线性代数课后习题答案复旦大学出版社熊维玲

1、第一章3.如果排列是奇排列,则排列的奇偶性如何？解：排列可以通过对排列经过次邻换得到，每一次邻换都改变排列的奇偶性，故当为偶数时，排列为奇排列，当为奇数时，排列为偶排列。4. 写出4阶行列式的展开式中含元素且带负号的项.解：含元素的乘积项共有，六项，各项列标排列的逆序数分别为， 故所求为，。5.按照行列式的定义,求行列式的值.解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有，其中，故行列式的值等于： 6. 根据行列式定义,分别写出行列式的展开式中含的项和含的项.解：展开式含的乘积项为含的乘积项为8. 利用行列式的性质计算下列行列式： 解： (1) (2) （第二行与第四行相同）(3) (4) 9.若=0

2、,求解： 即有：11. 利用行列式按行或列展开的方法计算下列行列式： 解： (2) ，其中：，.带入上式即可。12. 设4阶行列式，求 .解：显然，行列式按第四列展开，即得。注意到该行列式的第四列与第一列元素成比例，其值为0，故.14. 当、取何值时，齐次线性方程组有非零解？解：当系数行列式时，齐次线性方程组有非零解，于是要求b15.计算下列行列式:(1) （加边法）（第二列的倍第列的倍都加到第一列） (2) (3) (4) 记，由范德蒙行列式的结论可知，. 第二章矩阵 1（本题为类似题）设， 求解:2（部分原题，部分类似题）计算下列乘积：(1)； (2)； (3)；(4)；(5).解:(1)

3、(2) (3) (4) (5) (6) 3求其中为自然数，解：时，时，设时，；则时，有故：由数学归纳法知，对任意的自然数，有4矩阵a称为反对称矩阵，若。已知a为阶反对称矩阵，b为为阶对称矩阵，试问ba-ab是对称矩阵还是反对敌矩阵？试证明你的结论。 答：ba-ab是一个对称矩阵。证明如下：因为：所以：ba-ab是对称矩阵。5（部分原题，部分类似题）求下列矩阵的逆矩阵（请注意伴随矩阵的计算公式）：(1)； (2)； (3)； (4)解：(1) ，故存在=(2) ，故存在(3) ，故存在 ，(4)由对角矩阵的性质知6（部分原题，部分类似题）解下列矩阵方程：(1)； (3)；(2)； (4).解：(

4、1)；(2) ；(3)；(4)7设(为正整数)，证明.（请注意证明过程的逻辑性要正确）证明：由于，于是有两端同时右乘得8设矩阵；（1）求；（2）证明矩阵a可逆，并求出；（3）求解：（1）（2）因为所以，故a可逆。又因为（3）； ，9（本题为类似题）设方阵满足，证明及都可逆，并求及.证明：由得于是，即，故，所以可逆；又由得于是，故也可逆.由；又由.10利用逆矩阵解下列线性方程组（注：第一题的方程次序不同，但方程组是同一个方程，请注意用逆矩阵解法，不可以用消元法）:(1) (2) 解：(1)方程组矩阵表示形式为记方程组为：，则，又， 故，所以有 (2) 方程组矩阵表示形式为记方程组为：，则， 又，

5、故，从而有11设，求.（注：请注意矩阵的左乘与右乘的单边性，不可搞乱）及 解:由可得，故又，故：12设a和x满足，其中，求矩阵x解：由得 又由于，所以，故a+e是可逆矩阵。 从而有：=12（本题是第12题的类似题，请注意区别解法的不一样，再次提醒注意矩阵左乘和右乘的区别，不可随意左乘和右乘）设，且，求解：由得由于，于是，故可逆所以13设次多项式，其中，记，则为矩阵a的设次多项式。（1）若=0；证明矩阵a可逆，并求出；（2）设a=；证明：；=；解：（1）；有 = （2） a=； 有= 而 14设矩阵a的伴随矩阵是，证明： （1）若 ； (2) .证明:(1)用反证法证明假设则有 又由于所以，这与

