四边形视图与投影

1、 【复习范围】1多边形2平行四边形3矩形、菱形、正方形4梯形【基础知识梳理】1课标要求：（1）了解多边形的内角和和外角和公式，了解正多边形的概念（2）掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念和有关性质及判别方法（3）了解梯形及其有关概念，理解等腰梯形的性质及判别方法（4）了解四边形的不稳定性及其简单应该了解特殊四边形之间的关系（5）能用三角形、四边形和正六边形进行简单的镶嵌设计2基础知识（1）多边形的内角和： （2）多边形的外角和：360（3）正多边形：各边相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形（4）平行四边形、矩形、菱形、正方形有关性质：（5）平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定： 【重难

2、题解析】【例1】 有一个矩形ABCD纸片，长AD=4，宽AB为2，点N在BC上，且BN:NC=3:1，若将矩形纸片沿AN对折后，设AD交BC于M，点D、C分别落在DC 位置（1）求ABM的面积； （2）连结ND，求tanNDC的值分析：要求ABM的面积，只要求出BM即可解：由BN：NC=3：1，BN+NC=4，得BN=3，NC=11=2=3，得AM=MN，设AM=MN=x，BM=BNMN=3x在RtABM中， DCN=90，DC=DC=2，NC=NC=1tanNDC= 【常见疑难问题点悟】【例2】 如图，在梯形ABCD中，ABCD，中位线EF=7cm，对角线ACBD，BDC=30，求梯形的高线

3、AH 分析：求解有关梯形类的题目，常需添加辅助线，把问题转化为三角形或四边形来求解，添加辅助线一般有下列所示的几种情况： 解：过A作AMBD，交CD的延长线于MABCD，四边形ABDM是平行四边形DM=AB，AMC= BDC=30又中位线EF=7cm，CM=CD+DM=CD+AB=2EF=14cm又ACBD，ACAMAC= CM=7cmAHCD，ACD=60，AH=ACsin60= 【典型问题举例】 【例3】 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA至E，延长DC至F，使BE=DF，AF交BC于H，CE交AD于G. 求证：E=F解：四边形ABCD是平行四边形， ABCD，AB=CD ，BE=

4、DFAECF四边形AFCE是平行四边形E=F【例4】 已知：E、F是平行四边形对角线AC上的两点，并且AE=CF求证：四边形BFDE是平行四边形分析：（1）利用全等证两组对边，或证对边平行；（2）连出对角线，证对角线互相平分思考：是否可以证一组对边平行且相等？ 证明：ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CDBAE=DCFAE=CF，ABECDFBE=DF，BEA=DFCBEO=DFOBEDF四边形BFDE是平行四边形思考：若证BF=DE或证BEDF应如何证明【拓展延伸探究】 【例5】 已知，如图，矩形纸片长为8cm，宽为6cm, 把纸对折使相对两顶点A，C重合，求折痕的长解：设折痕为EF，连

5、结AC，AE，CF，若A，C两点重合，它们必关于EF对称，则EF是AC的中垂线，故AF=FC设AC与EF交于点O，AF=FC= xcm，则FD=ADAF=8x在RtCDF中， ， AF=FC= ， 作FHBC于H，在RtFEH中， ， 答：折痕的长为7.5cm注：解“翻折图形”问题的关键是要认识到对折时折痕为重合两点的对称轴，会形成轴对称图形本题通过设未知数，然后根据图形的几何元素间的关系列方程求解的方法，是数学中常用的“方程思想”一般的折叠计算问题，都转化为解直角三角形或相似三角形的问题【中考热点连接】 【例6】 （2003昆明）已知：如图，矩形ABCD中，AE=DE，BE的延长线与CD的延

6、长线相交于点F，求证： 解：BAE=FDE=90，AE=DE，AEB=DEF，BAEFDE，AB=DF四边形ABCD是矩形，AB=DC，FC=2AB ， 【例7】（2005年北京）已知，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，点E、F分别在AB、DC上，且BE=2EA，CF=2FD求证：BECCFB 证明：在梯形ABCD中， ADBC，AB=DC， ABCDCB BE=2EA，CF=2FD， BE= AB，CF DC， BE=CF EBCFCB BECCFB 【例8】（2007上海）如图，在梯形 中， ， 平分 ， ，交 的延长线于点 ， （1）求证： ；（2）若 ， ，求边 的长证明：（1）

7、 ， 平分 ， ， 又 ， 梯形 是等腰梯形，即 （2）解：如图3，作 ， ， 垂足分别为 ，则 在 中， ， 又 ，且 ， ，得 同理可知，在 中， ， 又 ， ， ， ， ，四边形 是平行四边形， 【本周强化训练】1已知平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点求证：EB=DF2画平行四边形ABCD，使B=45，AB=2cm，BC=3cm 3证明平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和 4已知平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，B=30求平行四边形ABCD的面积 5已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别交于点E、F求证：O

