九年级数学中考第二轮复习—观察归纳问题北师大版

1、九年级数学中考第二轮复习观察归纳问题北师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题一：观察归纳问题二. 知识要点：通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并能对所作出的猜想进行验证，能进行一些简单的严密的逻辑论证，并有条理地表达自己的证明它是近几年各地中考所展示的一种新题型，这类试题形式多样，取材广泛，可增加试题的灵活性和趣味性，其发展前景非常广阔，分析题中提供的信息，有利于提高学生分析、解决实际问题的能力三. 考点分析：在近几年的中考试题中，图表信息的规律性问题又有所增加，涉及的范围也更广泛，提供的信息除文字表述外，往往还辅以图形，图像和表格，是如今中考命题的热点题型【典型例题】题型一

2、观察数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成所要求的格式。例1. 观察按下列顺序排列的等式：901=1；912=11；923=21；934=31；945=41；猜想：第n个等式（n为正整数）用n表示，可以表示成_解析：根据以上各等式所呈现出来的特征，可以猜想这个等式的基本结构形式为：9一个数另一个数=结果其中，“另一个数”就是等式的序号n；“一个数”比它小1，即为n1；结果的个位为1，个位以前的数字等于“一个数”n1，

3、所以结果表示为10（n1）1因此，这个等式为：9（n1）n=10（n1）1这个猜想的结果是否正确，还可以用整式运算的知识加以验证等式的左边=9n9n=10n9；等式的右边=10n101=10n9所以，等式的左边=等式的右边说明所列等式成立例2. 如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右依次记作方程组1、方程组2、方程组3、方程组n（1）将方程组1的解填入表中方程组对应方程组的解（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n和它的解直接填入表中；（3）若方程组的解是求m的值，并判断该方程组是否符合（2）中的规律？分析：对于（1）直接解方程组即可；（2）中既要观察

4、归纳方程组的规律，又要观察归纳方程组的解的规律解：（1）；（2），；（3）因为方程组的解是所以有109m=16，解得m=显然该方程组不符合（2）中的规律题型二 观察图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律其中，以图形为载体的数字规律最为常见猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论例3. 观察下图所示的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）在和后面的横线上分别写出相应的等式；（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式分析：（1）本题图形中所反映出来的数字关系式已经列出三个，以它们为例，填写后两个

5、易得1357=42；13579=52（2）可以猜想：135（2n1）=n2解：（1）1357=42；13579=52（2）135（2n1）=n2题型三 猜想数值结果当在一些条件改变的前提下，结果的数值不变，或者其变化呈现出某种特征时，可以猜想在新条件下，数值仍然不变，或者仍然按照原来的特征变化，依此猜想到结果的数值例4. 完成下列两题：（1）如图所示，直线y=x1与y轴相交于点A1，以OA1为边作正方形OA1B1C1，记作第一个正方形；然后延长C1B1与直线y=x1相交于点A2，再以C1A2为边作正方形C1A2B2C2，记作第二个正方形；同样延长C2B2与直线y=x1相交于点A3，再以C2A3

6、为边作正方形C2A3B3C3，记作第三个正方形；依此类推，则第n个正方形的边长为_分析：首先计算前几个正方形的边长，然后再寻找、总结规律，推测第n个正方形的边长根据题意点A1的坐标是（0，1），即第一个正方形的边长OA1=1；当x（OC1）=1时，y=2，则点A2（1，2），即第二个正方形的边长C1A2=2，当x（OC1C1C2）=3时，y=4，所以点A3（3，4），即第三个正方形的边长C2A3=3，依此类推，第n个正方形的边长是n解：n（2）下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：（1）；第2个数：（1）（1）（1）；第3个数：（1）（1）（1）（1）（1）；第n个数：（1）（1）（1）（1

7、）那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（ ）A第10个数B第11个数C第12个数D第13个数分析：通过观察发现，第n个数的表示题目已给出，代入得第10个数是：（1）（1）（1）（1）=（1）（1）（1）（1）（1）=；依照这一规律，第11个数是：=；第12个数是：=；第13个数是：=再比较这4个数的大小即可解：A评析：本题规律明显，但计算时技巧性较强，在比较四个数的大小时，用常规的比较方法，像通分、把分子变得相同等都会带来大量繁杂的计算比较、更快捷例5. 已知直线ln：y=x（n是不为零的自然数）当n=1时，直线l1：y=2x1与x轴和y轴分别交于点A1和B1，

8、设A1OB1（其中O是平面直角坐标系的原点）的面积为S1；当n=2时，直线l2：y=x与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设A2OB2的面积为S2，依此类推，直线ln与x轴和y轴分别交于点An和Bn，设AnOBn的面积为Sn（1）求A1OB1的面积S1；（2）求S1S2S3S6的值解：（1）令x=0，则y=1；令y=0，则x=S1=1=（2）同（1），S2=，S3=，S6=，S1S2S3S6=（1）=（1）（）（）（）=（1）=评析：一次函数的图像及性质是中考的一个重要考点，熟记相关性质是正确解题的关键本考题巧妙地借助一次函数与两坐标轴围成的图形面积，将分数技巧计算寓于其中，在考查一次函数基本性

9、质的同时，也考查了学生发现规律、巧妙计算的能力，一举三得题型四：归纳数量关系数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答例6. （1）如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB=b，CD=a，E为AD边上的任意一点，EFAB，且EF交BC于点F，某学生在研究这一问题时，发现如下事实：当=1时，有EF=；当=2时，有EF=；当=3时，有EF=当=k时，参照上述研究结论，请你猜想用k表示DE的一般结论，并给出证明；（2）现有一块直角梯形田地ABCD（如图所示），其中ABCD，ADAB，AB=3

