第八章 矩阵的广义逆

1、第八章 矩阵的广义逆近几十年来，广义逆理论及其应用研究得到了迅速发展，成为矩阵理论的重要内容之一。本章只介绍广义逆矩阵中的、和的基本内容及其在解线性方程组中的简单应用。§8.1 Moore-Penrose逆(M-P逆) 当且可逆时，线性方程组有唯一解。若，我们知道线性方程组一定有解，是否存在，使得线性方程组的解？若有这样的存在，显然是逆矩阵概念的推广。一、M-P逆定义1设，称满足下列4个条件（称为Moore-Penrose条件）的为的M-P逆，记为。（1）； （2）；（3）； （4）。显然，若为可逆方阵，则。定理1 设，则存在且唯一。证明 由矩阵的奇异值分解知，使得，其中，为满秩阶对

2、角阵。记，下证满足Moore-Penrose的4个条件，即为的M-P逆。（1）；（2）；（3）；（4）与（3）同理。下面证明的唯一性。设都满足的M-P逆的4个条件，则故的M-P逆存在且唯一。定理2设有满秩分解，其中，则（由此容易理解§4.2的推论2）。证明 因为，故可逆，同理可逆。令不难验证Moore-Penrose的4个条件成立，所以推论1 若，则；若，则。M-P逆与通常的逆阵有相似的性质。定理3 设，则（1）；（2）；（3），；（4），；（5），其中，；（6）当，当，；证明 由定理1证明，设有奇异值分解，其中，其中为满秩阶对角阵，则，易证（1）（）成立。二、的逆 定义 设，称满足

3、Moore-Penrose的条件（）、（）、（）的为的逆，记为。因为的M-P逆存在，故的1逆存在性显然，但不唯一，例如，则，。故记为的逆的全体构成的集合。定理4 设，则对所有方程组有解充分必要条件是。证明 必要性 设，则，故，即。充分性 设，则，所以，有，所以是方程的解。推论2 设，则。证明 。定理5 设且有等价分解，其中，则且均可写成上述形式。证明 ，故。而，令，则由得。定理6 若，则。证明 ，故。定理7 设，则的充分必要条件是。证明 必要性 因为，故有所以。充分性 由，得即因为，故。设，则，故存在，使得，所以，即，所以。§8.2具有指定的值域和零空间的1，2逆定义1 设，则，可唯

4、一分解为，其中，称为沿在上的投影。取的基为自然基，则沿在上的投影变换可用矩阵表示，即，有。显然为线性变换且矩阵为线性变换在自然基下的矩阵，称为沿在上的投影算子。由于，故由的任意性知，即投影算子为幂等阵。定理1 设幂等阵，则，且为沿到的投影算子，即。反之，若，则存在唯一的幂等阵，使得。证明 设为幂等阵，由于，有， ，所以，。反之，若，设是的基，是的基，因为与的和为直和，故是的基。令则即记，则故为幂等阵，又由所设知，即，下证唯一性。若有幂等阵使得，则由得，故。上述定理1实际上给出了幂等阵与投影算子之间的一一对应关系。引理1 （1）若为的1逆，则，。 （2）若为的2逆，则，。证明 （1）由，得即得

5、又因为，故有，（2）证明与（1）类似，故略。推论1 若为的1，2逆，则。定理2 设为的1，2逆，则，。证明 因为，故与为幂等阵，所以由引理1得引理2 设，则（1）充分必要条件是；（2）充分必要条件是。证明 （1）设，。必要性 因为，故，所以，故。充分性 由且为投影算子，故，故。（2）必要性 显然。充分性 设，记由于，有，所以 因为，故，所以，由的任意性知。定理3 设，则为的使，的1逆充要条件是。证明 必要性 因为，由引理1得，由于、为幂等阵，故，充分性 因为，故由引理2得，所以。由知，。引理3 满足矩阵方程的解至多有一个。证明 设为其两个解，则，所以 即满足矩阵方程的解至多有一个。定理4 设，

6、则矩阵方程有唯一解，且解为的1，2逆，（称满足上述条件的为的具有指定值域与零空间的1，2逆，记为）。证明 因为，由定理3知，又因为，所以，故。由引理1知，由引理3知满足矩阵方程的解至多有一个，令，则有所以是方程的唯一解，故。引理4 秩秩，则一定存在，使得成立。证明 由故，所以存在使得。同理，存在使得。下面的定理5给出了的一个刻画。定理5 设存在，则具有幂等解且的充要条件是。证明 充分性 取，显然 幂等且，由此 = = =必要性 由于存在，所以 ， （1）由引理4得，存在使得。由=得，所以，又显然有 再由（1）可得，故，所以由及定理4得。§8.3 群 逆若可逆，则，但是在§8

7、.1、§8.2中讨论的的M-P逆和逆不具有与的交换性，下面介绍的群逆具有这种交换性。定义1 设，称使得成立的最小非负整数为的指标，记为。定义2 设，如果满足，则称为的群逆，记为。定理1 设，若存在，则唯一。证明 设为的群逆，则故若存在，则唯一。定理2 设，不可逆，则存在的充分必要条件是。证明 若，则命题显然，以下假定不可逆且。充分性 由的若当分解得，因为，所以，。故的零特征值对应的若当块都是1阶的，故存在可逆阵使得，不难验证。必要性 设存在，则，故所以，即。推论1 设，则存在的充分必要条件是存在可逆阵，使得（此时）。证明 由定理2的证明易得。§8.4 广义逆与线性方程组&#

8、167;8.1定理4给出了线性方程组解的广义逆的表示形式，下面继续简单介绍广义逆在线性方程组中的应用。一、 线性方程组的通解定义1 设，若线性方程组有解（无解），则称为相容（不相容）线性方程组。显然为相容线性方程组当且仅当。定理1设，则的通解，任意。证明 因为，所以，即是的解。下证为的通解。因为为投影算子，所以，由§8.2的引理1知，故的通解为。所以的通解，任意。例1 求的通解，其中，。解 ，所以为相容线性方程组。所以，由§8.1的定理5得，取，则推论1 设，则的通解，任意。二、 极小范数最小二乘解定义2 设，如果均有，则称为线性方程组的最小二乘解（本节所涉及的范数均指2-范数）。定义3 设，为线性方程组的最小二乘解，如果对的任意一个最小二乘解均有，则称为的极小范数最小二乘解。由定义2、定义3知相容线性方程组的任一个解都是其最小二乘解，故也称相容线性方程组的极小范数最小二乘解为极小范数解。定理2 设，则对一切，的极小范数解的充分必要条件是。证明 充分性 因为，由定理1的的通解，任意。而内积所以，故即为的极小范数解。必要性 设的极小范数解，则，且的通解因为是极小范数解，即故，由得因为，所以，故有，又由于所以，故为正交投影算子，所以即得。定理3 设，则为不相容线性方程组的极小范数最小二乘解。证明 显然，故，所以所以为不相