导数综合复习

1、导数综合复习课导数综合复习课1.导数的定义导数的定义: 设函数设函数y=f (x)在点在点x0处及其附近有定义处及其附近有定义,当自当自变量变量x在点在点x0处有改变量处有改变量x时函数有相应的改变时函数有相应的改变y=f(x0+ x)- f(x0). 如果当如果当x0 时时,y /x的极限存在的极限存在,这个极限就叫做函数这个极限就叫做函数f (x)在点在点x0处的处的导数导数(或变化率或变化率)记作记作 即即:,|)(00 xxyxf 或或.)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 2.2.几种常见函数的导数几种常见函数的导数公式公式1: .)(0为为常常数数cc 公式

2、公式2: .)()(1qnnxxnn 公式公式3: .xxcos)(sin 公式公式4: .(cos )sinxx1(ln ).xx公式公式5: .公式公式6: .1(log)log.aaxex().xxee 公式公式7:( )ln (0,1).xxaaaaa法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导等于这两个函数的导 数的和数的和(差差),即即:.)(vuvu 3.导数的运算法则导数的运算法则法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数等于第一个函数的导数 乘第二个函数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函

3、数 的导数的导数 ,即即.)(vuvuuv 法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母等于分子的导数与分母 的积的积,减去分母的导数与分子的积减去分母的导数与分子的积,再除以分母再除以分母 的平方的平方,即即:).0()(2 vvvuvuvu设函数设函数 在点在点x处有导数处有导数 ,函数函数y=f(u)在在点点x的对应点的对应点u处有导数处有导数 ,则复合函数则复合函数在点在点x处也有导数处也有导数,且且 或记或记)(xu )(xux )(ufyu )(xfy ;xuxuyy ).()()(xufxfx 4.复合函数的导数复合函数的导数例例1:如图如图,已知曲线已

4、知曲线 ,求求: (1)点点p处的切线的斜率处的切线的斜率; (2)点点p处的切线方程处的切线方程.)38, 2(313pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234op313yx2230133 ()()lim3xxxxxxx . 42|22 xy即即点点p处的切线的斜率等于处的切线的斜率等于4. (2)在点在点p处的切线方程是处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即即12x-3y-16=0.解解:330011()33limlimxxxxxyyxx 22201lim33() .3xxx xxx 例例2 求下列函数的导数求下列函数的导数:432(1)sin 3 cos 4 ;(2).2x

5、ayxxyxax解解:3212sin 3 cos 4 (cos3 cos4sin3 sin4 )xxxxxx2222()2()(2)(2)(2)xaxaxxaxaxyxax1222222() (2)2xaxxaxaxxax222.(2)2axaxxax33(1)4sin 3cos3(3 ) cos 4yxxxx42sin 3 3cos 4 ( sin4 ) (4 )xxxx3212sin 3 cos 4 cos7xxx5导数应用的知识网络结构图：导数应用的知识网络结构图：6基本思想与基本方法：基本思想与基本方法：数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单调数形转化思想：从几何直观入手，理解函数单

6、调 性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探性与其导数的关系，由导数的几何意义直观地探 讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极讨出用求导的方法去研究，解决有导数函数的极 值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践值与最值问题。这体现了数学研究中理论与实践 的辩证关系，具有较大的实践意义。的辩证关系，具有较大的实践意义。求有导数的函数求有导数的函数y=f(x)的单调区间的步骤：的单调区间的步骤： i）求）求f(x)； ii）解不等式）解不等式f(x)0（或（或f(x)0）；）； iii）确认并指出递增区间（或递减区间）。）确认并指出递增区间（或递减区间）。 证明有导数函数证明有导数函数y=

7、f(x)在区间在区间(a，b)内的单调性：内的单调性： i）求）求f(x)； ii）解不等式）解不等式f(x)0（或（或f(x)0）；）； iii）确认）确认f(x)在在(a，b)内的符号；内的符号； iv）作出判断。）作出判断。 求有导数的函数求有导数的函数y=f（x）的极值的步骤：）的极值的步骤： i）求导数）求导数f(x)； ii）求方程）求方程f(x)=0的全部实根；的全部实根； iii）检查）检查f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右两侧的值的根左右两侧的值 的符号，如果左正右负，那么的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个）在这个 根处取得极大值；如果左负右正，那么根处取得极大值

8、；如果左负右正，那么f（x） 在这个根处取得极小值。在这个根处取得极小值。设设y=f（x）在）在a，b上有定义，在上有定义，在(a，b)内有导数，内有导数，求求f（x）在）在a，b上的最大值和最小值的步骤：上的最大值和最小值的步骤： i）求）求f（x）在（）在（a，b）内的极值；）内的极值； ii）将）将f（x）的各极值与）的各极值与f（a）、）、f（b）比较，确）比较，确 定定f（x）的最大值与最小值。）的最大值与最小值。在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值 点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定点（单峰函数），那么，只要根据实际意义判定

9、最值，不必再与端点的函数值作比较。最值，不必再与端点的函数值作比较。例例3 求函数求函数 的单调区间的单调区间.29xyx解解:2222(9)(9)(9)x xx xyx22290(9)xx( )3,f xx 的定义域为(, 3),( 3,3),(3,)xxx 当时时, y是减函数是减函数.例例4 求函数求函数 的极值的极值.42yxx解解:242yx2420,yx由得2x xyy22(,2) (2,0)( 2,)00(0,2)+-极大值极大值-+极小极小 值值2,4 2;xy 极大值当时2,4 2;xy极小值当时例例5 求函数求函数 的最大值和最小值的最大值和最小值.241xyx解解:222

10、4(1)42(1)xxxyx2224(1)(1)xx2224(1)0,1,(1)xxx 由得xyy(, 1) 1( 1,1)1(1,)-0+0-极大值极大值极小值极小值min1,2;x 故当时ymax1,2.x 故当时yxy例例6: 如图如图,在二次函数在二次函数f(x)= 4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形abcd,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设b(x,0)(0 x2), 则则 a(x, 4x-x2).从而从而|ab|= 4x-x2,|bc|=2(2-x).故矩形故矩形abcd的面积的面积为为:s(x)=|ab|bc|=2x3-12x2+16x(0 x2).16246)(2 xxxs令令 ,得得.3322,33220)(21 xxxs),2 , 0(1 x所以当所以当 时时,.9332)(3322max xsx因此当点因此当点b为为 时时,矩形的最大面积是矩形的最大面积是) 0 ,2322( .9332例例7:已知已知x,y为正实数为正实数,且且x2-2x+4y2=0,求求xy的最大值的最大值.解解:由由x2-2x+4y2=0得得:(x-1)2+4y2=1.设设 ,由由x,y为正实数得为正实数得: sin21,