2021学年高中数学 第一章 数列 1.4 数列在日常经济生活中的应用 北师大版必修5ppt课件

1、4数列在日常经济生活中的运用1.储蓄利息的计算方法储蓄利息的计算方法(1)单利单利:单利的计算是仅在原有本金上计算利息单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的对本金所产生的利息不再计算利息利息不再计算利息.其公式为其公式为:利息利息=本金利率存期本金利率存期.以符号以符号P代表本金代表本金,n代表存期代表存期,r代表利率代表利率,S代表本金与利息和代表本金与利息和(以下以下简称本利和简称本利和),那么有那么有S=P(1+nr).(2)复利复利:把上期末的本利和作为下一期的本金把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本在计算时每一期本金的数额是不同的金的数额是不同的.复利的计算

2、公式是复利的计算公式是S=P(1+r)n.【做一做【做一做1】某人从】某人从2021年年1月月1日起日起,每年的这一天都到银行存一每年的这一天都到银行存一年定期存款年定期存款a元元,假设年利率假设年利率r坚持不变坚持不变,且每年到期的存款将本金且每年到期的存款将本金和利息都再存入新一年的定期中和利息都再存入新一年的定期中,到到2020年年1月月1日日,将一切的存款、将一切的存款、利息全部取回利息全部取回,他可取回的钱数为他可取回的钱数为.2.三种银行储蓄业务模型三种银行储蓄业务模型(1)“零存整取模型零存整取模型银行有一种叫作银行有一种叫作“零存整取的储蓄业务零存整取的储蓄业务,即每月定时存入

3、一笔即每月定时存入一笔一样数目的现金一样数目的现金,这是零存这是零存;到商定日期到商定日期,可以取出全部本利和可以取出全部本利和,这是这是整取整取.规定每次存入的钱不计复利规定每次存入的钱不计复利.(暂不思索利息税暂不思索利息税) 【做一做2】某人从1月起每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部本金和利息,知月利率是0.165%,按单利计息,那么实践取出多少钱? 解:实践取出的钱等于本金+利息.到12月最后一天取款时,第1个月存款利息为100120.165%,第2个月存款利息为100110.165%,第11个月存款利息为10020.165%,第12个月存款利息为10010.165%,所

4、以S12=100120.165%+100110.165%+10020.165%+10010.165%=1000.165%(1+2+3+12)所以实践取出10012+12.87=1 212.87(元).(2)“定期自动转存模型银行有另一种储蓄业务为“定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,假设储户不取出本利和,那么银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.(3)“分期付款模型分期付款是一种新的付款方式,就是可以不一次性将款付清,就运用商品(或贷款),还款时可以分期将款逐渐还清;分期付款中,普通规定每次付款额一样,每期付款的时间间隔一样;分期付款中,每月按利息复

5、利计算,即上月(年)的利息要计入下月(年)的本金;分期付款中,贷款(或商品价值)与每期付款额在贷款付清之前,会随时间推移而不断增值,即分期付款的总额高于一次性付款的总额;分期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和,等于商品售价及从购物到最后一次付款时的利息之和,即每期付款产生的本利和的累加与商品的付款总额相等,处理分期付款问题的数学方法就是等比数列求和.这也是等比数列在日常经济生活中的一个重要运用.思索辨析判别以下说法能否正确,正确的在后面的括号内打“,错误的打“.(1)银行储蓄中,本金与月利率均一样,存期1年,那么运用复利计算应大于运用单利计算所得的本利和. ()(2)某产品方案每年本钱

6、降低m%,假设三年后本钱为a元,那么如今本钱是a(1+m%)3. ()(3)某工厂消费总值延续两年的年平均增长率依次为p%,q%,那么这两年的平均增长率是 .()答案:(1)(2)(3)探求一探求二探求三规范解答【例【例1】某产品按质量分某产品按质量分10个档次个档次,消费最低档次的产品的利润是消费最低档次的产品的利润是8元元/件件,每提高一个档次每提高一个档次,利润每件添加利润每件添加2元元,同时每提高一个档次同时每提高一个档次,产产量减少量减少3件件,在一样的时间内在一样的时间内,最低档次的产品可消费最低档次的产品可消费60件件.试问试问:在在一样的时间内一样的时间内,应选择消费第几档次的

