第一章《概率论与数理统计教程》课件

1、1 - 1 概率论与数理统计教程概率论与数理统计教程 （第四版）（第四版） 高等教育出版社高等教育出版社 沈恒范沈恒范 著著 1 - 2 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 大大纲纲要要求求 1 理理解解随随机机事事件件、样样本本空空间间的的概概念念，掌掌握握事事件件之之间间的的关关 系系与与运运算算。 2 理理解解频频率率的的概概念念，理理解解概概率率的的统统计计定定义义，了了解解概概率率的的 公公理理化化体体系系。 3 会会求求一一些些常常见见古古典典概概型型的的事事件件概概率率。 4 理理解解条条件件概概率率、事事件件独独立立性性的的概概念念，掌掌握握概概率率加加法法定定 理

2、理、乘乘法法定定理理、全全概概率率公公式式和和贝贝叶叶斯斯公公式式的的用用法法。 5 理理解解独独立立重重复复试试验验序序列列的的意意义义。 1 - 3 学习内容学习内容 1.1 随机事件及随机事件及样本空间样本空间 1.2 概率的几种定义概率的几种定义 1.3 事件的关系及运算事件的关系及运算 1.4 概率加法定理概率加法定理 1.5 条件概率条件概率概率乘法定理概率乘法定理 1.6 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 1.7 随机事件的独立性随机事件的独立性 1.8 独立试验序列独立试验序列 1 - 4 1.1 随机事件及其样本空间随机事件及其样本空间 1随机事件随机事件 2样本

3、空间样本空间 1 - 5 一、随机事件一、随机事件 （1）随机现象）随机现象 自然现象和社会现象可分为两大类，一类是自然现象和社会现象可分为两大类，一类是 确定现象，另一类是随机现象。确定现象，另一类是随机现象。 随机现象的统计规律性，概率与数理统计就随机现象的统计规律性，概率与数理统计就 是揭示和应用随机现象统计规律的一门学科。是揭示和应用随机现象统计规律的一门学科。 （2）随机试验与随机事件）随机试验与随机事件 为了研究随机现象，就要对客观事物进行观为了研究随机现象，就要对客观事物进行观 察，观察的过程称为实验。试验通常用察，观察的过程称为实验。试验通常用E表示。表示。 1 - 6 实例实

4、例 例例1 E1 1 E1 ：掷一枚质地均匀的硬币，观察它出：掷一枚质地均匀的硬币，观察它出 现正面和反面；现正面和反面； 例例2 E22 E2：掷一枚质地均匀的骰子，观察它出：掷一枚质地均匀的骰子，观察它出 现的点数；现的点数； 例例3 E33 E3：记录某电话交换台一小时内接到的：记录某电话交换台一小时内接到的 呼唤次数；呼唤次数； 例例4 E44 E4：一射手进行射击，直到击中目标为：一射手进行射击，直到击中目标为 止，观察他的射击情况；止，观察他的射击情况； 例例5 E55 E5：在一批灯泡里，任取一只，测试它：在一批灯泡里，任取一只，测试它 的寿命。的寿命。 。 1 - 7 上面五个

5、实验有以下的共同特性： （a）可以在相同的条件下重复进行； （b）每次试验的可能结果不止一个，但事先明 确试验的所有可能结果； （c）每次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 我们把具有上述三个特性的试验称为随机试验。 1 - 8 关于事件的基本概念关于事件的基本概念 1. 1.事件事件：随机试验的每一个可能结果：随机试验的每一个可能结果( (任何样本点集合任何样本点集合), ), 通常用字母通常用字母A A、B B，、表示。，、表示。 例如：掷一枚骰子出现的点数为例如：掷一枚骰子出现的点数为3 3 2.2.随机事件随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件

