系统辨识与参数估计习题

1、系统辨识与参数估计课程习题选择题： 答案唯一，在（ ）内填入正确答案的编号。1. 对于批量最小二乘格式YLLEL ，其最小二乘无偏估计的必要条件是（ ）。T 1 TA输入序列3讣为“持续激励”信号B. El与（l l） l正交152.3.4.5.C. El为非白噪声向量对象模型为ykD.EEL0ek 时，采用递推最小二乘估计后的残差序列的计算式为A.C.）。kykkykT?k1 kkT ?kB.D.在上题的条件下，递推最小二乘算法中的增益矩阵A.Pk 1 k 1C. Pk 1 kB.D.kykk ykKk可以写成Pk k 1Pk k可以同时得到对象参数和干扰噪声模型参数的估计算法是（ A. 辅

2、助变量法C. 最小二乘限定记忆法增广最小二乘估计的关键是（A.将控制项增广进k 中，B.）。B.将输出项增广进k 中，C.将噪声项增广进k 中，D.并用残差项取代进行估计并用残差项取代进行估计并用残差项取代进行估计D.将噪声项增广进k 中，并用输出项取代进行估计T?k k 1T?k 1 k 1）。）。广义最小二乘法相关最小二乘两步法答案： 1. B 2. C 3. D 4. B 5. C判断题：以O表示正确或x表示错误。1估计残差平方和最小是确定辨识过程对象结构的唯一标准。（ ）2最小二乘估计的批量算法和递推算法在数学上是等价的。（ ）3广义最小二乘法就是辅助变量法和增广最小二乘法交替试用。（

3、 ）4在递推最小二乘算法中，若置PkP PT 0 ，则该算法也能克服“数据饱和”现象，进而可适用于时变系统。 （ ）5用神经网络对 SISO 非线性系统辨识，采用的是输入层和输出层均为一个神经元的 三层前馈神经元网络结构。 （ ）答案：1.X 2. O 3. X 4. O 5. X三、设y和X-X2, Xn之间满足关系y exp（a!x! a?X2anXn），试图利用y和X1,X2, Xn的观测值来估计参数 ai,a2, an ,请将该模型化成最小二乘格式。答案：z ln(y) aiXia2X 2TanXn其中，ai,a2, ,anTXi,X2, ,Xn四、对于多输入单输出（MISO系统可由下

4、面的模型描述A(z i)yk B(z i)uk i ek其中， uk 为系统的 mX i 维输入向量； yk 为系统的标量输出； ek 为标量 i.i.d 随机噪iiii声；Z为延迟算子，即z ykyk 1 ； A（Z ）为标量参数多项式，B（z ）为i x m的参数多项式向量：A（z1） 1 a1z1 . anaznaB（z 1） B0 B1z 1 .Bnb z nb请写出：最小二乘递推算法公式和计算步骤或流程。答案：根据题意，可写出最小二乘格式为：ykkek其中，Tkyk 1, yk 2,T T Tyk na;uk 1,uk 2,uk nb 1a1,a2,L ,ana ;B0,B1 ,L

5、,Bnb因此，采用批量最小二乘法估计时，设采集数据时刻为k=1,2,丄，则有批量最小二乘格式为：YlEl其中,yiT1e1Yly2T2Ele2，LyLTLeL从而，批量最小.乘估计公式为：?(T l)1 Tyl递推最小二乘估计公式为：?k 1 Kk (ykT ? k k1)KkPk 1 kPkPk 1Fk 1 k k Pk 1丄T r，T1k Pk 1 k1k Pk 1 k初始估计：?0，Po2|，2曰是-个充分大的正数。计算流程为:(0)给定？R,k 0；(1)量测yk 1，组成T 1 ；(2)计算Kk 1 ；(3)计算？ 1 ；(4)输出估计结果，并由误差限或数据长度 则停止估计；否则，继