10、10米，DC=170米，AD=70米若要将这块地分割成两块，由两农户来承包，要求这两块地均为直角梯形，且它们的面积相等请你给出具体分割方案分析：猜想的东西未必完全正确，鉴于此，本题按照“猜想证明应用”的思路来设计题目，体现了知识的产生过程、科学论证和应用价值解：（1）猜想出关系式：EF=证明：过点E作BC的平行线交AB于G，交CD的延长线于HABCD，AGEDHE，=，又EFABCD，CH=EF=GB，DH=EFa，AG=bEF，=k，可得EF=（2）在AD上取一点E，作EFAB交BC于点F，设=k，则EF=，DE=，若S梯形DCFE=S梯形ABFE，则S梯形ABCD=2S梯形DCFE，梯形A

11、BCD、DCFE为直角梯形，70=2（170+），化简得12k27k12=0，解得：k1=，k2=（舍去），DE=40，所以只需在AD上取点E，使DE=40米，作EFAB（或EFDA），即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等【方法总结】解观察归纳问题，应根据已有的图像与文字提供的信息或解题模式，进行适当的正向迁移和归纳推理，并通过计算或证明解决实际问题解题步骤一般是：（1）观察图像和所给出的数据，获取有效信息；（2）对已获信息进行加工整理，理清各变量之间的关系；（3）选取适当的数学工具，通过合理建模解决实际问题【预习导学案】（专题二：实验操作问题）一. 预习导学1. 已知一个三角形的两条

12、边长分别是1cm和2cm，一个内角为40（1）请你借助下图画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由；（3）如果题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有_个友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹2. 小华将一直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的

13、对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后，所得到的等腰直角三角形（如图n1）的一条腰长为_二. 反思1. 裁剪、折叠、拼图等动手操作问题和图形变换有何关系？2. 常见的尺规作图有哪些？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20，再前进5米后又向右转20，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（ ）A60米B100米C90米D120米2. 某校生物教师李老师在生物实验室做试验时，将水稻种子分组进行发芽试验；第1组取3粒，第2组取5粒，第3组

14、取7粒，即每组所取种子数目比该组前一组增加2粒，按此规律，请你推测第n组种子数（ ）A2n1B2n1C2nDn2*3. 对于每个非零自然数n，抛物线y=x2x与x轴交于An、Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1A2B2A2009B2009的值是（ ）ABCD*4. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、这样的数称为“正方形数”从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作是两个相邻的“三角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是（ ）A. 13=310B. 25=916C. 36=1521D. 49=1831二. 填空

15、题1. 下列图案是晋商大院窗格的一部分，其中“”代表窗纸上所贴的剪纸，则第n个图中所贴剪纸“”的个数为_2. 用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为_（用含n的代数式表示）3. 如图，图，图，图，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是_，第n个“广”字中的棋子个数是_4. 观察下列等式：（1）4212=35；（2）5222=37；（3）6232=39；（4）7242=311；则第n（n是正整数）个等式为_5. 将一些半径相同的小圆按如图所示

16、的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，依此规律，第6个图形有_个小圆 *6. 正整数按下图的规律排列请写出第20行，第21列的数字_ *7. 如图，已知RtABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1AB，垂足为A1，再过A1作A1C1BC，垂足为C1，过C1作C1A2AB，垂足为A2，再过A2作A2C2BC，垂足为C2，这样一直作下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，则CA1=_，=_ *8. 把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止那么2007，

17、2008，2009，2010这四个数中，_可能是剪出的纸片数三. 解答题1. 观察下列等式：1=1，2=2，3=3，（1）猜想并写出第n个等式；（2）证明你写出的等式的正确性2. 已知x为实数，y、z与x的关系如表格所示：Xyz3303+702184304+702295305+7023106306+702411根据上述表格中的数字变化规律，解答下列问题：（1）当x为何值时，y=43？（2）当x为何值时，y=z？*3. 在下图中，每个正方形由边长为1的小正方形组成：（1）观察图形，请填写下列表格：正方形边长1357n（奇数）蓝色小正方形个数正方形边长2468n（偶数）蓝色小正方形个数（2）在边长

18、为n（n1）的正方形中，设蓝色小正方形的个数为P1，白色小正方形的个数为P2，问是否存在偶数n，使P2=5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由【试题答案】一. 选择题1. C【小陈的行走路线是一个外角为20的正多边形，36020=18，518=90（米）】2. A3. D【当y=0时，x2x=0，解得x1=，x2=所以AnBn=（），所以A1B1A2B2A2009B2009=（1）（）（）（）=1=】4. C【“三角形数”的排列规律是1，3=12，6=123，10=1234，第n个为123n=n（n1）“正方形数”的排列规律是：1=12，4=22，9=32，16=42，第n个是n2

19、依此验证，显然选项A不正确；当n=5时，52=25，第5个“三角形数”是5（51）=15，第4个“三角形数”是10，即52=1015，所以选项B不正确；同理，62=1521，72=2128，所以选项C正确】二. 填空题1. 3n22. 2nn3. 15，2n5【图中棋子个数是123=12（12），图中棋子个数是124=12（22），图中棋子个数是125=12（32），按照这种规律，第n个图中棋子个数是12（n2）=2n5，所以第5个图中棋子个数是15】4.（n3）2n2=3（2n3）5. 46【通过观察得出规律：第1个：412；第2个：423；第3个：434；第4个：445；第6个：467=46个】6. 42