6、 例如：掷一枚骰子可能出现的点数例如：掷一枚骰子可能出现的点数 3.3.必然事件必然事件：每次试验一定出现的事件，用：每次试验一定出现的事件，用U U 表示表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 7 4.4.不可能事件不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用：每次试验一定不出现的事件，用V V 表示表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于例如：掷一枚骰子出现的点数大于6 1 - 9 二、样本空间 基本的概念 试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试 验的样本点。通常用字母 表示。 （解释基本事件） 试验的所有样本点 构成的集合 叫做样本空间，通常用字母 表示，所以，我们

7、 有 , 21 n , 21n 1 - 10 三 随机事件与样本空间的关系 随机事件或是基本事件，或是复合事件，因此随机 事件是样本空间的子集。我们说事件发生是事件中的一 个基本事件发生；反过来，如果某事件中的一个基本事 件发生，则该事件发生。 任一随机事件都是样本空间的子集，该子集中任一 样本点发生时事件即发生。由于样本空间中任一样本点 发生时，必然事件都发生，所以必然事件是所有样本点 构成的集合；这就是说，必然事件就是样本空间 由于样本空间中任一样本点发生时，不可能事件都 不发生，所以不可能事件不包含任何样本点，即不可能 事件是空集。 1 - 11 1.2 频率、概率统计定义及古典概型 主

8、要内容 一、概率的统计定义 二、概率的古典定义 古典概型 1 - 12 一、频率、概率的统计定义 如果在相同的条件下将试验如果在相同的条件下将试验E E重复进行了重复进行了n n次，其中随次，其中随 机事件机事件A A恰好发生了恰好发生了mm次，则比值次，则比值mm/ /n n称为事件称为事件A A发生的发生的相相 对频率，简称频率。对频率，简称频率。 m m 又称为事件又称为事件A A发生的发生的频数频数。 记为记为 （2.1)2.1) 频率的基本性质频率的基本性质： a. a. 对任一事件对任一事件A A，有，有 0 0 1; 1; b. b. =1;=1; c. c. =0.=0. 能否

9、用频率表示事件发生的可能性大小？能否用频率表示事件发生的可能性大小？ n m Af n )(Afn )(Afn )(Afn 1 - 13 频率的稳定性频率的稳定性 试验演示试验演示 频率具有波动性，当重复的试验次数较少时，频率具有波动性，当重复的试验次数较少时， 频率波动的幅度较大，随着重复试验次数的频率波动的幅度较大，随着重复试验次数的 增多，频率波动的幅度越来越小，逐渐在某增多，频率波动的幅度越来越小，逐渐在某 个常数附近摆动，这个特点就叫做频率的稳个常数附近摆动，这个特点就叫做频率的稳 定性。定性。 1 - 14 事件的概率事件的概率（实例）（实例） 例如，投掷一枚硬币，观察正面出现的频

10、例如，投掷一枚硬币，观察正面出现的频 率，随着投掷次数率，随着投掷次数 n 的增大，出现正面和的增大，出现正面和 反面的频率稳定在反面的频率稳定在1/2左右左右 试验的次数试验的次数 正面正面 /试验次数试验次数 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 0255075100125 1 - 15 概率的统计定义概率的统计定义 事件事件A的概率是对事件的概率是对事件A在试验中出现的可能在试验中出现的可能 性大小的一种度量性大小的一种度量 随着重复试验次数的增多，随机事件随着重复试验次数的增多，随机事件A A的频率的频率 围绕某一常数围绕某一常数p上下摆动，且波动的幅度上下摆动，且波动的幅

11、度 逐渐减小，趋向于稳定逐渐减小，趋向于稳定，这个频率的稳定值这个频率的稳定值 (常数常数p) 表示了事件表示了事件A A在试验中发生的可能性在试验中发生的可能性 大小，将这个介于大小，将这个介于0 0和和1 1之间的数之间的数p p称为事件称为事件A A 的的概率概率( (Probability )，记作，记作 )(Afn 1 - 16 概率的基本性质 a. a. 对任一事件对任一事件A A，有，有 00P(A)1; P(A)1; b. P b. P( (U)=1;U)=1; c. P c. P(V)=0.(V)=0. 1 - 17 概率的统计定义概率的统计定义（备注）（备注） 概率的统计定