8、E=OF答案1分析：（1）证明ABECDF；（2）判定四边形BFDE是平行四边形，利用对边相等；（3）引导学生寻找简便的证明方法证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBCED= AD，BF= BC，ED=BF，EDBF四边形EBFD平行四边形EB=DF2分析：（1）以A、B、C为顶点，画出满足条件的三点；（2）利用对边相等，顶点D 画法：1、画B=45；2、在B的两边上分别截取BA=2cm，BC=3cm3、过A、C分别AEBC，CFAB，AE、CF相交于点4、则四边形ABCD为所求平行四边形3分析：构造直角三角形，利用勾股定理证明；过A、D作BC的垂线AE、DF，E、F为垂足在RtA

9、BE和RtDFC中AB=CD，AE=DF，ABEDCF，BE=CFAC2+BD2=（BC2BE2）+AE2+（BC+CF）2+DF2=（BCBE）2+AE2+（BC+BE）2+AE2=2（BC2+BE2+AE2）=2（BC2+AB2）=AB2+BC2+CD2+DA24分析：AE为AB的一半，为4cm，所以平行四边形的面积为40cm25分析：将OE、OF放在OAE和OCF中证三角形全等【目标要求】1会画基本几何体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型2了解正方体的平面展开图，了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图识别立体图形3了解基本

10、几何体与其三视图、展开图（球除外）之间的关系.【例题分析】 【例1】 下列图形不是正方体的平面展开图的是（ ） 分析：在正方体的展开图中有2种形式一定不是正方体的展开图，就是如上图选项D所示的“田”字形，还有就是如下图中的（3）“U”字形解：D思考 解答：（1）（5）（7）（10）总结：六个相连的正方形组成的平面图形若满足下列条件者，便可折叠成正方体： （1） 每间隔一个正方形中的两个格正好可以填互为相反数的数； （2） 与一个数所在正方形间隔一个正方形处无正方形，而沿这个方向垂直的方向平移1格或3格处，正好有正方形可填其相反数的平面图【例2】（1）由几个小正方体组成的几何体的俯视图如图1所示

11、，小正方体中的数字和字母表示叠在该位置上的小正方体的个数.请你根据正视图确定x、y的值，并说明你的理由.（2）如图2，是一个由小正方体搭成的立体图形的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置上的小立方体块的个数，请画出它的正视图与左视图. 解：（1）由俯视图画正视图时，每一列所画的正方形的个数应该是俯视图中对应列的最大的数字所以x=4，y=2或y=1 （2）【例3】（2007年武汉）如图，桌上放着一摞书和一个茶杯，从正面看的图形是（ ）解：选A【例4】（2007河北）如图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为cm3（

12、计算结果保留 ）解：由于三个几何体的体积相同，而两个这样的几何题就可以组成一个圆柱，那么两个圆柱体的体积为 ，所以一个几何体的体积为 ，三个几何体的体积为 【练习题】1如图，某种牙膏上部的圆的直径为3cm，下底边的长度为4.8cm现要制作长方体的牙膏盒，牙膏盒的上面是正方形，以下数据作为正方形边长制作牙膏盒，既节省材料又方便取放的是（ ） （ ） （A）24cm （B）3cm （C）3.6cm （D）4.8cm2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，连结AB1、AC、B1C，则三角形AB1C的形状是. 3如图，要给这个长、宽、高分别为x,y,z的箱子打包，其打包方式如图所示，则打包带的长至

13、少要（单位：mm用含x、y、z的代数式表示）4如图，是由棱长为1的小正方体摆成的图形，请寻求规律.图共一个立方体，其中1个看得见，0个 看不见；图共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；图共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；，按这个顺序摆放，则图中看不见的小立方体有个. 5如图，其中几何体的正视图是（ ） 6如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三形、正方形和圆，现用一把剪dao沿着它的棱剪开成一平面图形，则展开图是（ ） 7由一些大小相同的小正方体组成的简单几何体的正视图和俯视图如图所示.（1）请你画出这个几何的一种左视图.（2）若组成这个几何体的的小正方体的块数

14、为n，则n的所有可能值为.8如图，棱长是1的小正方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积为（ ）（A）36 （B）33 （C）30 （D）279如图，从边长为10的正方体的一顶点处挖去一个边长为1的小正方体，则剩下图形的表面积为（ ） （A）600 （B）599 （C）598 （D）59710一个画家有14个边长为1的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（ ）（A）19 （B）21 （C）33 （D）3411如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁行走的最短距离是（ ）（A）

