学案3空间图形基本关系与公理ppt课件

1、1.空间图形的根本关系空间图形的根本关系1点与直线的位置关系有点与直线的位置关系有 两种；两种；2点与平面的位置关系有个点与平面的位置关系有个 两种两种.3空间两条直线的位置关系：空间两条直线的位置关系：点在直线上和点在直线外点在直线上和点在直线外点在平面内和点在平面外点在平面内和点在平面外直线直线a和直线和直线b在同一个平面内，而且没有公共点，在同一个平面内，而且没有公共点， 这样的两条直线叫作这样的两条直线叫作 ；直线直线b和和c只需一个公共点，这样的两条直线叫只需一个公共点，这样的两条直线叫作作 ；不同在任何的一个平面内的两条直线；不同在任何的一个平面内的两条直线叫作叫作 .4直线与平面

2、的位置关系直线与平面的位置关系直线和平面有无数个公共点称直线和平面有无数个公共点称 ；直线；直线和平面没有公共点称和平面没有公共点称 ；直线和平面只；直线和平面只需一个公共点称需一个公共点称 .5平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系异面直线异面直线 平行直线平行直线 相交直线相交直线 直线在平面内直线在平面内 直线和平面平行直线和平面平行 直线和平面相交直线和平面相交平面平面和平面和平面没有公共点，称平面没有公共点，称平面与平面与平面为为 ；两个平面不重合且有公共点，称两个；两个平面不重合且有公共点，称两个平面为平面为 .平行平面平行平面相交平面相交平面 位置关系 点与线 点在直线上点不在

3、直线上 点与面 点在平面内点不在平面内 线与线 平行直线相交直线（垂直）异面直线 线与面 直线在平面内 直线与平面相交（垂直）直线与平面平行 面与面 平行平面相交平面（垂直）平面平面和平面和平面没有公共点，称平面没有公共点，称平面与平面与平面为为 ；两个平面不重合且有公共点，称两个；两个平面不重合且有公共点，称两个平面为平面为 .2.空间图形的公理空间图形的公理公理公理1 假设一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直假设一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的线上的 都在这个平面内即直线在平面都在这个平面内即直线在平面内内.直线直线a在平面在平面内，记作内，记作 .公理公理2 经过不在同

4、一条直线上的三点，经过不在同一条直线上的三点， 一个一个平面即可以确定一个平面平面即可以确定一个平面.平行平面平行平面相交平面相交平面 一切的点一切的点 a有且只需有且只需 公理公理3 假设两个不重合的平面有一个公共点，那么假设两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只需它们有且只需 .平面平面与与平面平面的公共直线为的公共直线为a，记作，记作 . 公理公理4 平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线 . 定理空间中，假设两个角的两条边分别对应平行，定理空间中，假设两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角那么这两个角 .相等或互补相等或互补 一条经过这个点的公共直线一条经过这个点

5、的公共直线=a 平行平行 如下图，空间四边形如下图，空间四边形ABCD中，中，E，F，G分别在分别在AB，BC，CD上，且满足上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过，过E，F，G的平面交的平面交AD于于H，衔接，衔接EH.1求求AH:HD；2求证：求证：EH，FG，BD三线共点三线共点.G GD DC CG GH HD D A AH H=F FB BC CF FE EB BA AE E=2证明：证明：EFGH，且，且 ， ，EFGH,四边形四边形EFGH为梯形为梯形.令令EHFG=P,那么那么PEH,而而EH 平面平面ABD，PFG，FG 平面平面BCD，平面，平面A

6、BD平面平面BCD=BD，PBD.EH，FG，BD三线共点三线共点.3 31 1ACACEFEF=4 41 1A AC CG GH H=如下图，知空间四边形如下图，知空间四边形ABCD，E，F分别是分别是AB，AD的中点，的中点，G，H分别是分别是BC，CD上的点上的点.且且CG= BC，CH= DC.求证：求证：1E，F，G，H 四点共面；四点共面；2三直线三直线FH，EG， AC共点共点.3 31 13 31 11衔接衔接EF，GH.由由E,F分别为分别为AB,AD中点，中点，EF BD,由由CG= BC CH= DC，HG BD，EFHG且且EFHG.EF,HG可确定平面可确定平面,E,