7、产品可获得最大利润应选择消费第几档次的产品可获得最大利润?(设最设最低档次为第低档次为第1档次档次)分析分析:由于总利润由于总利润=第第n档次的件数第档次的件数第n档次每件的利润档次每件的利润,因此需求因此需求求出第求出第n档次的件数及第档次的件数及第n档次的利润的表达式档次的利润的表达式.探求一探求二探求三规范解答解:设在一样的时间内,从低到高每档次产品消费的件数分别为a1,a2,a10(单位:件),对应每档次产品的利润分别为b1,b2,b10(单位:元),那么an,bn均为等差数列,且a1=60,d=-3,b1=8,d=2,an=60-3(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2

8、n+6,利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864元.答:在一样的时间内,消费第9档次的产品可以获得最大利润.探求一探求二探求三规范解答反思感悟1.在实践问题中,假设变化量在每次添加(或减少)的过程中不反复计算,添加(或减少)的量一样,且与正整数有关,那么可以建立等差数列模型处理问题.2.建立等差数列模型后,可以根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d与前n项和公式探求一探求二探求三规范解答 变式训练1教育储蓄是一种零存整取的定期储蓄存款方式,它享用整存

9、整取利率,利息免税.教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以上的学生.假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.325.按规定,3年期教育储蓄的存款总额不得超越2万元. (1)欲在3年后一次性支取本利和2万元,每月大约需存入多少元?(2)零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元?此时3年后本利和约为多少?(准确到1元)探求一探求二探求三规范解答解:(1)设每月存入A元,那么有A(1+2.325)+A(1+22.325)+A(1+362.325)=20 000.探求一探求二探求三规范解答(1)设n年内(本年度为第1年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式.(2)至少

10、经过几年旅游业的总收入将超越6 400万元?分析: (1)从题意出发,从条件中提取有用的信息, 构造出等比数列,可用等比数列的前n项和公式求解. (2)令bn6 400,解不等式即可.探求一探求二探求三规范解答探求一探求二探求三规范解答探求一探求二探求三规范解答反思感悟1.在实践问题中,假设变化量每次添加(或减少)的百分数一样,且与正整数有关,那么可以建立等比数列模型处理问题.2.建立等比数列模型后,可利用等比数列的通项公式an=a1qn-1=amqn-m,前n项和公式探求一探求二探求三规范解答变式训练变式训练2某厂去年产值为某厂去年产值为a,方案在方案在5年内每年比上一年产值增年内每年比上一

11、年产值增长长10%,从今年起五年内这个工厂的总产值是从今年起五年内这个工厂的总产值是()A.1.14 aB.1.15 aC.10(1.15-1)aD.11(1.15-1)a解析解析:由题意知由题意知,从今年起从今年起,这个工厂每年的产值构成以这个工厂每年的产值构成以1.1a为首为首项项,1.1为公比的等比数列为公比的等比数列.答案答案:D探求一探求二探求三规范解答【例【例3】小张教师年初向银行贷款】小张教师年初向银行贷款2万元用于买车万元用于买车,银行贷款的银行贷款的年利率为年利率为10%,按复利计算按复利计算.假设这笔贷款要分假设这笔贷款要分10年等额还清年等额还清,每年每年年初还一次年初还

12、一次,并且从借款后次年年初开场归还并且从借款后次年年初开场归还,问每年应还多少问每年应还多少元元?(准确到准确到1元元)分析分析:从以下两点思索从以下两点思索:(1)每年按复利计算每年按复利计算,即本年利息计入次即本年利息计入次年的本金生息年的本金生息;(2)分期付款分期付款,各期所付的款以及到最后一次付款时各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计所生的利息合计,应等于应等于2万元及万元及2万元到最后一次付款时所生的利万元到最后一次付款时所生的利息之和息之和.探求一探求二探求三规范解答解:设每年还款x元,需10年还清,那么每年还款及利息情况如下:第10年还款x元,此次欠款全部还清;第9年