15、（B）3 （C）5 （D）2+ 12如图，一个正方体，每个面上分别写有A、B、C、D、E、F，请你根据这个正方体的不同摆法，写出相对两个面的字母，分别为.13如图，将一圆形纸片对折后再对折，得图1，然后沿虚线剪下，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ） 答案1C 2等边三角形 32x+4y+6z 4 5D 6C 7（1） （2）8，9，10，118C9A 10C 11A 12AE、DB、CF 13C一、选择题（每小题3分，共24分）1（2007福建福州）下列命题中，错误的是 （ ）A矩形的对角线互相平分且相等B对角线互相垂直的四边形是菱形C等腰梯形的两条对角线相等 D等腰三角形底边上的

16、中点到两腰的距离相等2（2007山东日照）如图，在周长为20cm的ABCD中，ABAD，AC、BD相交于点O，OEBD交AD于E，则ABE的周长为 （ ）A4cm B6cm C8cm D10cm 3（2007山东东营）如图2，四边形ABCD为矩形纸片把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF若CD6，则AF等于（ ）A B C D 4（2007浙江义鸟）在下列命题中，正确的是 （）A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形C有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形5（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四

17、边形一定是 （ ）A平行四边形 B菱形 C矩形 D正方形 6（2007浙江绍兴）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为BC的中点，则下列式子中一定成立的是 （ ）AAC=2OE BBC=2OE CAD=OE DOB=OE7（2007四川眉山）下列命题中的假命题是 （ ） A一组邻边相等的平行四边形是菱形B一组邻边相等的矩形是正方形C一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形8（2007天津市）在梯形ABCD中，AD/BC，对角线ACBD，且 cm，BD=12cm，则梯形中位线的长等于 （ ）A7.5cm B7cm C6.5cm D6cm

18、二、填空题（每小题3分，共18分） 9（2007天津）已知矩形ABCD，分别为AD和CD为一边向矩形外作正三角形ADE和正三角形CDF，连接BE和BF，则 的值等于10（2007河北省）如图5，若ABCD与EBCF关于BC所在直线对称，ABE90，则F 11（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是_ 12（2007湖南怀化）如图6，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请写出其中一种四边形的名称 13菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为14（2007甘肃陇南）如图，矩形 的对角线 和 相交于点 ，过点 的直线分别交 和 于点E、F，

19、，则图中阴影部分的面积为三、解答题（每小题8分，共48分）15（2007浙江杭州市）我们学习了四边形和一些特殊的四边形，右图表示了在某种条件下它们之间的关系 如果，两个条件分别是：两组对边分别平行；有且只有一组对边平行那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件 16（2007浙江临安）已知：如图，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF求证：（1）ADFCBE；（2）EBDF 17（2007恩施自治州）如图7，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形 18（2007云南双柏）如图，在梯形纸

20、片ABCD中，AD/BC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE求证：四边形CDCE是菱形 19（2007浙江台州）把正方形 绕着点 ，按顺时针方向旋转得到正方形 ，边 与 交于点 （如图）试问线段 与线段 相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想 20（2007甘肃陇南）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想四、解答题（每小题10分，共30分）21（2007淄博）已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的

21、平分线，CEAN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明 22（2007四川资阳）如图22-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PEBC于点E，PFCD于点F（1）求证：BP=DP；（2） 如图22-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论23（200

22、7南充）如图， 等腰梯形ABCD中，AB15，AD20，C30点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断AMN的形状 答案：一、12345678BDACABDC二、91 1045 11平行四边形 12平行四边形、矩形、等腰梯形（三种中任选一种） 135 143三、15解：有一个内角为直角；一组邻边相等；一组邻边相等；有一个内角为直角；两腰相等；一条腰垂直于底边16证明：（1）AE=CF， AE+EF=CF+FE，即AF=CE 又ABCD是平行四边形，AD=

23、CB，ADBC DAF=BCE 在ADF与CBE中 ADFCBE（SAS） （2）ADFCBE DFA=BEC DFEB 17证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD又AE=CF，OE=OF四边形BFDE是平行四边形18证明：根据题意可知 则 AD/BC， CDE=CEDCDE=CED CD=CE CD=CD=CE=CE， 四边形CDCE为菱形19解： 证法1：连结 ， 四边形 ， 都是正方形 由题意知 ，又 ， 证法2：连结 四边形 都是正方形， 由题意知 20（1） 证明： 如图， AD=CD，DE=DG，ADC=GDE=90o， 又 CDG=90o +ADG=ADE， A

24、DECDG AE=CG （2）猜想： AECG 证明： 如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N ADECDG， DAE=DCG 又 ANM=CND， AMNCDN AMN=ADC=90o AECG 四、 21（2007淄博）已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明（1）证明：在A BC中， AB=AC，ADBC BAD=DAC AN是ABC外角CAM的平分线， DAE=DAC+CAE= 180=90又 ADBC，C