12、义给出了一个近似计算随机事概率的统计定义给出了一个近似计算随机事 件件A的概率的方法：的概率的方法： 当试验次数当试验次数n充分大时，充分大时， 可用随机事件可用随机事件A的频率的频率 作为随机事件作为随机事件A的的 概率概率P(A) 的近似值。的近似值。 n m AfAP n )()( 随机事件的频率与已进行的试验有关，随机事件的频率与已进行的试验有关， 而随机事件的概率确是客观存在的；而随机事件的概率确是客观存在的； 在实际进行的试验中，随机事件的频率在实际进行的试验中，随机事件的频率 可以看作是它的概率的随机体现。可以看作是它的概率的随机体现。 频率与概率频率与概率 )(Afn 1 -

13、18 概率的统计定义概率的统计定义（实例）（实例） 【例【例6】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标 为为1000度。按照上个月的用电记录，度。按照上个月的用电记录，30天中有天中有12天的天的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解解：上个月：上个月30天的记录可以看作是重复进行了天的记录可以看作是重复进行了30次次 试验，事件试验，事件A表示用电超过指标出现了表示用电超过指标出现了12次。根据概次。根据概

14、 率的统计定义有率的统计定义有 1 - 19 二、概率的古典定义二、概率的古典定义 由于用概率的统计定义很难求出事件的概率，故人们想由于用概率的统计定义很难求出事件的概率，故人们想 到在一些比较简单的情况下，用某种特殊的手段求出某到在一些比较简单的情况下，用某种特殊的手段求出某 些事件的概率。些事件的概率。 满足如下两个条件的试验称为是满足如下两个条件的试验称为是古典概型古典概型： 试验的样本空间只有有限个（试验的样本空间只有有限个（N个）基本事件；个）基本事件； 所有基本事件都是所有基本事件都是等可能等可能发生的。发生的。 因具有某种对称性条件因具有某种对称性条件, ,每个样本点每个样本点

15、发生的可能性客观上完全相同发生的可能性客观上完全相同 1 - 20 概率的古典定义 设试验的样本空间总共有设试验的样本空间总共有N个等可能的基本事个等可能的基本事 件，其中有且仅有件，其中有且仅有M个是包含于随机事件个是包含于随机事件A的，的， 则随机事件则随机事件A所包含的基本事件数所包含的基本事件数M与基本事与基本事 件总数件总数N的比值叫做的比值叫做随机事件随机事件A的概率的概率，记作，记作 (2.18) 1 - 21 概率的古典定义概率的古典定义 （备注） 古典概型的判断方法古典概型的判断方法， 古典概率的计算步骤：古典概率的计算步骤： 弄清试验与样本点弄清试验与样本点 数清样本空间与

16、随机事件中的样本点数数清样本空间与随机事件中的样本点数 列出比式进行计算。列出比式进行计算。 注意注意： ： 1 - 22 概率的古典定义概率的古典定义 （实例） 【例【例7】从一批由从一批由9 9件正品，件正品，3 3件次品组成件次品组成 的产品中，的产品中， （1 1）一次抽取）一次抽取5 5件，求其中恰有两件，求其中恰有两 件次品的概率；件次品的概率； （2 2）无放回地抽取）无放回地抽取5 5次，每次抽次，每次抽1 1 件，求其中恰有两件次品的概率；件，求其中恰有两件次品的概率； （3 3）有放回地抽取）有放回地抽取5 5次，每次抽次，每次抽1 1 件，求其中恰有两件次品的概率。件，求

17、其中恰有两件次品的概率。 1 - 23 计算结果 解:(1)设所求事件的概率为P(A)，显然基本事件总数为 ， A包含的基本事件数为 ，所以 （2）设所求事件的概率为P(B)，因为考虑顺序，所以基 本事件总数为 ，B包含的基本事件数为 ，所以 （3）设所求事件的概率为P(C), 基本事件总数 ，C包含 的基本事件数 ，所以 5 12 C 3 9 2 3 CC 318. 0)( 5 12 3 9 2 3 C CC AP 5 12 P 3 9 2 3 2 5 PPC 318. 0)( 5 12 3 9 2 3 2 5 P PPC BP 5 12 322 5 93C 264. 0 12 93 )(

