运动学第七章点的合成运动

1、第七章第七章 点的合成运动点的合成运动第一节第一节 点的绝对运动、相对运动和牵连运动点的绝对运动、相对运动和牵连运动 第二节第二节 速度合成定理速度合成定理第三节第三节 牵连运动为平移时，点的加速度牵连运动为平移时，点的加速度合成定理合成定理 合成定理合成定理第四节第四节 牵连运动为转动时，点的加速度牵连运动为转动时，点的加速度第一节第一节 点的绝对运动、相对运动和牵连运动点的绝对运动、相对运动和牵连运动 合成运动：相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而合，称这种运动为合成运动沿直线轨道滚动的圆轮，轮缘上a点的运动，对于地面上的观察者来说，点的轨迹是旋轮线，但对站在轮心上的

2、观察者来说是圆。a点的运动可看成随轮心的平动与绕轮心转动的合成。静坐标系或定坐标系：固结在地球上的坐标系；以oxyz表示。动坐标系：动坐标系：固定在其它相对于地球运动固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标系；以的参考体上的坐标系；以o x y z 表示表示 v参考系参考系试讨论如下机构的静坐标系和动坐标系。三种运动三种运动绝对运动：绝对运动：动点相对于静坐标系的运动。相对运动：相对运动：动点相对于动坐标系的运动牵连运动：牵连运动：动坐标系相对于静坐标系的运动 试讨论如下机构中，m点在图示位置时的绝对运动、相对运动和牵连运动。动点：m动坐标系：固结于摇杆oa（有时直接说摇杆oa ）m点的绝对运

3、动：沿半圆槽bc运动，轨迹为圆弧解题格式解题格式动系：摇杆oa静坐标系：固结于地面（有时直接说地面）m点的相对运动：相对于动坐标系（摇杆oa）做平动，也就是沿oa杆上的滑槽滑动解题格式解题格式牵连运动：点m受动坐标系（摇杆oa）牵连，牵连运动是动坐标系的运动，此题中动坐标系是摇杆oa，因此牵连运动为摇杆oa绕o点定轴转动。动点的绝对运动和相对运动都是点的运动，它可能是直线运动，也可能是曲线运动。牵连运动则是动坐标系的运动，属于刚体的运动，有平移、定轴转动和其它形式的运动。动坐标系作何种运动取决于与之固连的刚体的运动形式。讨讨 论论第二节第二节 速度合成定理速度合成定理v绝对速度、相对速度和牵连

4、速度 绝对速度绝对速度va：动点相对于静坐标系运动的速度相对速度相对速度vr：动点相对于动坐标系运动的速度牵连速度牵连速度ve：某瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于静坐标系运动的速度。(即动点若相对于动坐标系静止时它所应具有的速度)牵连点：牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点，称为动点的牵连点。牵连点是一个几何点（几何位置）。动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动空间。除非动坐标系作平移，否则动坐标系上各点的运动状态是不相同的。在任意瞬时，只有在任意瞬时，只有牵连点牵连点的运动能够给动点的运动能够给动点以直接的影响以直接的影响。为此，定义某瞬时，与动点相重合的动

5、坐标系上的点（牵连点）相对于静坐标系运动的速度称为动点的牵连速度 讨讨 论论 下图中，动坐标系oa上各点的速度大小不一样 m点绝对速度va沿着绝对运动轨迹（半圆弧）在点m处的切线方向，即va垂直于点m与圆心的连线； m点相对速度vr沿着动点m与动系（摇杆oa）的相对运动轨迹的切线方向，即沿着oa上的滑槽方向；m点牵连速度ve是动系（摇杆oa）上与m点位置重合的那个几何点的速度，由于摇杆oa 绕点o定轴转动，故ve 垂直于杆oa。再如，直管ob以匀角速度绕定轴o转动，小球m以速度u u在直管ob中作相对的匀速直线运动，如图示。将动坐标系固结在ob管上，以小球m为动点。随着动点m的运动，牵连点在动

6、坐标系中的位置在相应改变。设小球在t1、t2瞬时分别到达m1、m2位置，则动点的牵连速度分别为 11omve22omve动点与牵连点动点和牵连点是一对相伴点，在运动的同一瞬时，它们是重合在一起的。 动点是与动系有相对运动的点 。动点往往是有实际意义的，比如滑块、小环、杆端等等。牵连点是动系上的几何点 ，是个几何位置。对动点来说，牵连运动是动坐标系在牵连点这个几何位置处的运动。在运动的不同瞬时，动点与动坐标系上不同的点重合，而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同 。v速度合成定理速度合成定理动点在一个任意运动的刚体动点在一个任意运动的刚体k k上沿弧上沿弧abab相对于刚体相对于刚体k k运动运动