7、F,G,H四点共面四点共面.2 21 13 31 13 31 13 31 12由由1知知,EFHG为平面图形，且为平面图形，且EFHG，EFHG.四边形四边形EFHG为梯形，设直线为梯形，设直线FH直线直线EG=O，点点O直线直线FH，直线，直线FH 面面ACD，点点O平面平面ACD.同理点同理点O平面平面ABC.又面又面ACD面面ABC=AC，点点O直线直线AC公理公理2.三直线三直线FH，EG，AC共点共点.在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中,对角线对角线A1C与平面与平面BDC1交于点交于点O,AC,BD交于点交于点M,求证求证:点点C1,O,M共线共线. 证证 明假设干点共线

8、也可用根本性质明假设干点共线也可用根本性质3 为根据为根据,找出找出两个平面的交线两个平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共然后证明各个点都是这两平面的公共点点.如下图如下图,知知ABC在平面在平面外外,AB,BC,AC的延伸的延伸线分别交平面线分别交平面于于P,Q,R三点三点.求证求证:P,Q,R三点共三点共线线.证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.(2)如图如图,设直线设直线a,b,c,d两两相交两两相交,且恣意三条不共点且恣意三条不共点.直线直线ab=M,直线直线a和和b确定平面确定平面.ac=N,bc=Q,N,Q都在平

9、面都在平面内内.直线直线a,b,c,d共面于共面于.综合综合1，2知知,两两两相交而不过同一点的两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内四条直线必在同一平面内. 所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一所谓点线共面问题就是指证明一些点或直线在同一个平面内的问题个平面内的问题.1证明点线共面的主要根据：假证明点线共面的主要根据：假设一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的设一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的一切点都在这个平面内公理一切点都在这个平面内公理1.经过不在同一条直经过不在同一条直线上的三点，有且只需一个平面公理线上的三点，有且只需一个平面公理2.2证明点证明点线

10、共面的常用方法线共面的常用方法:纳入平面内：先确定一个平面，再纳入平面内：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内证明有关点、线在此平面内.辅助平面法：先证明有关辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面的点、线确定平面，再证明其他元素确定平面，再证明其他元素确定平面，最后，最后证明平面证明平面,重合重合.反证法反证法.3详细操作方法：证详细操作方法：证明几点共面的问题可先取三点不共线的三点确定一明几点共面的问题可先取三点不共线的三点确定一个平面，再证明其他各点都在这个平面内个平面，再证明其他各点都在这个平面内.证明空间几证明空间几条直线共面问题可先取两条相交或平行直线确定一条直线共面问题可先取

11、两条相交或平行直线确定一个平面，再证明其他直线均在这个平面内个平面，再证明其他直线均在这个平面内. 如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，判别以下命题能否正确，并阐明理由判别以下命题能否正确，并阐明理由.1直线直线AC1平面平面CC1B1B；2设正方形设正方形ABCD与与A1B1C1D1的中心分别为的中心分别为O，O1，平面，平面AA1C1C 平面平面BB1D1D=OO1；3点点A，O，C可以确定一个平面；可以确定一个平面；4由点由点A，C1，B1确定的平面是确定的平面是ADC1B1；5由由A，C1，B1确定的平面和由确定的平面和由A，C1， D确定的平面是同一平面确定的平面

12、是同一平面.(1)错误，假设错误，假设AC1平面平面CC1B1B，那么，那么A平面平面 CC1B1B，这与，这与A 平面平面CC1B1B的几何现实矛盾的几何现实矛盾.(2)正确，正确，O，O1是这两个平面的两个公共点是这两个平面的两个公共点.(3)错误错误,点点A，O，C在同不断线上在同不断线上.(4)正确，正确，A，C1，B1不共线，不共线，确定平面确定平面.AB1C1D是平行四边形，过是平行四边形，过AD与与B1C1两平行线确两平行线确定定一平面一平面,又又,都过不共线三点都过不共线三点A,C1,B1，与与重合重合.点点D平面平面AC1B1，即，即A,C1,B1确定的平面是确定的平面是AD

13、C1B1.(5)正确，同正确，同4.NoImage如下图，正方体如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分别是分别是A1B1，B1C1的中点的中点.问：问：1AM和和CN能否是异面直线？能否是异面直线？2D1B和和CC1能否是异面直能否是异面直 线？请阐明理由线？请阐明理由.2是异面直线，证明如下：是异面直线，证明如下：假设假设D1B与与CC1在同一个平面在同一个平面D1CC1内，内，那么那么B平面平面CC1D1，C平面平面CC1D1.BC平面平面CC1D1，这与正方体这与正方体ABCDA1B1C1D1中中BC面面CC1D1相矛相矛盾盾.假设不成立，故假设不成立，故D1B与与CC1