18、5 322 5 C CP 1 - 24 课堂练习 一、 袋内有a个白球与b个黑球，每次从袋中 任取一个球，取出的球不再放回去，接连取k 个球，（k a+b），求第k次取得白球的概率。 二、 将15名新生随机地平均分配到三个班级 中去，这15名新生中有3名是优秀生问： （1）每个班级各分配到一名优秀生的概率是多 少？ （2）3名优秀生分配在同一班级的概率是多少？ 1 - 25 1.3 事件的关系及运算事件的关系及运算 1事件的关系和运算事件的关系和运算 事件的包含事件的包含 事件的并或和事件的并或和 事件的交或积事件的交或积 互斥事件互斥事件 对立事件对立事件 事件的差事件的差 完备事件组完备事

19、件组 2事件的运算性质事件的运算性质 1 - 26 事件的关系和运算事件的关系和运算 （事件的包含） A 若若事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生， 则则 称事件称事件B包含事件包含事件A，或事件，或事件A包含于事件包含于事件 B，记作或，记作或 A B或或 B A 事件的相等关系怎么表示事件的相等关系怎么表示? 1 - 27 事件的关系和运算事件的关系和运算 （事件的并或和） 事件事件A和事件和事件B中至少有一个发生的事件中至少有一个发生的事件称为称为 事件事件A与事件与事件B的并。它是由属于事件的并。它是由属于事件A或事件或事件 B的所有的样本点组成的集合，记为的所有的样本

20、点组成的集合，记为AB B 1 - 28 事件的关系和运算事件的关系和运算 （事件的交或积） A 事件事件A与事件与事件B同时发生的事件同时发生的事件称为事件称为事件A与与 事件事件B的交，它是由属于事件的交，它是由属于事件A也属于事件也属于事件B的所的所 有公共样本点所组成的集合，记为有公共样本点所组成的集合，记为AB 或或AB 1 - 29 事件的关系和运算事件的关系和运算 （互斥事件） A 事件事件A与事件与事件B中，若有一个发生，另一个必定不中，若有一个发生，另一个必定不 发生发生， 则称事件则称事件A与事件与事件B是互斥的，否则称两个是互斥的，否则称两个 事件是相容的。显然，事件事件

21、是相容的。显然，事件A与事件与事件B互斥的充分必互斥的充分必 要条件是事件要条件是事件A与事件与事件B没有公共的样本点没有公共的样本点 n个事件互不相容怎么表示个事件互不相容怎么表示? 互斥事件的和互斥事件的和 记作记作 A+BA+B 1 - 30 事件的关系和运算事件的关系和运算 （对立事件） A 一个事件一个事件B与事件与事件A互斥，且事件互斥，且事件B与事件与事件A的的 并是整个样本空间并是整个样本空间 ，则称事件，则称事件B是事件是事件A的逆事的逆事 件。它是由样本空间中所有不属于事件件。它是由样本空间中所有不属于事件A的样本的样本 点所组成的集合，记为点所组成的集合，记为 A 1 -

22、 31 事件的关系和运算事件的关系和运算 （事件的差） A 事件事件A发生但事件发生但事件B不发生的事件不发生的事件称为事件称为事件A 与事件与事件B的差，它是由属于事件的差，它是由属于事件A而不属于事件而不属于事件 B的那些样本点构成的集合，记为的那些样本点构成的集合，记为A-B 1 - 32 事件的关系和运算事件的关系和运算 （完备事件组） 如果如果n个事件中至少有一个事件一定发生，个事件中至少有一个事件一定发生， 则称则称这这n个事件构成个事件构成完备事件组完备事件组。 设设n个事件个事件 满足下面的式子：满足下面的式子： 1 1 n jii n i 3 , C=x9， D=x-5, E