6、矛盾故当时，有.(2)由于， 则，于是 若 则；若，则由(1)知，此时命题也成立.故有.15设矩阵a=，其中矩阵，证明矩阵a可逆的充要条件是：均可逆。并求a。证明：因为a=，其中矩阵， 所以：，故。即矩阵a可逆的充要条件是：均可逆。 设x=，其中矩阵；且ax=e；则=解得： 即：a=。16设n阶矩阵a及阶矩阵b均可逆，求。解：因为：设n阶矩阵a及阶矩阵b均可逆；所以：设 x=，其中是方阵；是方阵；且 =e；即，显然可取： ，故=17已知a，b为三阶对称矩阵，且满足其中e为三阶单位矩阵。证明：（1）矩阵a-2e可逆，并求出 （2）若矩阵，求矩阵a。证明：（1） 又 a可逆，二边同时左乘a知： 可

7、逆，且 又a，b为三阶对称矩阵； ；而且又已知 即：。故 （2），e=，故8 ；故：8，说明：本题解题切记要用上对称矩阵的概念和性质，多余的结论不用证明，只做题目要求的内容。如b可逆是不必要在此提出的。18设矩阵x满足，其中；，求矩阵x解：； 4，所以代入上式得：；由于所以19设三阶矩阵a，b满足，其中e为三阶单位矩阵，求|b|。 解：； ； 又=，所以是可逆矩阵；故20设a，b均为三阶矩阵，e为三阶单位矩阵，已知ab=2a+b；，求。解： ；所以可逆，且 习题三设=，=求，解：，。设，其中，求解：由把向量表示为向量组的线性组合： (1) ， ，；解：设(2) ，,，解：设设是互不相同的数，.

8、 证明：任一维行向量都可由向量组线性表示解：设为任意的维行向量，并设，由此得到一个以为未知量，个方程的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式，且不等于0（因为是互不相同的数），由克莱姆法则知，该线性方程组有唯一解，故可由线性表示，且表示方法唯一。判断下列向量组的线性相关性：(1) ，；解：设线性无关。(2) ，解：仿（1）。 证明：上三角矩阵的行向量组线性相关的充要条件是主对角线上的元素至少有一个为零解：矩阵的行向量线性相关的充要条件是齐次线性方程组有非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式，故矩阵的行向量线性相关的充要条件是的主对角线上的元素至少有一为零。设 ，证明向量组

9、线性相关解：要证明线性相关，就要找到不全为零的数，使得 上式的左端可写成 令，由于其系数行列式故有非零解。即存在不全为零的数，使成立，亦即成立，所以，线性相关。设向量组线性无关证明：向量组,也线性无关证明：设，即， 因为线性无关，解得，故向量组,线性无关。判断下列各命题是否正确：（1）若向量组是线性相关的，则向量可由向量组线性表示（错）（2）若向量不能由向量组线性表示，则向量组,线性无关（错）（3）若不全为0时，0，则向量组线性无关（错）（4）若向量组和向量组分别线性相关，则有不全为0的数,，使得，同时成立（错）利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个极大无关组：（1）（行阶梯形）的列向量组线

10、性无关，列向量组的极大无关组就是它本身。（2）（行阶梯形）的列向量组的一个极大无关组为（或者或者等等）求下列向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示：（1），；解：令矩阵（行最简形）， 则向量组的秩，极大无关组可取为，而（2），设，（1）证明：向量组线性无关；（2）把向量组扩充成一极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示解：（1）显然的，的对应分量不成比例，故线性无关。 （2）令矩阵（行最简形）所以，列向量组的一个极大无关组为，而求下列矩阵的秩：（1）（行阶梯形），于是（2）（3）（4）均仿（1）。-设是一维向量组，己知维单位向量组能由它们线性表示，证明线性无关证明

