空间直线及其方程(21)课件

1、一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、杂例 7.8 空间直线及其方程分析： 点M在直线L上点M同时在这两个平面上, 点M的坐标同时满足这两个平面的方程. 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看作是两个平面的交线. 设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 这就是空间直线的一般方程. =+=+0022221111DzCyBxADzCyBxA 来表示. 那么直线L可以用方程组二、空间直线的对称式方程与参数方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条

2、直线的方向向量. v方向向量 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量. 当直线L上一点M0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s=(m, n, p)为已知时, 直线L的位置就完全确定了. v确定直线的条件 v直线的对称式方程 求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线的方程. (x-x0, y-y0, z-z0)/s , 从而有这就是直线的方程, 叫做直线的对称式方程. pzznyymxx000-=-=-. 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数. 向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦. 则从M0到M的向量平行于方向向量: 设M(x,

3、 y, z)为直线上的任一点,注通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程:v直线的参数方程 设pzznyymxx000-=-=-=t, 得方程组 +=+=+=ptzzntyymtxx000. 此方程组就是直线的参数方程. pzznyymxx000-=-=-. =t, 得方程组 提示： 先求直线上的一点, 再求这直线的方向向量s. 提示：当 x=1 时, 有=+-=+232zyzy, 此方程组的解为 y=-2, z=0. 提示：kjikjikjikjis34 312 111 )32()(-=-=+-+=. 提示：令tzyx=-=-+=-31241, 有 x

4、=1+4t, y=-2-t, z=-3t . 于是(1, -2, 0)是直线上的一点. 在直线的一般方程中令x=1, 解 以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为直线的方向向量 s:=4i-j-3k.s=(i+j+k)(2i-j+3k) 可得y=-2, z=0. 所给直线的对称式方程为 例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线=+-=+4321zyxzyx. 31241-=-+=-zyx. 所给直线的参数方程为 x=1+4t, y=-2-t, z=-3t . 三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1

5、=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2), 那么L1和L2的夹角j满足| ) ,cos(|cos21ss=j 222222212121212121|pnmpnmppnnmm+=. 方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:2 求直线 L1:13411+=-=-zyx和 L2:1222-=-+=zyx的夹角. 例2 解 两直线的方向向量分别为 设两直线的夹角为j , 则 (1, -4, 1)和(2, -2, -1). 222222212121212121|cospnmpnmppnnmm+=j. 2221) 1() 2(21) 4(1| )

6、 1(1) 2() 4(21 |cos222222=-+-+-+-+-+=j所以4j=. 2221) 1() 2(21) 4(1| ) 1(1) 2() 4(21 |cos222222=-+-+-+-+-+=j, v两直线垂直与平行的条件 设有两直线 L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0; 则方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:222222212121212121|cospnmpnmppnnmm+=j. L1:111111pzznyymxx-=-=-, L2:222222pzznyymxx-=-=-, L1 L2212121ppnnmm=.

7、提示：四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面的夹角为90. 设直线的方向向量为s=(m, n, p), 平面的法线向量为n=(A, B, C), 则直线与平面的夹角j 满足 222222|sinpnmCBACpBnAm+=j. | ) , (2|ns-=j, | ) , cos(|sinns=j. 方向向量为(m, n, p)的直线与法线向量为(A, B, C)的平面的夹角j 满足 v直线与平面垂直和平行的条件 设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面 的法线向量为n=(A, B,

8、C), 则 L/ Am+Bn+Cp=0. 222222|sinpnmCBACpBnAm+=j. L pCnBmA=; 例3 求过点(1, -2, 4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程. 平面的法线向量(2, -3, 1)可以作为所求直线的方向向量. 由此可得所求直线的方程为 解 143221-=-+=-zyx. 设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面 的法线向量为n=(A, B, C), 则 L/ Am+Bn+Cp=0. L pCnBmA=; 平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量 s. 五、杂例 例4 求与两平面x-4z=3和2x

9、-y-5z=1的交线平行且过点(-3, 2, 5)的直线的方程. 解 因为所以, 所求直线的方程为)34( 512 401 )52()4(kjikjikjikis+-=-=-=153243-=-=+zyx. )34( 512 401 )52()4(kjikjikjikis+-=-=-=)34( 512 401 )52()4(kjikjikjikis+-=-=-=, x=2+t, y=3+t, z=4+2t, 代入平面方程中, 得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0. 解上列方程, 得t=-1. 将t=-1代入直线的参数方程, 得所求交点的坐标为 x=1, y=2, z=2. 解 所

10、给直线的参数方程为 例5 5 求直线241312-=-=-zyx与平面 2x+y+z-6=0 的交点. 解 例6 的直线的方程. 6 求过点(2, 1, 2)且与直线241312-=-=-zyx垂直相交 所求直线的方向向量为 s=(1, 2, 2)-(2, 1, 2)=(-1, 1, 0), 过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为 (x-2)+(y-1)+2(z-2)=0, 即x+y+2z=7. 此平面与已知直线的交点为(1, 2, 2). 提示： 求出两直线的交点是关键, 而交点就是过已知点且与已知直线相垂直的平面与已知直线的交点. 解 例6 的直线的方程. 6 求过点(2, 1, 2)且

11、与直线241312-=-=-zyx垂直相交 所求直线的方向向量为 s=(1, 2, 2)-(2, 1, 2)=(-1, 1, 0), 过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为 (x-2)+(y-1)+2(z-2)=0, 即x+y+2z=7. 此平面与已知直线的交点为(1, 2, 2). 021112-=-=-zyx, 即021112-=-=-zyx 即=-=-021112zyx. 所求直线的方程为分析： 因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例, 所以对于任何一个l值, 上述方程的系数不全为零, 从而它表示一个平面. 分析： 对于不同的l值, 所对应的平面也不同, 而且这些平面都通过直线

12、L, 即这个方程表示通过直线L的一族平面. 分析： 另一方面, 任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中. v平面束 考虑三元一次方程: A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任意常数.其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例. =+=+0022221111DzCyBxADzCyBxA, 设直线L的一般方程为 上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体, 称为平面束. v平面束 考虑三元一次方程: A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+

13、C2z+D2)=0,即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任意常数.其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例. =+=+0022221111DzCyBxADzCyBxA, 设直线L的一般方程为提示： 我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂直的平面, 此平面与已知平面的交线就是所求的投影直线.提示： 这是平面束的法线向量(1+l, 1-l, -1+l)与已知平面的法线向量(1, 1, 1)的数量积. (x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0, 即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0. 为了求得与已知平面x+y+z=0垂直的平面, 令 (1+l)1+(1-l)1+(-1+l)1=0, 解 设通过已知直线的平面束的方程为 的方程. 例7 7 求直线=+-=-+0101zyxzyx在平面 x+y+z=0 上的投影直线 即 y-z-1=0. 2y-2z-2=0, 于是得到与已知平面垂直的平