘三角函数中，可任选一函数为 u，其余记作dv;简称“指三任选” 。简单有理函数积分：1. 有理函数：)()()(xQxPxf其中)()(xQxP和是多项式。2. 简单有理函数：21)()(,1)()(xxPxfxxPxf)()()(bxaxxPxfbaxxPxf2)()()(3.2 定积分f(x) 一主要内容（一） .重要概念与性质1.定积分的定义：O a x1 x2 xi-1 i xi xn-1

24、 b x iiibaniiinxxxxfdxxf,)()(110lim定积分含四步：分割、近似、求和、取极限。定积分的几何意义：是介于x 轴，曲线y=f(x), 直线 x=a,x=b 之间各部分面积的代数和。x 轴上方的面积取正号，y x 轴下方的面积取负号。+ + a 0 - b x 2.定积分存在定理：baxxfy,)(设：若： f(x) 满足下列条件之一: ;,)(.2;,)(.1点上有有限个第一类间断在连续，baxfbaxxf上可积。在则：上单调有界在baxfbaxf,)(;,)(.3若积分存在，则积分值与以下因素无关：上 任 意 选 取 。可 以 在的 选 取 无 关 ， 即与 点可

25、 以 任 意 划 分上 的 划 分 无 关 ， 即与 在即与 积 分 变 量 形 式 无 关 ，iiiibabaxxbabadttfdxxf,13;,2;)()(1有关。与区间积分值仅与被积函数,)(baxf3.牛顿莱布尼兹公式：)()()()(,)()(aFbFxFdxxfbaxfxFbaba则：上的任意一个原函数：在是连续函数若*牛顿莱布尼兹公式是积分学中的核心定理，其作用是将一个求曲边面积值的问题转化为寻找原函数及计算差量的问题。4.原函数存在定理：)()()(,)()(,)()(,)(xfdttfxbaxfxbaxdttfxbaxxfxaxa且 ：上 的 一 个 原 函 数 ，在是则

26、：连 续 ，若5.定积分的性质：上 可 积 ， 则在设,)(),(baxgxfbabadxxfkdxxkf)()(1abbadxxfdxxf)()(20)(4)()()()(3dxxfdxxgdxxfdxxgxfaabababa)()()()(5bcadxxfdxxfxfbccabaabdxba16y y y f(x) g(x) 1 f(x) 0 a c b x 0 a b x 0 a b x dxxgdxxfbxaxgxfbaba)()()(),()(7则上 的 最 小 值 和 最 大 值 。在分 别 为其 中估 值 定 理 ：baxfMmabMdxxfabmba,)(,)()()(8y y

27、 M f(x) f(x) m 0 a b x 0 a b x )()()(,)(9abfdxxfbabaxxfba使则 ： 必 存 在 一 点连 续若积 分 中 值 定 理 ：（二）定积分的计算：1.换元积分)(,)(txbaxxf，连续，设,)(tt 连续，若,)(,)(,)(babatt变到单 调 地 从时，变到从且当dtttfdxxfba)()()(则：2.分部积分bababavd uvuu d v3.广义积分00)()()(dxxfdxxfdxxf4.定积分的导数公式)()(1xfdttfxax（)()()(2)(xxfdttfxxa)()()()()(31122)()(21xxfxx

28、fdttfxxx(三)定积分的应用1.平面图形的面积: )(,0)(1babxaxxfy由与 x 轴所围成的图形的面积y f(x) badxxfs)()(),(),(221gfxgyxfy由dxxgxfsbxaxba)()(,所围成的图形的面积与)(),(),(321yxyx由dyyysdycydc)()(,所围成的图形的面积与：求平面图形面积的步骤.4.求出曲线的交点，画出草图；.确定积分变量，由交点确定积分上下限；.应用公式写出积分式，并进行计算。2.旋转体的体积bxaxxfy,0)(1与曲线及 x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积：dxxfVbax)(20 a b x dycyyx

29、,0)(2与由曲线及 y轴所围成图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积：dyyVdcy)(2第四章多元函数微积分初步 4.1 偏导数与全微分一.主要内容：.多元函数的概念3.二元函数的定义：Dyxyxfz),(),()( fD定义域：4.二元函数的几何意义：二元函数是一个空间曲面。（而一元函数是平面上的曲线）.二元函数的极限和连续：1.极限定义：设z=f(x,y) 满足条件：的某个领域内有定义。在点),(100yx可 除 外 ）（点),(00yxAyxfyyxx),(lim200。极限存在，且等于在则称Ayxyxfz),(),(002.连续定义：设z=f(x,y) 满足条件：的某个领域内有定义。在点

30、),(100yx),(),(lim20000yxfyxfyyxx处连续。在则称),(),(00yxyxfz.偏导数：点在定义),(),(:00yxyxfxyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000的偏导数。处对在分别为函数yxyxyxfyxfyxfyx,),(),(),(),(000000处的偏导数记为：内任意点在),(),(yxDyxfzxxzxzxyxfyxf),(),(yyzyzyyxfyxf),(),(.全微分：1.定义： z=f(x,y) ),(),(yxfyyxxfz若)(oyBxA）是比（无关，、与、其中，oyxBA较 高 阶 的 无 穷 小 量 。22yxyBxAyxdfdz),(:则),(yxfz是在点 (x,y) 处的全微分。3.全微分与偏导数的关系.),(),(),(Dyxyxfyxfyx连续，定理：若处可微且在点则：),(),(yxyxfzdyyxfdxyxfdzyx),(),(.复全函数的偏导数：1.),(),(),(yxvvyxuuvufz设：),(),(yxvyxufzxvvzxuuz