7、动坐标系固结在刚体k上，静坐标系固结在地面上 瞬时t，动点位于m处 t后，动点运动到 处 1m绝对运动轨迹 1mm是此牵连点的轨迹。1mm1111mmmmmmtmmtmmtmmttt1101010limlimlimtmmvta10limtmmvte10limtmmvtr110lim显然：reavvv动点的绝对速度等于它动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的牵连速度与相对速度的矢量和的矢量和 速度合成定理速度合成定理 上式为矢量方程，它包含了绝对速度、牵上式为矢量方程，它包含了绝对速度、牵连速度和相对速度的大小、方向六个量，连速度和相对速度的大小、方向六个量，已知其中四个量可求出其余的两个量

8、。已知其中四个量可求出其余的两个量。例7-1 火车车厢以速度v1沿直线轨道行驶（图7-5）。雨滴m沿铅垂落下，其速度为v2。求雨滴相对于车厢的速度。例7-1 火车车厢以速度v1沿直线轨道行驶（图7-5）。雨滴m沿铅垂落下，其速度为v2。求雨滴相对于车厢的速度。绝对运动：雨滴相对地面铅垂落下相对运动 ：雨滴相对于车厢的运动牵连运动：车厢的运动（平动）解：动点:雨滴m，动系oxy与车厢固结，静系：oxy解：绝对速度为va= v2 车厢作移动，故雨滴m的牵连点的速度为v1，即雨滴m的牵连速度ve = v1 222122vvvvvaer21tanvvvr与铅垂线的夹角 例 7-2 刨床的急回机构如图

9、7-4(a)示，曲柄oa的一端 与滑块a用铰链连接。当曲柄oa以匀角速度 绕定轴 o转动时，滑块在摇杆bo1的槽中滑动，并带动摇杆 bo1绕固定轴o1来回摆动。设曲柄长oa=r，两轴间 距离loo 1， 求曲柄在水平位置 的瞬时，摇杆o1b 绕o1轴摆动的角 速度1及滑块a对 于摇杆o1b的相对 速度。 解：该机构在运动过程中，滑块a与摇杆o1b相对运动，且a相对于摇杆o1b的直线运动轨迹为已知， 动点：滑块a动系：与摇杆o1b固连绝对运动：圆周运动牵连运动：摇杆绕o1轴的转动 相对运动：滑块沿滑槽的直线运动图(b)是a点的速度矢量图，建立图示a坐标轴，并将速度合成定理的矢量方程分别向轴上投影

10、， raeavvvv0cos0sin ,cos,sin2211221rllaooorlraooa rva代入上式得22222,rlrlvrlrvre 又因为12211rlaove，因此， 摇杆在此瞬时的角速度为2221rlr 例例 7 7- -1 1，图图中中偏心圆凸轮的偏心距偏心圆凸轮的偏心距eoc ，半半 径径er3，设凸轮以匀角速设凸轮以匀角速 oo绕轴绕轴oo转动，转动， 试求试求ococ与与caca垂直的瞬时，垂直的瞬时，杆杆abab的速度。的速度。 例例 7 7- -1 1，图图中中偏心圆凸轮的偏心距偏心圆凸轮的偏心距eoc ，半半 径径er3，设凸轮以匀角速设凸轮以匀角速 oo绕

11、轴绕轴oo转动，转动， 试求试求ococ与与caca垂直的瞬时，垂直的瞬时，杆杆abab的速度。的速度。 解：凸轮为定轴转动，ab杆为直线平移，只要求出a点的速度就可以知道ab杆各点的速度。由于a点始终与凸轮接触，因此，它相对于凸轮的相对运动轨迹为已知的圆。 选a为动点，动坐标系oxy固结在凸轮上， 绝对运动：直线运动 相对运动：以c为圆心的圆周运动 牵连运动：动坐标系绕o轴的定轴转动ooeeoav2eavvacoctaneoc ，erac3 oaev31方向如图关于动点动系选择的讨论关于动点动系选择的讨论本题中，选择ab杆的a点为动点，动坐标系与凸轮固结。因此，三种运动、特别是相对运动轨迹十

12、分明显、简单且为已知的圆，使问题得以顺利解决。若选凸轮上的点（例如与a重合之点）为动点，而动坐标系与ab杆固结，这样，相对运动轨迹不仅难以确定，而且其曲率半径未知。因而相对运动轨迹变得十分复杂，这将导致求解（特别是求加速度）的复杂性。第三节第三节 牵连运动为平移时，点的加速度牵连运动为平移时，点的加速度合成定理合成定理动点的绝对加速度、相对加速度和牵连加速度动点的绝对加速度、相对加速度和牵连加速度绝对加速度aa：动点相对于静坐标系运动的加速度相对加速度ar：动点相对于动坐标系运动的加速度设：动点m在动坐标系中的坐标为xyz kjir zyx牵连运动为平移，牵连运动为平移，单位矢量i、j、k大小