25、EAN， =90， 四边形ADCE为矩形 （2）说明： 例如，当AD= 时，四边形ADCE是正方形 证明： AB=AC，ADBC于D DC= 又 AD= ， DC=AD由（1）四边形ADCE为矩形， 矩形ADCE是正方形22（1）解法一：在ABP与ADP中，利用全等可得BP=DP解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP（2）不是总成立当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP DCBP，此时BP=DP不成立（3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等 在图22-1中，可证四边形PECF为正方形， 在BEC与DFC中，可证BECDFC 从而有 BE=DF23解：（1）过

26、点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P 由已知，AMx，AN20x四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DC30，PAND30在RtAPN中，PNANsinPAN （20x），即点N到AB的距离为 （20x） 点N在AD上，0x20，点M在AB上，0x15，x的取值范围是0x15 （2）根据（1），SAMN AMNP x（20x） ） 0，当x10时，SAMN有最大值 又S五边形BCDNMS梯形SAMN，且S梯形为定值，当x10时，S五边形BCDNM有最小值 当x10时，即NDAM10，ANADND10，即AMAN则当五边形BCDNM面积最小时，AMN为等腰三角形 一、选择题（每小题3分，共

27、45分）1（2007山东淄博）如图（1）放置的一个机器零件，若其主视图如图（2），则其俯视图是 （ ） 2（2007山东枣庄）一物体及其正视图如下图所示，则它的左视图与俯视图分别是右侧图形中的（）(A) (B) (C) (D) 3（2007山东济宁）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是 （ ） 4（2007山东青岛）如图所示圆柱的左视图是 （ ）5（2007重庆）将如图的RtABC绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图是 （ ） A B C D6（2007浙江金华）如图是小玲在九月初九“重阳节”送给她外婆的礼盒，图中所示礼盒的主视图是（ ）7（2007湖南岳阳）下面的三个图形是某几何

28、体的三种视图，则该几何体是 （ ） A正方体 B圆柱体 C圆锥体 D球体8（2007浙江义乌）下面四个几何体中，主视图、左视图、俯视图是全等图形的几何图形是 （ ）圆柱 正方体 三棱柱 圆锥 9（2007湖南怀化）一个几何体是由若干个相同的正方体组成的，其主视图和左视图如图所示，则这个几何体最多可由多少个这样的正方体组成？ （）12个 13个 14个 18个10（2007四川成都）右图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为 （）11（2007浙江台州）下图几何体的主视图是 （ ） 12（2007甘肃白银等）如图所示的几何体

29、的右视图（从右边看所得的视图）是 （ ）13（2007浙江宁波）与如图所示的三视图对应的几何体是 （ ） 14（2007江苏扬州）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是 （） 正方体 球圆锥 圆柱15（2007四川绵阳）下列三视图所对应的直观图是 （ ） A B C D二、填空题（每小题3分，共18分） 16（2007浙江丽水）如果一个立体图形的主视图为矩形，则这个立体图形可能是（只需填上一个立体图形）17（2007浙江温州）星期天小川和他爸爸到公园散步，小川身高是160cm，在阳光下他的影长为80cm，爸爸身高180cm，则此时爸爸的影长为cm18（2007福建龙岩）当太阳光与地面成 角时

30、，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.16m，则玲玲的身高约为m（精确到0.01m）19（2007湖北潜江）小华在距离路灯6米的地方，发现自己在地面上的影长是2米，如果小华的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度是米 20（内蒙古赤峰）某同学的身高为1.4米，某一时刻他在阳光下的影长为1.2米，此时，与他相邻的一棵小树的影长为3.6米，则这棵树的高度为米21（2007辽宁大连）如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2的竹竿做测量工具移动竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为_m三、解答题（每小题11分，共33分）22（2007湖

31、南益阳）在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度在阳光下，测得身高1.65米的黄丽同学BC的影厂BA为1.1米，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1米（1）请你在图7中画出此时教学楼DE在阳光下的投影DF （2）请你根据已测得的数据，求出教学楼DE的高度（精确到0.1米） 23（2007浙江金华）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律如图，在同一时间，身高为 的小明（AB）的影子 长是 ，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得 （1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置 ；（2）求路灯灯泡的垂直高度 ； （3）如果小明沿线段 向小颖（点 ）走去，当小明走到 中点 处时，求其影子 的长；当小明继续走剩下路程的 到 处时，求其影子 的长；当小明继续走剩下路程的 到 处，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的 到 处时，其影子 的长为m（直接用 的代数式表示） 24（2007广西南宁）如图11所示，点 表示广场上的一盏照明灯（1）请你在图中画出小敏在照明灯 照射下的影子（用线段表示）；（2）若小丽到灯柱 的距离为4.5米，照明灯 到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯 的仰