23、=x 9 1 - 40 1.4 概率加法定理概率加法定理 1互斥事件的概率互斥事件的概率 加法定理加法定理 定理定理1，2 推论推论1，2，3 2一般的概率加法一般的概率加法 定理定理 定理定理3，4 1 - 41 加法定理加法定理1 定理定理1 两个互斥（互不相容）事件之和的概率，两个互斥（互不相容）事件之和的概率， 等于两个事件概率之和。设等于两个事件概率之和。设A和和B为两个为两个 互斥事件，则互斥事件，则 P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 证明证明 （概率的古典定义）（概率的古典定义） 1 - 42 加法定理加法定理2 定理定理2 有限个互不相容事件之和的概率，

24、等于这有限个互不相容事件之和的概率，等于这 些事件概率之和。设事件些事件概率之和。设事件A1，A2，An 两两互斥，则有两两互斥，则有 P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) 1 - 43 推推 论论 推论推论1 如果事件如果事件A1，A2，An构成互不相容的完构成互不相容的完 备事件组，则这些事件的概率之和等于一：备事件组，则这些事件的概率之和等于一： P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An )1 推论推论2 对立事件的概率之和等于一：对立事件的概率之和等于一： P ( A ) + P (A)1 推论推论3 如果如果 则则

25、 以及以及 AB )()(BPAP )()()(APBPABP 1 - 44 概率加法定理概率加法定理 （实例1） 例例10 一袋中装一袋中装N-1只黑球及只黑球及1只白球，每次从袋中随机摸出一球只白球，每次从袋中随机摸出一球 并换入一只黑球，这样继续下去，问第并换入一只黑球，这样继续下去，问第K次摸球时摸到黑球的概次摸球时摸到黑球的概 率是多少？率是多少？ 解：若以解：若以A表示第表示第K次摸到黑球这一事件，则次摸到黑球这一事件，则 表示第表示第K次摸到白次摸到白 球，现在计算球，现在计算 因为袋中只有一白球，而每次摸出白球总是换入黑球，故为了因为袋中只有一白球，而每次摸出白球总是换入黑球，

26、故为了 第第K次摸到白球，则前面的次摸到白球，则前面的K-1次一定不能摸到白球。因此，次一定不能摸到白球。因此， 等等 价于下列事件，在前价于下列事件，在前K-1次摸到球都是黑球，而第次摸到球都是黑球，而第K次摸出白球，次摸出白球， 这一事件的概率为这一事件的概率为 这样，这样， NNN N K K K 1 ) 1 1 ( 1) 1( 1 1 NN APAP K 1 ) 1 1(1)(1)( 1 A )(AP A 1 - 45 加法定理加法定理3 定理定理3 对任意两个随机事件对任意两个随机事件A和和B，它们和的概，它们和的概 率为两个事件的概率之和减去两个事件率为两个事件的概率之和减去两个事

27、件 交的概率，即交的概率，即 P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) 证明：证明： （ 将将AB分解为互斥事件的和分解为互斥事件的和 ） 1 - 46 加法定理加法定理4 定理定理4 任意有限个随机事件的和的概率可按下任意有限个随机事件的和的概率可按下 列公式计算：列公式计算： )()()( )()()( n n nkji kji nji ji n i in AAAPAAAP AAPAPAAAP UUU 21 1 1 11 21 1 + + + + 当当n=3时？时？ 1 - 47 概率加法定理概率加法定理 设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人设某地有甲、

28、乙两种报纸，该地成年人 中有中有20%读甲报纸，读甲报纸，16%读乙报纸，读乙报纸，8%两种报两种报 纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸纸都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸 。 解：解：设设A读甲报纸读甲报纸，B读乙报纸读乙报纸， C至少读一种报纸至少读一种报纸。则则 P ( C ) =P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ) = 0.2= 0.2 + + 0.160.16 - - 0.080.08 = = 0.280.28 1 - 48 课课 堂堂 练练 习习 1. AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8， 求求 B的逆事件的概率。的

