计算方法考查论文

1、盐城师范学院数学统计学院数值分析考查论文(第一组)班级师范132班学号13211201姓名卞秀丽内容：1. 已知函数表如下： (40)x10111213141516f(x)2.30262.39792.48492.56492.63912.70802.7726用下列方法计算f(10.05), f(15.04), f(12.94)，并讨论误差分析.（1） 分段线性插值；（2） 牛顿插值多项式；（3） 全区间上的拉格朗日插值。一、 实验目的本实验的目的是熟练数值分析第二章“差值逼近”的相关内容，掌握分段插值法、拉格朗日差值法和牛顿插值法。二、相关背景知识介绍 （1）分段线性插值指的是：在n+1个差值节

2、点a=x0<x1<<xn=b处，给定函数y=f（x）的值，寻求一函数P（x），使得在每个子区间xi,xi+1上，P（x）G1。P（x）=yi，i=0,1，n.我们称P（x）为f（x）关于节点x0，x1，, xn的分段线性插值多项式。（2）Nn（x）=f(x0)+fx0, x1( x-x0)+ fx0, x1,x2( x-x0)(x-x1)+ fx0, x1, xn( x-x0)(x-x1)(x-xn-1)为f（x）关于节点x0，x1，, xn的n次牛顿插值多项式。（3）Ln（x）=i=0nyil（x）称为关于节点x0，x1，, xn的n次拉格朗日插值多项式。三、程序(1)分段

3、插值法In1:=Data=10,2.3026,11,2.3979,12,2.4849,13,2.5649,14,2.6391,15,2.7080,16,2.7726;F=InterpolationdateOut2=InterpolatingFunction10,16,<>In3:=pd=ListPlotdata,DisplayFunction>Identity,PlotStyle->PointSize0.02;fd=Plotfx,x,10,16,DisplayFunction>Indentity;Showpd,fd,DispayFunction->$Disp

4、layFunctionOut5=-Graphics-In6=f10.05Out6=2.307365In7=f15.04Out7=2.710584In8=f12.94Out8=2.5601(2)牛顿插值法clear allclc syms x x0=10,11,12,13,14,15,16; y0=2.3026,2.3979,24849,2.5649,2.6391,2.7080,2.7726; for k=1:7   for i=1:k    a=

5、1;     b=0;     for j=1:k       if j=i  a=a*(x0(i)， x0(j);       end     end b=b+y0(i)/a;   end   A(

6、k)=b; end B=1,(x-x0(1),(x-x0(1)*(x-x0(2),(x-x0(1)*(x-x0 (2)*(x-x0(3),(x-x0(1)*(x-x0(2)*(x-x0(3)*(x-x0 (4); L1=A.*B; l=0; for m=1:7   l=l+L1(m); end L=expand(l)（3）拉格朗日插值法syms x x0=10,11,12,13,14,15,16; y0=2.3026,2.3979,24849,2.5649

7、,2.6391,2.7080,2.7726; for i=1:7   a=1;   for j=1:5     if j=i a=expand(a*(x-x0 (j); end   end   b=1;   for k=1:7     if k=i b=b*(

8、x0(i)-x0(k);     end   end A(i)=expand(a/b); end L=0; for p=1:7 L=L+y0(p)*A(p); end L四、数值结果（1）分段插值法x10,11时，L（x）=0.0953x+1.3496则f10.05=L（10.05）=2.307365x15,16时，L（x）=0.0646x+1.739则f15.04=2.710584x12,13时，L（x）=0.08x+1.5249则f

9、12.94=2.5601(2)牛顿插值法x0=10，x1=11，x2=12，x3=13，x4=14，x5=15，x6=16Fx0, x1=0.0953Fx1, x2=0.087 Fx0, x1, x2=-0.00415Fx2, x3=0.08 Fx1, x2, x3=-0.0035Fx3, x4=0.0742 Fx2, x3, x4=-0.0029Fx4, x5=0.0689 Fx3, x4, x5=-0.00265Fx5, x6=0.0646 Fx4, x5, x6=-0.00215Fx0,x1, x2, x3=0.0002166667Fx1,x2, x3, x4=0.0002Fx2,x3,

10、 x4, x5=0.0000833Fx3,x4, x5, x6=0.00016666667Fx0,x1, x2, x3, x4=-0.000004166675Fx1,x2, x3, x4, x5=-0.000029175Fx2,x3, x4, x5, x6=0.000020842Fx0,x1, x2, x3, x4, x5=-0.000005001664Fx1,x2,x3, x4, x5, x6=0.0000100034Fx0,x1, x2, x3, x4, x5, x6=0.000002500843f10.05=N（10.05）=2.30758063f15.04=N（15.04）=2.710

11、601f12.94=N（12.94）=2.534746（3）拉格朗日插值法f10.05=2.30747621f15.04=2.7106203f12.94=2.55249562. 计算下列积分, 并讨论其误差分析. (40)(1) 用辛普生公式;(2) 用复合牛顿-柯特斯公式;(3) 龙贝格求积法1、用辛普森公式、复合牛顿柯特斯公式、以及龙贝格求积法计算积分，通过这个实验清楚地认识到龙贝格求积法更容易方便。 2、算法原理或计算公式辛森普公式N=2时S=f(a)+4()+f(b)余项3、数值分析由上述辛普森公式得出的积分为0.496362截断误差为0.000673 由复合柯特斯公式所求的积分为0.

