传染病数学建模

1、第30题传染病传播的数学模型由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。在研 究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在将某一地区， 某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性：设s表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的k人数，h表示在开始观察 后第k大传染病人的人数，i表kk示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者) 的人数，那么s+1=s-0.01s(1) kkk(2)h+1=h -0.2h + 0.01s kkkki+1=i+0.2h(3) kkk 其中

2、(1)式表示从第k大到第k+ 1天有1 %的易受感染者得大的传k+1式表示在第(2)病而离开 了易受感染者的人群；染病人的人数是第k大的传染病人的人数减去痊愈的人数 0.2h(假设该病的患病期为5 k,(3)式表示在第k+1大免疫者的人数是第k大免疫者的人数加上第k天后病人痊 愈的人数。将(1), (2)和(3)式化简得如果已知s, h, i的值，利用上式可以求得 s, h, 10001i的值，将这组值再代入 上式，又可求得s, h, i的值，2221这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出 各组s, h, kki的值。因此，我们把 s, h, i和s, h, i之间kkkkk+1k+11k +

3、的关系 式叫做递推关系式。现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为 将上述数据(5)代入(4)式右边得 利用递推关系式(4)反复计算得表30-1 o在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出， 人口的 出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常 复杂。所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模 型。如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可可以预例如，以利用该模型对得病人数进行预测和估计。.测若干天后传染病人的人数等等，便于有关的医疗卫生部门作出相应的决策。在上述模型

4、中，易受感染者每天的发病率是 1%,它只与易受感染者的人数s有 关。对于有些传染病，情形更k为复杂，它不仅与易受感染者的人数有关，也与 传染病人的人数h有关，因为传染病人的人数越多，传染病的发病k率也就越高。 这样，就必须将由(1), (2)和(3)式所给出的模型加以修改。这里，我们假设该地 区人口总数为n,是一个常数。于是，s=n-(h+ i)(7) kkk其中i为在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的k人数,设传染病人每天的痊愈率为a ,则i+1=i+ ah(8) kkk最后，假设每天发病人数与易受感染者的人数s和传染病k人的人数h均成正比，且其比例因子为b ,那么 kh=h+ b

5、sh-a h(9) kk+ikkk将(7), (8)和(9)组合起来，就得到关于s, h, i的递kkk 推关系式：如果已知n, a和b,并给定s, h和i,那么利用000上式就可以计算h和i, 利用h和i,由(7)式，可以计算iiiis,然后计算h和i,再计算s,这样， (10)式就给2212出了关于传染病传播的第2个数学模式。利用数学模型 或(i0)式可以对该传染病传播的情形作一些定性的分析。设as=&s表示从第k大到第k+i大易受感染者人kkik +数的变化，ai=i-i表示从 第k大到第k+ i天免疫者(或kk+ik感染后痊愈者)人数的变化。从数学模型(4)式 可以看到a s=-0.0

6、is 0 kk所以易受感染者人数只可能减少不会增加，而免 疫者人数只可能增加不会减少。现问对数学模型(i0)式来说，易受感染者的人数， 免疫者的人数以及传染病人的人数各有什么变化规律？分析：类似于数学模式(4)式的情形，分别计算a s, kai与ah(二h-h),然后加 以分析。kkk+ik解 由(i0)式得：as=n-(h+i)-n -(h+i) kk+ikk+ik=(i-i)+(h-h) k+ik+ikk =- a h- b sh+ a h kkkk 二-bshkk所以a s0, k=i , 2,，即免疫者人数只可能增加不 k 会减少。现在设a h=h-h表示从第k大到第k+i大传染病kk

7、k+i人的人数的变化，则由(i0) 式得h= b sh-a h kkkk=( b s-a )h , kk所以当(0$-0)0时，传染病人的人数第 k+i 大比第k大k增加；当(0$0)0,从而传染病人的人数增加； 当易受感染者的人数sk “小”时，可使(bs-a)0(或 b ska.门力如，打预防针等)，那么可以降低发病率从而降低b值。如果发明了一种好的药 品可以缩短患病期，那么就可以提高传染病人每天的痊愈率a。现在有这样的一个实际问题，有一个药物研究小组提出需要i00万元的科研经费 在一年内试制某种预防针剂，可使发病率降低从而使b值降低 25%,而另一个 药物研究小组提出需要100万元的科研

8、经费在一年内试制某种药品，可使痊愈率 a提高30%。如果仅有一笔100万元的科研基金可供申请，那么这笔基金应提供 给哪一个小组？ 对于用药物的方法，a =（1+30%） a, b=b,所以22由于cc,所以这笔基金应提供给试制预防针剂的 21小组。注：从传染病传播的数学模型的研究过程中，可以看到建立数学模型的一般过程。一般说来，建立数学模型有如下 6个步骤：第一步：模型准备明要深入了解该问题的实际背景，根据提出的问题，确建立模型的目的，掌握所研究对象的各种信息，如统计数据等，弄清实际对象 的特征。总之，要做好建立模型的一切准备工作。在本题中，研究者通过对某地区某种传染病传播情况的观察，积累一定