11、：因可由线性表示，依题意，这两个向量组等价，等价的向量组的秩相同， 由线性无关。设 ，证明：向量组与向量组有相同的秩证明：依题意有：， 其中矩阵的行列式，故可逆，上式两边右乘得： 即向量组可由向量组线性表示，于是这两个向量组等价，故它们有相同的秩。第四章线性方程组1求下列齐次线性方程组的一个基础解系（1）；（2）；（3）解： （1）记，则方程组可改写成：；因为：（化成了a的行最简型）由知，r（a）=2，故方程组的自由未知量应有二个：，分别令和，所解得的二个解即构成原齐次线性方程组的基础解系：，。（2）记，则方程组可改写成：；因为：（化成了a的行最简型）由知，r（a）=3，故方程组的自由未知量应

12、有1个：，令，解得一个解即是原齐次线性方程组的基础解系：（3）记，则方程组可改写成：；系数矩阵直接就是行最简型矩阵，r（a）=1是显然的，故自由未知量有四个：，分别令，所解得的四个解即构成原齐次线性方程组的一个基础解系：，；2求解下列非齐次线性方程组:(1) (2) (3)（增加的） (4)（增加的） 解 (1)（注：只做行初等变换）得原方程的同解方程组为，亦即令自由未知量得方程组的解为 ().(2) （注：只做行初等变换）得原方程的同解方程组为，即令自由未知量得方程组的解为()(3) （注：只做行初等变换）,方程组无解 (4) （注：只做行初等变换）得原方程的同解方程组为，亦即令自由未知量得

13、方程组的解为().3 取何值时，非齐次线性方程组(1)无解；(2)有唯一解； (3)有无穷多个解，并求其解?解 ：增广矩阵：因为增广矩阵作行初等变换后可得：b=所以有：（1）当而时，即当时有，这时，由知，方程组无解.（2）当即当且时，时有（满秩），此时方程组有唯一解.（3）当且时，即当时，有 这时候方程组有无穷多解。这时，（注：只进行行初等变换） 分别令和易解出其对应的齐次线性方程组的基础解系为：；再令=，即解得非齐次方程组的一个特解：，故方程组的通解是： ，其中可取任意实数。4求，使线性方程组（1）无解；（2）有解并求其解。解： 增广矩阵b=（增广矩阵的行最简型） 由上述矩阵可知：当时，r（

14、a）=2，而r=3，故r（a）r,这时方程组无解。 而时，r（a）=2=r3。所以方程组有解。这时候： b=易求出对应齐次线性方程组的基础解系为：；而方程组本身的一个特解可取故方程组的解是： +；其中可取任意实数。5求，使齐次线性方程组有非零解，并求解。解：因为系数矩阵，故（1）当的时候，有，故r（a）=23,方程组有非零解。其基础解系为：；通解为：，其中任取。（2）当的时候， 这时候只要，即时，方程组有非零解，且其基础解系为：，通解为：，其中任取。 6证明线性方程组有解的充分必要条件是：；在有解的情形下，求出他的一般解。解：因为 所以，r（a）=4，从而知方程组有解的充分必要条件为r（a）=

15、4= ，即：=0当=0时，求得方程组对应的齐次线性方程组的基础解系是 ，方程组的一个特解为：，故方程组的通解为： +，其中任取。7证明：线性方程组对任何的都有解的充分必要条件是系数行列式|a|。证明：“”，设线性方程组对任何的都有解，但；由于|a|=0，所以a的行向量组线性相关， 若记，则，是一个线性相关的向量组。故存在某行向量，可以用其余n-1个行向量线性表示。不妨设可以由，线性表示，即存在一组常数：，使得=， 对矩阵（a，）施行如下的行初等变换（a，），显然当上述矩阵的最后一行最后一个元素是非零，此行对应的方程无解。这与线性方程组对任何的都有解相矛盾。故不可能成立。故有“”设，则有克莱姆法

