高三数学一轮复习专题：函数图象及数字特征

1、函数图象及数字特征一课标要求：1掌握基本初等函数的图象的画法及性质。如正比例函数、反比例函数、一元一次函数、一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等；2掌握各种图象变换规则，如：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换等；3识图与作图：对于给定的函数图象，能从图象的左右、上下分布范围，变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。甚至是处理涉及函数图象与性质一些综合性问题；4通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图像，了解它们的变化情况。二命题走向函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样，而且突出

2、考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。从历年高考形势来看：（1）与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解题的能力，会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题；（2）函数综合问题多以知识交汇题为主，甚至以抽象函数为原型来考察；（3）与幂函数有关的问题主要以为主，利用它们的图象及性质解决实际问题；三要点精讲1函数图象（1）作图方法：以解析式

3、表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本讲座的重点。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线要把表列在关键处，要把线连在恰当处这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，这也是个难点。（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换

4、等等；平移变换：、水平平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向左或向右平移个单位即可得到；1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(x-h)；、竖直平移：函数的图像可以把函数的图像沿轴方向向上或向下平移个单位即可得到；1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)-h。对称变换：、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y=f(-x)、函数的图像可以将函数的图像关于轴对称即可得到；y=f(x) y= -f(x)、函数的图像可以将函数的图像关于原点对称即可得到；y=f(x) y= -f(-x)、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称得到

5、。y=f(x) x=f(y)、函数的图像可以将函数的图像关于直线对称即可得到；y=f(x) y=f(2a-x)。翻折变换：、函数的图像可以将函数的图像的轴下方部分沿轴翻折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到； 、函数的图像可以将函数的图像右边沿轴翻折到轴左边替代原轴左边部分并保留在轴右边部分即可得到 伸缩变换：、函数的图像可以将函数的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到；y=f(x)y=af(x)、函数的图像可以将函数的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长或压缩（）为原来的倍得到。f(x)y=f(x)y=f()（3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性

6、等等方面。2幂函数在第一象限的图象，可分为如图中的三类：图在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数中限于在集合中取值。幂函数有如下性质：它的图象都过（1，1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；定义域为R或的幂函数都具有奇偶性，定义域为的幂函数都不具有奇偶性；幂函数都是无界函数；在第一象限中，当时为减函数，当时为增函数；任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1），至多有三个公共点；四典例解析题型1：作图A BC D例1（06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是（ ）解析

7、：显然当时，阴影部分的面积等于圆的面积减去以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，即点在直线的下方，故应在C、D中选择。而当当时，阴影部分的面积等于圆的面积加上以圆的半径为腰的等腰直角三角形的面积，即点在直线的上方，故应选择D。点评：该题属于实际应用的题目，结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可。要明确函数图像与函数自变量、变量值的对应关系，特别是函数单调性与函数图象个关系；例2（1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（）x的图象只可能是（ ）解析一：由指数函数图象可以看出01。抛物线方程是y=a（x+）2，其顶点坐标为（，），又由01，可得0.

8、观察选择支，可选A。解析二：求y=ax2+bx与x轴的交点，令ax2+bx=0，解得x=0或x=，而12时，f(x)0，从而有a0，b0。点评：通过观察函数图像，变形函数解析式，得参数的取值范围。题型5：函数图像变换的应用例9已知，方程的实根个数为（ ）A2 B3 C4 D2或3或4根据函数与方程的关系，知方程的根的个数即为函数与函数的图像交点的个数。该题通过作图很可能选错答案为A，这是我们作图的易错点。若作图标准的话，在同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像，由图知当时，图像的交点个数为3个；当时，图像的交点个数为4个；当时，图像的交点个数为2个。选项为D。点评：该题属于“数形结合”的题目。

9、解题思路是将“函数的零点”问题转化为“函数的交点问题”，借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可。例10设，若，且，则的取值范围是（ ）ABCD解析：保留函数在x轴上方的图像，将其在x轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数的图像。通过观察图像，可知在区间上是减函数，在区间上是增函数，由，且可知，所以，从而，即，又，所以。选项为A。点评：考察函数图像的翻折变换。体现了数学由简到繁的原则，通过研究函数的图像和性质，进而得到的图像和性质。题型6：幂函数概念及性质Oxy例11函数互质）图像如图所示，则（ ）A均为奇数B一奇一偶C均为奇数D一奇一偶解析：该题考察了幂函数的性质，由于幂函数在第一

10、象限的图像趋势表明函数在上单调递减，此时只需保证，即，有；同时函数只在第一象限有图像，则函数的定义域为，此时定为偶数，即为偶数，由于两个数互质，则定为奇数。答案：选项为B。点评：该题突破了传统借形言数思路，属于“由图形得解析式”的题目。为此需要分清幂函数在几种不同情况下函数的图像的特点，更甚至在同一种情形下取不同数值对函数图像的影响也要了解。例12画出函数的图象，试分析其性质。解析：先要找出它是哪一种函数平移而来的，它应是由反比例函数平移而来，（这种变换是解决这类问题的关键），由此说明，是由图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到的，如图所示：具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确

11、，即。故图象一定过（0，1）和两个关键点。再观察其图象可以得到如下性质：定义域，单调区间上单调递增；既不是奇函数也不是偶函数，但是图象是中心对称图形，对称中心是（3，2）。点评：幂函数的图象与性质是解决该类问题基础。注意此题两个增区间之间不能用并集号。题型7：抽象函数问题例13函数的定义域为D：且满足对于任意，有（）求的值；（）判断的奇偶性并证明；（）如果上是增函数，求x的取值范围。（）解：令（）证明：令令为偶函数。（） （1）上是增函数， （1）等价于不等式组： x的取值范 围为点评：以抽象函数为模型，考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力。认

12、真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f(x1+x2)f(x1)f(x2)找到问题的突破口，由f(x1+x2)=f(x1)f(x2)变形为是解决问题的关键。例14（2005广东19）设函数 上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程在闭区间2005，2005上的根的个数，并证明你的结论。解析：（）由，从而知函数的周期为又，所以故函数是非奇非偶函数；(II) 又故f(x)在0,10和10,0上均有有两个解，从而可知函数在0,2005上有402个解，在2005.0上有400个解,所以函数在2005,2005上有802个解。点评：充分利用函数的数字特征，并将其转化为函数的性

13、质，再来解题。题型8：函数图象综合问题例15如图，点A、B、C都在函数y=的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2。又A、B、C在x轴上的射影分别是A、B、C,记ABC的面积为f(a)，ABC的面积为g(a)。 （1）求函数f(a)和g(a)的表达式；（2）比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论。解： (1)连结AA、BB、CC,则f(a)=SABC=S梯形AACCSAABSCCB=(AA+CC)=(),g(a)=SABC=ACBB=BB=。f(a)g(a)。点评：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等，充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破

14、口，解题思路：图形面积不会拆拼、数形结合、等价转化。例16设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，（1）写出曲线的方程；（2）证明曲线与关于点对称；（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：解析：（1）曲线的方程为；（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，则有，。代入曲线的方程，得的方程：。即可知点在曲线上。反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上。因此，曲线与关于点对称。（3）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，方程组有且仅有一组解，消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，即得，因为，所以。点评：充分利用函数图像变换的原则，解决复合问题。五思维总结函数图象的几何特征与函数性质的数