12、567340截断误差为0.000347由龙贝格求积法所求的积分为0.659938截断误差为0.000054、结论分析对于一个数值求积公式来说，收敛阶越高，近似值收敛到真值的速度就越快. 由于三种求积公式的余项分别是h的2,4,6阶无穷小量所以趋于定积分I的速度依次更快. 从这三种求积公式的构造过程中可以看出，它们都属于机械求积公式，但不属于插值行和牛顿柯特斯公式都具有稳定性和收敛性，且收敛速 度一个比一个快，一个比一准确在使用函数值个数相等的情况下，的精度逐渐升高. 容易从辛普生求积公式余项看出当积分区间较大时，积分的精度很难保证为了提高精度又便于在计算机上实现往往采用复合牛顿柯特斯公式。复合

13、求积的基本思想是将区间适当分割成若干个子区间，每个子区间使用低阶求积公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积。运用龙贝格求积法更加容易，因为龙贝格数值积分法收敛速度快积分精度高，编程容易实现，使用面对程序设计方法，回避了函数指针的使用降低了编程的调试难度，增加了使用龙贝格积分法的灵活性。.龙贝格算法又称数值积分逐次分半加速收敛法。通过这次学习，我又学会了一种方法，在以后会更好的掌握和应用。 三： 实验内容：用Gauss消去法求解如下线性方程组。一，求解方程组：二.实验步骤：1.首先将方程组转化为线性方程组如下：(高斯消去法)2. 解得方程组如下： 由方程（1）和（4）得，再将

14、方程（5）和（6）代入方程（2）和（3）中可得方程组； 由此可解得方程（7）和（8）：x2=1;x4=1 将结果代入方程（5）和（6）：x1=1;x3=1故解得方程组结果为3.Matlab编程程序如下：Functionb =Guass(A,b,n,m)For k=1:m-1 For i=k+1:m A(j.k)= A(i.k) /A(k.k) For j=k+1:m A(i.j)= A(i.j)-A(i.k)* A(k.j)end b(i)=b（i）-A(i,k)*b(k)end b(m)=b（m）/A(m,m)end For i=m-1:-1:1 S=0 For j=i+1:m S=S+A(

15、i.j)*b(j) End b(i)=(b（i）-S)/A(i,i) end disp(A) end 实验结果及分析： 实验结果: 在输入窗口输入A=1，1，0，0：1，3，4，0：,0，1，5，9：0，0，1，7 b=2，8，15，8X=Gauss(A,b,n,4)得出结果x1=1 ，x2=1， x3 =1，x4=1 实验分析： 高斯消去法，又称高斯消元法，实际上就是我们俗称的加减消元法。它是线性代数中的一个算法，用于决定线性方程组的解，决定矩阵的秩，以及决定可逆方矩阵的逆。当用于一个矩阵时，高斯消去产生“行消去梯形形式”。如果是一个二元一次方程组，我们就可以设法对每个等式进行变形，使两个等

16、式中的同一个未知数的系数相等，这两个等式相减，得到一个新的等式，在这个新的等式中，系数相等的未知数就被除去了（系数为0），如此就可以得出线性方程组的x1,x2的确定的解。以此类推，这种方法同样的也适合多元多次方程组（如本题的四元一次方程组）。高斯消元是求解线性方程组的重要方法，我们要知道什么是线性方程组（本题为例）：含4个方程和4个未知量的方程组定义为 a(11)x(1)+a(12)x(2)+a(13)x(3)+a(14)x(4)=b(1);a(21)x(1)+a(22)x(2)+a(23)x(3)+a(24)x(4)=b(2);a(31)x(1)+a(32)x(2)+a(33)x(3)+a(34)x(4)=b(3) ;a(41)x(1)+a(42)x(2)+a(43)x(3)+a(44)x(4)=b(4)。这个方程组称为4*4线性方程组，其中a(ij)和b(i)为实数，括号中为下标。这个方程组有多种表示方法。我们知道4*4矩阵是一个4行4列的数阵，4维向量是4个数的数组