16、则知，方程组有唯一解，故方程组有解。综合上述题目获证。8略9设是非齐次线性方程组的个解，证明：也是它的解. 其中：为实数，满足.证明：是非齐次线性方程组的个解.且，且是方程的解10是线性方程组的一组解，而是它的导出组（即对应的齐次线性方程组）的一组基础解系。令，。证明线性方程组的任一个解，都可以表成： ，其中： 证明：是线性方程组的一组解 对于方程组的任意一个解，都有-是导出组的一个解。 又 是导出组）的一组基础解系。故存在一组常数： 使得 -= -= =+ = 令：； 则且 成立。故命题成立。11设；，证明如果线性方程组 的解全是方程组的解，则可由向量组线性表示。证明：记（1）为，记（2）为

17、。则a的行向量组是，而b的行向量组是，由于方程组的任意一解都满足方程组，显然也满足方程组；反之，由于方程组包含方程组中的所有方程，故方程组的任意一解一定都满足方程组。所以，方程组（1）和方程组（2）是同解方程。从而知其系数矩阵a和b的行向量组等价。故向量组，可由向量组线性表示。特别地，向量组，中的向量当然可由向量组线性表示。证毕。 第五章1求下列矩阵的特征值和特征向量（部分类似）: (1)； (2)； (3).解：(1)（注：三个不同特征值的情形） 的特征值为对于特征值时，由于，故方程的基础解系为，向量就是特征值为对应的特征向量；对于特征值时，由于，故方程的基础解系为，向量就是特征值为对应的特

18、征向量；对于特征值时，由于，故方程的基础解系为，向量就是特征值为对应的特征向量.(2) （注：特征值是三重根的情形） 的特征值为（三重根） 对于特征值，由于，故方程的基础解系为，向量就是特征值为对应的特征向量. (3) （注：二个特征值都是二重根的情形） 的特征值为，均为二重根对于特征值时，由于，故方程的基础解系为，向量就是特征值为对应的特征向量；对于特征值时，由于，故方程的基础解系为，向量就是特征值为对应的特征向量. 2设方阵与相似，求.解：由于方阵与相似，则与的特征多项式相同，即3设都是阶方阵，且，证明与相似证明：可逆与相似4略。提示：用正交矩阵概念验算：即可。5试通过施密特正交化过程把下

19、列向量组进行正交化（类似题）。 (1)；(2)解:(1) ，(2) ，6试求一个正交的相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵:(1)； (2)。解:(1)，矩阵的特征值为对特征值，解方程得基础解系，将正交化、单位化后得两个向量，；（注：重根特征值求出来的多个特征向量一般情况只是线性无关向量组，不保证正交性，故必须组内进行正交规范化，以满足后边求正交变换矩阵的要求）对特征值，解方程得基础解系，将单位化得:得正交阵取，则为正交矩阵并使.（2）矩阵的特征值为对特征值，解方程得基础解系，将单位化得；对特征值，解方程得基础解系，将单位化得；对特征值，解方程得基础解系，将单位化得；取，则为正交矩阵并使.

20、7设a、b为正交阵，证明下列矩阵为正交阵： （1）； （2）证明：（1）都是正交矩阵，所以：若记；则，所以c也是一个正交矩阵。 （2）记，则 所以d也是一个正交矩阵。8证明：正交矩阵的特征值的绝对值为1 证明：设是一个正交矩阵，是a的任一特征值。是与对应的特征向量。a=成立。故有（a）=（ ） ，故，所以9略。10请参照例题选讲中的例3完成此题。11已知是矩阵的一个特征向量（1）求参数及特征向量所对应的特征值；（2）问能否相似对角化？并说明理由解 （1）设是特征向量所对应的特征值，则 ，即 （2）由于，故的特征值为由于知，方程的基础解系只有一个解向量，因此不能相似对角化12设是阶方阵，2，4，2n是矩阵a的n个特征值。e是n阶单位阵。计算行列式：；解：记则的n个特