6、续进行。L来确定是否停止估计。若条件满足,(5)计算Pk 1 ；(6)kk 1，返回到(1 )。五、对于SISO系统的数学模型A(z JykB(z 1)Uk i Vk其中，Uk和yk分别为系统的输入输出量，Vk为干扰噪声，A(z 1)和B(z 1)为参数多项式:A(z1)1n1a1zan z aB(z1)boRz1bnbz nb且nanb，z 1为延迟算子，即z 1yk yk 1。1 对于量测Uk、yk，k 1,2, N，写出估计系统参数的最小二乘批量算法详细公 式。2 给出最小二乘法无偏估计的条件并加以证明。答案：3 简述辨识动态系统数学模型的一般步骤。1由题意可知，采用 L 次测量的批量最

7、小二乘格式可写为：YNNVN其中，T kyk 1, yk 2,Lyk na;uk1,uk 2,L uk nb 1Ta1,a2,L ,ana;b0,b1 ,L,bnby1T1v1YNy2 ，T2VNv2，NTyNkvN因此，最小二乘批量算法公式为：?(T ) 1NNTNYN2证明：E(?)E ( TNN)1NYNE ( TN N ) 1 TN ( NVN)E( ) E( TNN)1TNVN)vk当( TN N) 1和 TNVN 不相关时，上式第二项为零，最小二乘估计为无偏估计，为零均值独立随机序列时，此条件自然满足。此时，E( ?) E( ) 。3辨识动态系统数学模型的一般步骤为：Step1:

8、确定建模目的，并由工艺和物理 / 化学过程初步确定模型形式和结构；Step2: 试验设计：包括试验信号设计、采样周期选择、实验数据长度选定、试验方式 (离线 / 在线)等；Step3: 实际系统试验，采集输入输出数据，并进行数据的预处理；Step4: 模型结构假设，选定阶次范围；Step5: 选供适用算法进行参数估计，得到一组数学模型；Step6: 模型结构的确定，得到一个数学模型；Step7: 模型检验；根据检验结果，可能要从 Step2 到 Step6 中的任何一步重新做起。Step8: 若模型检验合格， 则得到最终模型。 六、某系统的动态模型为ykayk 1 bu kek，假设：系统是稳

9、定的，且ek和uk都为零均值广义平稳随机序列。采用辅助变量法进行参数估计，进行L次量测，且L充分大,试证明:UoUiM MZl Uk 1 UkM MUl i Ul是一个合适的辅助变量矩阵。答案：证明：辅助变量法的计算公式为?v(ZT l)1zTYl(1zT l)z【yl根据题义有TU0LUk 1LUl 1Zl lU1LUkLUlTx,U0LUk 1LUl 1ZlYlU1LukLULY0U0LLMMYi 1ui 1Ui 1Ui 1i 1i 1Yk 1uk 1LLMMYi 1UiUiUi 1i 1i 1Yl 1UL 1Y1LMYiUi 1i 1YkLMYlYiUii 1因Vk、Uk和yk均为是零均

10、值广义平稳噪声序列，所以,lim -ZT LL LRyu (0)Ruu (0)RyU( 1)Ruu1Lim :zLylRyu(1)Ryu(0)lim p ?vlimLRyu (0)Ruu(0)1Ryu(1)1Ruu(1)Ruu(0)Ryu(1)Ryu(1)Ruu(1)Ryu(0)Ryu( 1)Ryu(0)Ryu(0)1 Ruu(1)Ryu(1) Ruu(O)Ryu(O)-Ryu(1)Ryu( 1)Ryu(O)式中，Ryu(O) Ruu(1) Ryu( 1)Ruu(。)又相关函数Ryu(1)E 丫从1aRyu (0) bRu (0)Ryu (0)EykukaRyu( 1) bFU1)可得Nim