14、是异面直线是异面直线. 断定异面直线的常用方法有：断定异面直线的常用方法有：1定义法；定义法；2反证法；反证法；3断定定理法，运用异面直线断定定理来断断定定理法，运用异面直线断定定理来断定时，应留意能否满足它的定时，应留意能否满足它的“四要素，即点四要素，即点A平平面面,B ,直线直线a,A a,那么直线那么直线AB与与a异面异面.如下图，如下图，E,F在在AD上，上，G,H在在BC上，图中上，图中8条线条线段所在的直线，哪些直线段所在的直线，哪些直线互 为 异 面 直 线 ？互 为 异 面 直 线 ？先找规律性较强的直线，如先找规律性较强的直线，如AB与与CD，AC与与BD，AD与与BC互为

15、异面直线，然后再把互为异面直线，然后再把EG添入，那么易得添入，那么易得EG分别分别与与AB,AC,BD,DC成异面直线成异面直线.同理，同理，FH也与它们分别成也与它们分别成 异面直线，异面直线，EG与与FH也互为异面直线也互为异面直线.每两条异面直线称每两条异面直线称 为为“一对，那么共有一对，那么共有12对异面直线对异面直线. 【分析】【分析】 此题首先要思索将标题中的直线此题首先要思索将标题中的直线AB与与 CD所成的角是所成的角是60反映在图形上反映在图形上 ，故要思索添加辅，故要思索添加辅 助线，通常取中点将其中的直线进展平移，从而得解助线，通常取中点将其中的直线进展平移，从而得解

16、.在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=CD且其所成的角是且其所成的角是60，点，点M,N分别是分别是BC,AD的中点的中点.求直线求直线AB与与MN所所成的角成的角. 【解析】取【解析】取AC的中点的中点P，连结，连结PM,PN，那么有，那么有 PMAB，且，且PM= AB.PNCD，且，且PN= CD. 又又AB=CD且其所成的角是且其所成的角是60， PM=PN，MPN=120或或60. MPN=60或或30，即直线即直线AB与与MN所成的角为所成的角为60或或30.2 21 12 21 1 求异面直线所成的角主要有定义法求异面直线所成的角主要有定义法(平移法平移法)和向量法和向

17、量法. 利用定义法利用定义法(平移法平移法)求异面直线所成角的普通步骤为求异面直线所成角的普通步骤为: (1)平移平移:选择适当的点选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条平移异面直线中的一条或两条成为相交直线成为相交直线,这里的点通常选择特殊位置的点这里的点通常选择特殊位置的点,如线段的如线段的中点或端点中点或端点,也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点也可以是异面直线中某一条直线上的特殊点. (2)证明证明:证明所作的角是异面直线所成的角证明所作的角是异面直线所成的角. (3)寻觅寻觅:在立体图形中在立体图形中,寻觅或作出含有此角的三角形寻觅或作出含有此角的三角形,并解之并解之. (4)取

18、舍取舍:由于异面直线所成角由于异面直线所成角的取值范围是的取值范围是090,所以所作的角为钝角时所以所作的角为钝角时,应取它的补角作为异面直线应取它的补角作为异面直线所成的角所成的角.如下图，在四棱锥如下图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为中，底面是边长为2的菱形，的菱形，DAB=60,对角线对角线AC与与BD交于点交于点O，PO平面平面ABCD，PB与平面与平面ABCD所成角为所成角为60.(1) 求四棱锥的体积；求四棱锥的体积；(2) 假设假设E是是PB的中点，的中点，求异面直线求异面直线DE与与PA所成角的余弦值所成角的余弦值.1在四棱锥在四棱锥PABCD中，中，PO平面平面ABCD，PBO是是PB与平面与平面ABCD所成的角，所成的角，即即PBO=60,在在RtPOB中，中，BO=ABsin30=1,又又POOB，PO=BOtan60= ,底面菱形的面积底面菱形的面积S=2 22 =2 ，四棱锥四棱锥PABCD的体积的体积VPABCD= 2 =2.3 32 21 12 23 33 33 31 13 33 3(2)取取AB的中点的中点F，衔接，衔接EF，DF，E为为PB中点，中点，EFPA.DEF为异面直线为异面直线DE与与PA所成