29、逆事件的概率。 2. 设事件设事件A发生的概率是发生的概率是0.6，A与与B都发生的概都发生的概 率是率是0.1，A 与与B 都都 不发生不发生 的概率为的概率为 0.15 , 求求 A 发生发生B不发生的概率；不发生的概率； B 发生发生A不发生的概率不发生的概率及及P(AB). 1 - 49 1.6条件概率条件概率 概率乘法定理概率乘法定理 1条件概率条件概率 2乘法公式乘法公式 1 - 50 条件概率条件概率 在事件在事件B已经发生的条件下，求事件已经发生的条件下，求事件A发发 生的概率，称这种概率为事件生的概率，称这种概率为事件B发生条件发生条件 下事件下事件A发生的发生的条件概率条件

30、概率，记为，记为 证明证明 见课本P21定理1 P(B) P(AB) P(A|B) = 若若P(A)0，则称，则称P(B|A)=P(AB)/P(A)为事件为事件A 出现的条件下，事件出现的条件下，事件B出现的出现的条件概率条件概率 1 - 51 条件概率的图示条件概率的图示 事件事件 A B及其及其 概率概率P (A B) 事件事件B及其及其 概率概率P (B) 一旦事件一旦事件B B发生发生 1 - 52 条件概率条件概率（备注） (1) 区别P(B|A)与P(AB); (2) P(B| )=P(B); P(B|B)=1; (3) 若AB1, AB2互不相容,则有: P(B1B2|A)=P(

31、B1|A)+P(B2|A); (4) P( |A)=1-P(B|A) 注意注意： B 1 - 53 例例12 在在10个产品中有个产品中有7个正品，个正品，3个次品，按不个次品，按不 放回抽样，每次一个，抽取两次，求放回抽样，每次一个，抽取两次，求 两次都取到次品的概率；两次都取到次品的概率； 第二次才取到次第二次才取到次 品的概率；品的概率； 已知第一次取到次品，第二次又已知第一次取到次品，第二次又 取到次品的概率。取到次品的概率。 若改为有放回抽样呢？若改为有放回抽样呢？ 解：解：设设A=第一次取到次品第一次取到次品，B=第二次取到次品第二次取到次品， （3）P（B|A）=2/9=P(AB

32、)/P(A)= (1/15)/(3/10) （1）P（AB）=(32)/(109) =1/15 （2）P（ ）=(73)/(10 9)=7/30BABA 1 - 54 例例13 已知已知 0P（B）1，且，且 P(A1A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B) 记记C=U-B ,则下列选项成立的是（则下列选项成立的是（ ） P(A1A2)|C=P(A1|C)+P(A2|C) P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B) P(A1A2)=P(A1|B)+P(A2|B) P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 例例14 设事件设事件A是是B的子事件的子事件, P(B)0，

33、则下列选项必然成立的是（则下列选项必然成立的是（ ） P(A)P(A|B) P(A)P(A|B) 例例15 P(A)=0.6, P(AB)=0.84, P( -B|A)=0.4, 则则P(B)=(0.6). 1 - 55 概率的乘法公式概率的乘法公式 1. 用来计算两事件交的概率用来计算两事件交的概率 2. 以条件概率的定义为基础以条件概率的定义为基础 3. （定理定理2）设）设A、B为两个事件，为两个事件， 若若P(B)0，则，则P(AB)=P(B)P(A|B)， 若若P(A)0，则，则P(AB)=P(A)P(B|A), 若若P(A)0, P(B)0, 则则 P(AB)=P(A)P(B|A)

34、 =P(B)P(A|B) 1 - 56 乘法公式的推广乘法公式的推广 有限个事件积的概率（定理有限个事件积的概率（定理3） 对于对于n 个事件个事件A1, A2,An , 若若 P( A1A2An-1 ) 0， 则有则有 P( A1A2An) =P(A1)P(A2|A1) P(A3|A1A2) P(An|A1A2An-1) 特别特别： 对事件对事件A，B，C，若，若P(AB)0，则有，则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) 1 - 57 概率的乘法公式概率的乘法公式 （实例） n个学生在一个有个学生在一个有n个座位的教室上课，假个座位的教室上课，假 定学生入座是随机的定学生入座