9、的数据，例如，记录一段时期内每天传染病人，易受感染者以及免疫者（或感染后痊愈者）的人数等等，也就是说，按要求统计必要的数据，目的是建立传染病传播的数学 模型，以了解传染病人的人数变化的趋势，使有关医疗卫生部门能及时采取措施， 将传播病加以有效的防治。第二步：模型假设实际问题中往往因素很多，十分复杂。因此，必须根据实际研究对象的特征和建 立模型的目的，较确切地去辨别问题的主要方面和次要方面，抓住主要因素，暂不考虑次要因素，将问题理想化、简单化。不同的简化和假设，会得到不同的模型。假设做得不合理或过分简单，会导致模 型的失败或部分失败，于是应该加以修正；假设做得过于详细，试图把复杂的实 际现象的各

10、个因素都考虑进去，将难于发现规律和建立模型。在本题中，我们只考虑上述三种人数：s, h和i的kkk变化情况，对人口的迁入和迁出，出生和死亡等因素暂不考虑。第三步：模型建立建立数学模型，通常要根据所做的假设，利用适当的数学工具，建立各量之间的 等式或不等式关系，列出表格，画出图象等表达式，用以描述客观事物的特征及 其内在联系的数学结构。建模时，首先要考虑合理性，并尽量使用简单的数学工具，简单工具不能解决问 题时，要选用较复杂的数学工具。在本题中是设法建立一个与实际数据比较吻合的关于s, h和i的递推关系式。例如，在建立数学模型（4）式kkk时，研究者通过对观察数据的分析，发现每天有1%的易受感染

11、者得病，而病人的患病期为 5天， a司为白氏 健将j）人蛀乐”关注赫夫1的二生却和（3）以描述易受感染者，传染病人和免疫者（或感染后痊愈者）的人数之间的内在 联系。第四步：模型求解建立数学模型后，实际问题已归结为相应的数学问题。接着，需要求解数学问题， 解出结果。在本题中，利用数学模式（4）式，通过直接计算，就能得到表 30-1所列的结果。 如果借助于计算机，我们还能得到更多的数据。本题的模型求解过程特别简单。对于有些问题，有时需要用到许多数学方法，甚 至现代数学的一些方法；有时需要借助于计算机，利用算法语言，编出计算机程 序，做出计算机软件等帮助求解。第五步：模型检验把模型求解的结果，经“翻

12、译”再回到实际对象中，用实际现象，数据等检验模型的合理性和适用性。如果检验结果不符合或部分不符合实际情况， 并且肯定在 模型建立和求解过程中没有失误的话，那么应该修改假设，重新建模。在本题中，我们可以检验由（4）式计算出来的理论数值与实际统计的数据是否吻 合。如果比较吻合，则模型是成功的；如果差别太大，则模型是失败的；如果部 分吻合，则可找原因，发现问题，修改模型。例如，当某种传染病每天的发病人 数既与易受感染者人数有关又与传染病人的人数有关时，那么必须把原数学模型 中的（2）式加以修改，假设传染病人的人数符合（10）式，建立新的数学模型（10）式， 然后对新的数学模型加以检验，直到检验结果令

13、人满意为止。第六步：模型应用应用的方式因问题的性质和建模的目的而不同。 例如，利用计算结果做出某些决 策进行管理与控制或预测未来的情况等， 实际上，所建模型的意义大小就是由它 的应用前景来决定的。在本题中，利用数学模型，可以预测传染病人传播的趋势，及时采取预防和治疗 措施，将病情加以控制。利用数学模型（10）式，还可以值或者降低b值的重要性，便于有关医疗卫生部门进行决策和管理。应该指出，并非所有建模过程都要经过这些步骤， 有时各个步骤之间的界限也并 不那么分明。但是，通过建模一般过程的介绍，可以对建模的意义和方法有进一 步的理解。一般说来，所谓数学模型，是指对现实世界的某一特定对象，为了某个特

14、定目的， 做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。它或者 能解释特定现象和现实性态；或者能预测对象的未来状况；或者能提供处理对象 的最优决策或控制。对于利用数学模型经过演绎、推理、计算，给出数学上的分 析、预报、决策或控制，必须经过实践的检验。对检验结果正确，或基本正确的， 就可以肯定下来，用来指导实际；对检验结果悬殊较大；或基本错误的，必须修 改模型。目前数学模型已经形成一门创造性很强的新兴学科， 它的应用已扩展到各个领域， 有人口模型、交通模型、生态模型、生理模型、经济模型、社会模型等等，气象 工作者根据关于气压、雨量、风速、的数学模型，来预报天气；发电厂运用 发电过程的数学模型，来实现计算机自动控制；在经济领域的两个数学模型，纯 交换经济的平衡价格和投入产出模型， 均获得了诺贝尔奖金。科学家们对数 学模型的研究，已获得了很多成果，对生产力的发展起了巨大的作用。练习301.科学家将某种异体单细胞注入一个白鼠体内做实验，发现一天之后，白鼠体 内该种细胞有4个，二天之后，有16个，如表30-2所示：假设白鼠体内的该种细胞超过1000000个将死亡，而注射某种药物可杀死白鼠体 内96%的该种细胞。按你的分析，试问(1)为了维持白鼠的生命，最迟什么时候 必须注射该种药物？ (2)如果白鼠体内的该种细胞达到1000000个时，第1次注 射该种药物，使白鼠体内