11、pa? i?1Ruu(1) aRyu(O) bFU(O)Ryu( 1) aRyu(O) bFUO)Ru(O) aRyu( 1) bRuu(1)yu(O) aRyu(1)bFU1)由此可知，Zn矩阵是一个合适的辅助变量矩阵。七、在递推最小二乘估计中，新息的表达式为yk,k 1 ykT ? k k 1 1.请写出残差的表达式 k,k2.证明:k,kk,k 1 /(1k Pk 1 k)答案:1.k,kyk?k2.证明:yk,kykyk,k 1丫心（1yk,k 1 /(1?kk K k yk,k 1k Pk 1k Pk 1yk(?k八、请证明：在递推最小二乘估计中k/(1k)Kkyk,kk Pk 11

12、(1Kk(ykK)k)PkT?J)证明：在递推最小二乘估计中Kk% k1 k Pk 1 k，PkPkPk 1k k R 1 k Pk 1 kPk kPk 1 kPk 1RkAkPk 1 k(1RkPk 1 kT Pk 1Kk九、考虑一个SISO闭环系统如图所示，其中uk和yk分别为前向通道过程输入和输出量，6为白噪声扰动序列，过程参数多项式A(z、B(z 1) C(z 1)和已知的调节器参数多项式P(z 1)、Q(z 1)分别表示为：A(z1)1qz 1.nanaz aB(z1)b。bZ 1.bn z b , na 斑C(z1)11G|ZncACnc zc ,nc1P(z1)11p忆npPnp

13、zQ(z1)q。1qznqqnqZ试证明：过程参数多项式可辨识的条件是使调节器参数多项式的阶次满足np门匕1或nq na 1 d证明：由题义可知过程对象的数学模型为A(z1)yk zdB(z1)Uk C(z1)ek由Wk到y k的闭环系统方程为A(z 1)P(z 1) z dB(z 1)Q(z1)yk z d P(z 1)B(z 1)Wk令snsznsT(z 1) A(z 1)P(z 1) z dB(z 1)Q(z 1) 1 t1z 1tntz nt(8-1)1 d 1 1S(z 1) z dP(z 1)B(z 1) s0 s1z显然有， nt maxna np, nb nq d ， nt n

14、b nq 则闭环系统方程可以写为T(z 1 )yk S(z 1)wk d亦可进一步写成最小二乘格式Tyk k其中，yk 1yk nt ; wk dwk d nst1tnt ; s0sns采用相应的最小二乘类型参数估计算法，可以估计得到。应估计的主要的过程参数多项式 A(z 1)、B(z 1) 的参数个数为 l na nb 1，需要根据已知的调节器参数多项式 P(z 1)、Q(z 1 ) ，用估计得到的 ?，从方程( 3-1 )中解出。方程(3-1 )两边 z 1同次幂系数比较即可得到线性方程组，从而解出过程参数的估计 值 A?(z 1)和 B?(z 1 ) ，有唯一解的必要条件为：ntmax

15、na np , nb nq dnanb 1其等价条件为 np nb 1 或 nq na 1 d ，命题得证。十、考虑一个SISO闭环系统如图所示，其中uk和yk分别为前向通道被控对象的输入和输 出量， ek 为白噪声扰动序列。试讨论以下两种情况的被控对象模型参数的可辨识性 和辨识结果。1控制器为： F(z 1) f0 f1z 1, f0 0, f1 0112控制器为：F(z ) f。和F(z )fi两个控制器切换，fo fi 0ek0答案:fo yk fiYk-i，nqi,npi ,Ukiii - F(z )fo fiz 时,nq该闭环系统可以辨识。闭环系统方程为:ykai yk ia2yk2bo foYk 2bo fi Yk 3eTCiekkek其中,根据题意,?rYk i,Yk 2,3,4yk 3, q i，iai,2 8 f0a2,3b0 fi,4Ci采用增广最小二乘法对闭环系统参数进行估计，可得:? , ?2, ?3, ?4从而可以解出前向通道被控系统参数的估计值为:ai?2 b?fo ?2?fo/fi,l?/fi,(?42.由于是两个不同的控制器切换，故存在闭环系统可辨识性。(I)UkfoYk 时，闭环系统方程为：YkaiYkia2Yk2 bo foYk 2ekTGSkek其中，TkYki, Yk 2 Jek iTi ,2,3,iai,2bo foa2,3