35、是随机的 求求： （1）第二天上课时，每个学生仍旧坐在第一天位）第二天上课时，每个学生仍旧坐在第一天位 置上的概率。置上的概率。 （2）第二天上课时，至少有一个学生入座第一天）第二天上课时，至少有一个学生入座第一天 位置上的概率。位置上的概率。 课本课本P23 例例1, 例例2 1 - 58 计算结果 解: (1) 将n个座位分别编上号码1，2，、n，第一天 坐在号码为K的座位上的学生叫做第k个学生，以 表示事件第k个学生第二天上课时仍入座第一天位 置上，k=1,2,、n, 则 此题也可简单的考虑，即n个学生入座n个座位共 种方法，而n个学生恰好再入座第一天的位置仅一 法，故 ! 1 1 1

36、2 1 3 1 1 11 )()()()()( 1121312121 nnn AAAPAAAPAAPAPAAAP nnn k A ! 1 )( 21 n AAAP n 1 - 59 （2）因为任一学生都等可能的坐到第k 个座位上，故正 好编号为k的学生坐到第k个座位上的概率 （k=1，2，、n） ， 而至少有一个学生入座第一天 位置上这一事件便是 从而 n AP K 1 )( n AAAUUU 21 )()1( )()()( 21 1 11 21 n n nji ji n i in AAAP AAPAPAAAP UUU 0(i=1,2, ,n)， 则对任意事件则对任意事件B，有，有 （1）全概

37、率公式中的事件组是互不相容的完备事件组；）全概率公式中的事件组是互不相容的完备事件组； （2）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发，）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发， 而这些原因又构成完备事件组；而这些原因又构成完备事件组； （3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。 注意注意： 1 - 63 例例18 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲厂家 是乙厂家的2倍, 乙.丙两个厂家相等, 且各厂产品的次品率为 2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率. (2)若从市场上的商品中随机

38、抽取一 件,发现是次品,求它是甲 厂生产的概率? 解解 设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3, B表示取到次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由全概率公式得: )A|B(P)A(P)B(P i 3 1i i 分析分析: 所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B). 这也就是下面的Bayes公式公式. 1 - 64 贝叶斯公式贝叶斯公式（逆概率公式） 1.与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立 在条件概率的基础上寻找事件发生的原因 2.设设 n 个 事 件

39、个 事 件 A 1 ， A 2 ， ， A n 两 两 互 斥两 两 互 斥 ， A1+A2+ An= (互不相容的完备事件组互不相容的完备事件组) ，且且 P(Ai)0(i=1,2, ,n)，则，则 1 - 65 贝叶斯公式贝叶斯公式（备注） A1,A2,.,An可以看作是导致事件B发生的 原因; P(Aj|B)是在事件B发生的条件下,某个原 因Aj发生的概率,称为“后验概率”; Bayes公式又称为“后验概率公式”或 “逆概公式”; P(Aj)对应可以称为“先验概率”. 1 - 66 解解 (2)设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3, B表示取到次品, 由题意 得:P(A1)=0

40、.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由Bayes公式得: 3 1i ii 11 1 )A|B(P)A(P )A|B(P)A(P )B|A(P =0.4 (2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂 生产的概率? 例例18 市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为:甲厂家 是乙厂家的2倍, 乙.丙两个厂家相等, 且各厂产品的次品率为 2%,2%,4%, (1)求市场上该种商品的次品率. 1 - 67 贝叶斯公式贝叶斯公式（实例） 【例【例19】某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各种机床 的

41、次品率分别为5%、4%、2%，它们各自的产品分别占总产 量的25%、35%、40%，将它们的产品组合在一起，如果取到 的一件产品是次品，分别求这一产品是甲、乙、丙生产的概 率? 解：解：设 A1表示“产品来自甲台机床”， A2表示“产品来自 乙台机床”， A3表示“产品来自丙台机床”， B表示“取到 次品”。根据贝叶斯公式有： 1 - 68 1.8 随机随机事件的独立性事件的独立性 1两个事件的独立性两个事件的独立性 2有限个事件的独立性有限个事件的独立性 1 - 69 定义定义 事件A的发生与否并不影响事件B的概率， 即 P(B|A)=P(B) 则称A对对B独立独立，否则，称为不独立不独立。