13、、方向不变 kjirvtztytxtrddddddddkjiva222222ddddddddtztytxtrr牵连加速度牵连加速度ae ：指某瞬时动坐标系上与动点相重合之点（牵连点）相对于静坐标系运动的加速度动坐标系作平移时，动点的牵连速度和牵连加速度等于动坐标系原点o的速度和加速度 oeoeaavv,牵连运动为平移时，点的加速度合成定理牵连运动为平移时，点的加速度合成定理 设动点在动坐标系oxyz上沿相对轨迹曲线ab运动,而动坐标相对静坐标系oxyz作平行移动 reavvvkjivvtztytxoaddddddkjivva222222ddddddddddtztytxttoaaootavddr

14、eaaaa当牵连运动为平移时当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和加速度与相对加速度的矢量和。这是牵连运动为平。这是牵连运动为平移时，点的加速度合成定理移时，点的加速度合成定理 例 7-4 平行四连杆机构的上连杆bc与一固定铅直杆 ef 相接触，在两者接触处套上一小环 m，当 bc 杆 运动时，小环 m 同时在 bc、ef 杆上滑动。设曲柄 ab=cd=r，连杆 bc=ad=l，若曲柄转至图示角位 置时的角速度为，角加速度为，试求小环 m 的 加速度。 动点：小环m解：解：动系：固连在连杆bc上 静系：固连在地面上 绝对运动是沿ef的直线

15、运动。aa方向已知，沿 ef； 相对运动是沿bc的直线运动。ar方向已知，沿 bc； 牵连运动是连杆bc的平移。rae， neneearaab,2a与ab平行。 reaaaa将加速度合成定理的矢量方程向y轴投影 0cossineneaaaasincos2rra方向如图示 rneeaaaaa第四节第四节 牵连运动为转动时，点的加速度牵连运动为转动时，点的加速度合成定理合成定理 牵连牵连运动为运动为转动时转动时，动点的绝对加速度等于牵，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与连加速度、相对加速度与科氏科氏加速度的矢量和加速度的矢量和 kreaaaaa当牵连运动为转动时，由于转动的牵连运动与相对

16、运动相互影响的结果而产生一种附加的加速度，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度，以符号a ak表示 设圆盘以匀角速度绕固定轴o顺时针转动，同时圆盘上有一动点m，在半径为r的圆槽内以大小不变的相对速度v vr顺时针作圆周运动，那么m点对于静参考系的绝对加速度应该是多少？ 动系固连于圆盘上，随同圆盘一起转动 相对运动：匀速圆周运动 在t瞬时相对速度为vr 相对加速度：rvrr/2a牵连速度 ：r 牵连加速度 r2 rreavrvvv常量绝对速度大小绝对速度大小 绝对运动也为匀速圆周运动 绝对加速度大小绝对加速度大小 rrraavrvrrvrrva22222方向指向圆心o点从上式中可以看出，动点的绝对

17、加速度除了牵连加速度r2和相对加速度两项外，还多了一项，可见牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。上述虽然是在牵连运动为转动的特殊例子导出的，但对牵连运动为一般运动的情况也适用。 科氏加速度的计算科氏加速度的计算rekva2 : 与vr间的夹角方向垂直于与vr所决定的平面，它的指向按右手定则决定如图 sin22rerekvvasinrrvv 式中：将vr顺着 的转向转过90，即得ak的方向 若vr ，则有 0ka若vr ，则有rkva2例例 7 7- -1 1，图中偏心圆凸轮的偏心距，图中偏心圆凸轮的偏心距eoc ，半半 径径er3，设凸轮以匀角速设

18、凸轮以匀角速 oo绕轴绕轴oo转动，转动， 试求试求ococ与与caca垂直的瞬时，杆垂直的瞬时，杆abab的的加加速度。速度。 a为动点，动坐标系固结在凸轮上 绝对运动：沿ab方向的直线运动 aaaa 方向已知，沿ab 相对运动：以c为圆心的圆周运动331622ornrervara方向已知，垂直于ac方向 牵连运动：动坐标系以o为定轴转动 222ooneeoaa0ea动坐标系为转动 2382orokeva根据加速度合成定理knrneeaaaaaa将此矢量方程向ox轴投影 222292383331632coscosooooaknrneaeeeeaaaaaaa为负值，说明aa的方向与图假设的方向相反。在此瞬时，aa的实际方向铅直向下。 1.判断题目是点的合成运动还是刚体平面运动；关键在于看动点与刚体之间有没有相对滑动。若有，是点的合成运动；若没有，是刚体平面运动点的合成运动解题原则 之所以用“看动点与刚体之间有没有相对滑动” 来判断题目是点的合成运动还是是刚体平面运动，主要是因为滑动轨迹比较好判定。但是这一条也不