13、还款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元;第8年还款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2元;第1年还款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9元.根据题意可得:x+x(1+10%)+x(1+10%)2+x(1+10%)9=20 000(1+10%)10,每年应还款3 255元. 探求一探求二探求三规范解答反思感悟分期付款的相关规定:(1)分期付款中,每期的利息均按复利计算,分期付款中规定每期所付款额一样;(2)各期所付款额连同到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和(此为

14、列方程的根据);(3)每期付款增值后的款数及售价增值后的款数均按S=P(1+r)n来计算,其中P代表本金(可以是每期付款额x,也可以是商品售价),n代表存期(月数或年数),r代表利率,S代表本利和.探求一探求二探求三规范解答变式训练3某百货公司采用分期付款的方法销售家用空调机,售价为15 000元,分6个月付清,每月付一次,月利率以6%的单利计算,问购买者每月应付元(不满1元的舍去). 解析:设每月应付款为x元,那么自第一月至付清本利合计为x(1+0.065)+x(1+0.064)+x(1+0.061)+x=x6+0.06(5+4+3+2+1)=6.9x.另一方面,15 000元在5个月的本利

15、合计为15 000(1+0.065)=19 500,6.9x=19 500,即x2 826(元).答案:2 826探求一探求二探求三规范解答递推数列模型在实践中的运用【典例】某地域位于沙漠边缘地域,人与沙漠进展长期不懈的斗争,到2021年底全地域的绿化率已到达30%,从2021年开场,每年将出现以下变化:原有沙漠面积的16%将栽上树,改造为绿洲,同时,原有绿洲面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.分析:此题可以先建立递推数列关系,然后构呵斥所证明的数列构造,再间接求出an,进而求出所需年数.探求一探求二探求三规范解答探求一探求二探求三规范解答探求一探求二探求三规范解答反思提升假设某一个量,每一期以一个

16、固定的百分数添加(或减少),或以一个固定的详细量添加(或减少)时,我们称这样的模型为生长模型,如分期付款、森林生长与砍伐、沙漠治理等问题就属于生长模型.探求一探求二探求三规范解答变式训练一牧羊人赶着一群羊经过36个关口,每过一个关口,守关口人将拿走当时羊的一半,然后退还一只,过完这些关口后,牧羊人只剩下2只羊,问原来牧羊人赶了多少只羊? 解:设过第n关后牧羊人剩下an+1只羊,第n关前的羊数为an只,即2an+1=an+2(n=1,2,3,).由递推关系式得an=2(an+1-1),将a36=2代入上式可得a35=a34=a1=2,那么a1即为牧羊人原来羊的只数2只.123451.有一套丛书共

17、有一套丛书共6册册,方案方案2021年出版第一册年出版第一册,每两年出版一册每两年出版一册,那么那么出版齐这套丛书的年份是出版齐这套丛书的年份是()A.2024 B.2026C.2028D.2029解析解析:由知得出版齐这套丛书的年份是由知得出版齐这套丛书的年份是2021+(6-1)2=2026.答案答案:B123452.某种细胞开场有某种细胞开场有2个个,1小时后分裂成小时后分裂成4个个,2小时后分裂成小时后分裂成8个个,3小小时后分裂成时后分裂成16个个,按此规律按此规律,6小时后细胞的个数是小时后细胞的个数是()A.63B.64C.127D.128解析解析:细胞分裂的个数依次构成等比数列

18、细胞分裂的个数依次构成等比数列,记为记为an,那么那么a1=2,公比公比q=2,那么那么a7=a1q6=226=128.答案答案:D123453.某种产品平均每三年价钱降低某种产品平均每三年价钱降低,目前售价目前售价640元元,那么那么9年后此年后此产品的价钱为元产品的价钱为元.解析解析:由题意知由题意知9年后的价钱为年后的价钱为答案答案:270123454.夏季高山上气温从山脚起每升高夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低约米降低约0.7,知山顶气温知山顶气温是是14.1,山脚的气温是山脚的气温是26,那么山顶相对于山脚的高度约是那么山顶相对于山脚的高度约是米米.解析解析:山顶气温与山脚气温相差山顶气温与山脚气温相差26-14.1=11.9.气温每升高气温每升高100米降低约米降低约0.7,山顶相对于山脚的高度约为山顶相对