42、 定理定理1 A与B独立等价于P(AB)=P(A)P(B). 证明证明 A. B独立独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) 证明证明 不妨设A.B独立,则 )B(P)A(P)B(P1)(A(P )B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P 推论推论1 在 A 与 B， 与 B，A 与 ， 与 这四对事 件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立。 BABA 两个事件的独立性两个事件的独立性 1 - 70 说明说明 推论推论2提供了一种判断两事件独立性的提供了一种判断两事件独立性的 直观方法，直观方法， 即对于两事件，即对于两事件， 若其中任何一若其中任何一 个事

43、件出现的概率不受另一个事件出现与否个事件出现的概率不受另一个事件出现与否 的影响，则可判断这两事件是独立的。的影响，则可判断这两事件是独立的。 推论推论2 设0P(A)1,0P(B)1下面式子等价 P(B|A)=P(B)， P(B| )=P(B) P( | )=P( )， P(A| )=P(A)B A AAB 1 - 71 有限个事件的独立性有限个事件的独立性 定义定义 n个事件个事件A1, A2 , , An相互独立相互独立，如果，如果 其中的任一事件其中的任一事件Ai(i=1,2, ,n)与其它任与其它任 意几个事件的积事件是独立的，即意几个事件的积事件是独立的，即 其中, m=1, 2,

44、 , n-1 当m=1时，称n个事件两两独立个事件两两独立 )( i m kji APAAAP )|( 个 两两独立与相互独立的关系？两两独立与相互独立的关系？ 1 - 72 定理定理2 A1, A2 , , An相互独立，则 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2) P(An) 性质性质: : 若若n n个事件相互独立，则个事件相互独立，则 它们积事件的概率等于每个事件概率的积；它们积事件的概率等于每个事件概率的积； 反之，不一定成立。反之，不一定成立。 它们中的任意一部分事件换成各自事件的它们中的任意一部分事件换成各自事件的 对立事件后，所得的对立事件后，所得的n n个事件也相互独立。

45、个事件也相互独立。 1 - 73 事件的独立性事件的独立性（实例） 【例【例20】某工人同时看管三台机床，每单位时间(如30分钟) 内机床不需要看管的概率：甲机床为0.9，乙机床为0.8，丙 机床为0.85。若机床是自动且独立地工作，求 （1）在30分钟内三台机床都不需要看管的概率 （2）在30分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看 管的概率 解：解：设 A1，A2，A3为甲、乙、丙三台机床不需要看管的 事件， A3 为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1) P(A1A2A3)= P(A1) P(A2) P(A3)=0.90.80.85=0.612 (2) P(A1A2A3)= P(A1)

46、 P(A2) P(A3) = 0.90.8(1-0.85)=0.108 1 - 74 事件的独立性事件的独立性（备注） P(AB)=P(A)P(B);P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B); P(A-B)=P(A)-P(A)P(B) (可加性) (广义加法) (乘法法则) 1. 对 于 有 放 回 抽 样，各 次 抽 取 是 相 互 独 立 的 。 2. 区 别 互 斥 事 件 （ 互 不 相 容 事 件）、对 立 事 件 、 独 立 事 件 。 3. 当 A 、B 独 立 时 , 计 算 P(AB)， P(AUB)，P(A-B). 4. P(A1UA2UUAn) P(C) = P(A1A2An) 当 A1 A2 An 独 立 时 当 A1 A2 An 不独立时 当A1 A2 An互斥时 当A1 A2 An独立时 一般情形 1 - 75 例例21 三个元件串联的电路中三个元件串联的电路中, 每个元件发生断电的概率依次每个元件发生断电的概率依次 为为0.3, 0.4, 0.6, 各元件是否断电相互独立各元