线性代数知识点总结计划第二章

1、.线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节 矩阵定义由 mn 个 数 aij i1,2,l , m; j1,2,l , n排 成 的 m 行 n 列 的 数 表a11a12la1na11a12la1na21a22la2 n称为 m行 n 列矩阵。简称 mn 矩阵，记作 aa21a22la2n，mmmllllam1am2lamnam1am1lamn简记为 aam naijm naij， 这mn个数称为 a的元素 , 简称为元 。说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。扩展几种特殊的矩阵：方阵 ：行数与列数都等于 nn。的矩阵 a。 记作： a行 ( 列 ) 矩阵： 只有一行

2、 ( 列 ) 的矩阵。也称行 ( 列 ) 向量。同型矩阵： 两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵： ab同型 , 且对应元素相等。记作： ab零矩阵： 元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵： 不在主对角线上的元素都是零。单位阵： 主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作： en( 不引起混淆时，也可表示为 e ) （课本 p29 p31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式， 一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。第二节 矩阵的运算矩阵的加法设有两个 mn 矩阵 aa和 bb ，那么矩阵a与b的和记作a b，ijija11b11a

3、12b12la1nb1n规定为 aba21b21a22b22l a2 nb2 nllllam1bm1am2bm2lamnbmn说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本p33）矩阵加法的运算规律1 abba ；2abcabc.下载可编辑 .a11a12la1n3 设矩阵 a aij, 记a ( aij )m na21a22la2 n， a 称为矩阵 allllm nam1am1lamn的 负矩阵4 aa0, a bab 。（课本 p33）数与矩阵相乘数 与矩阵 a的乘积记作a或 a , 规定为a11a12la1 n数 与矩阵 的乘积记作或a ,规定为a21a22la2 naaa

4、allllam1am1lamn数乘矩阵的运算规律（设a、b 为 m n 矩阵， ,为数）1aa ；2aaa ；3abab 。（课本 p33）矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘设 b(b ij ) 是一个 ms 矩阵， b (b ij) 是一个 sn 矩阵，那么规定矩阵 a与 矩 阵 b的 乘 积 是 一 个m n矩 阵c(c ij ) ， 其 中b1 jb2 js， i 1,2,lm; j 1,2, l , n ，ai1ai 2 laisai1b1 jai 2 b2 jlais bsjaik bkjmk1bsj并把此乘积记作cab注意1。a 与 b 能相乘的条件是：a 的列

5、数 b的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，abba ，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。3。对于 n 阶方阵 a 和 b，若 ab=ba，则称 a 与 b 是可交换的。矩阵乘法的运算规律1ab ca bc ；.下载可编辑 .2aba bab3a bcabac ， b c aba ca4 am n en nem m am nam n5若 a是 n 阶方阵，则称ak 为 a的 k 次幂，即 aka ala，并且 am akam k ，14 243k个am kamkm,k为正整数 。规定： a0e注意矩阵不满足交换律，即abba ， abkp36）ak bk （但也有例外） （课本

6、0纯量阵矩 阵e称 为 纯 量 阵 ， 作 用 是 将 图 形 放 大倍 。 且 有o0(e) aa(e)a ，a 为 n 阶方阵时，有(en ) anan (en )an ，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的。（课本 p36）转置矩阵把矩阵 a 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做a 的转置矩阵，记作a ，1 2214如 a， at2 5 。45828转置矩阵的运算性质1atta ；2a btatbt ；3tat ；a4tbt at 。（课本 p39）ab方阵的行列式由 n 阶方阵 a 的元素所构成的行列式，叫做方阵a 的行列式，记作a 或det a（记住这个符号 ）注意矩阵与行列式是两个

7、不同的概念，n 阶矩阵是 n2 个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。运算性质1ata ；.下载可编辑 .2 an a；(3) aba bb aba （ 本 p40） 称 a n 方 ，如果 足 a=at ，即 aija jii, j1,2,l ,n 那么 a 称 称 。 明 称 的元素以主 角 称 相等，如果 ata 称矩 a 反 称的。即反 称矩 a=（ a）中的元素 足 a a， i ， j =1， 2， nijijji伴随矩 行 列 式a的 各 个 元 素 的 代 数 余 子 式 aij 所 构 成 的 如 下 矩a11a21lan1a12a2

8、2lan2称 矩 a的伴随矩 。alllla1na2nlann性 aaa aa e （易忘知 点 ）（ 本 p？）（1）只有当两个矩 是同型矩 ，才能 行加法运算。（2）只有当第一个矩 的列数等于第二个矩 的行数 ，两个矩 才能相乘, 且矩 相乘不 足交 律。（3）矩 的数乘运算与行列式的数乘运算不同。第三节逆矩阵定 于n 矩 ，如果有一个n 矩 , 使得e 矩 a是可逆的， 并ababba把矩 b 称 a 的逆矩 。a的逆矩阵记作a 1 ， 即a 1b 。 明1 a ， b互 逆 ， a = b-12 只 方 定 逆 。3. 若 a 是可逆矩 ， a 的逆矩 是唯一的。定理 1矩 a可逆的充

9、分必要条件是a 0 ，并且当 a 可逆 ，有 a 11a* （重要 ）a（ 明 本 p？）奇异矩 与非奇异矩 当 a 0 ， a 称 奇异矩 ，当a 0 ， a 称 非奇异矩 。即 a可逆a为非奇异矩阵a 0。推 若 abe(或ba=e) ， ba 1 （ 明 本 p？）.下载可编辑 .(1)先求 | a | 并判断当 | a |0时逆阵存在；求逆矩阵方法（2）求 a*；(3) 求 1a*a 1。| a |更好的求逆矩阵的方法-chapter3初等变换法（a,e)逆矩阵的运算性质1 若 a可逆 ,则 a1亦可逆 ,且 a 11a2 若 a可逆 , 数0, 则 a可逆 , 且 a11 a1 。3

10、 若 a, b为同阶方阵且均可逆 , 则ab亦可逆 ,且 ( ab) 1b 1a 1 。（以上证明见课本 p43）tt1a1t4 若 a可逆 ,则 a 亦可逆 , 且a。5 若 a可逆 ,则有 a 11a。总结逆矩阵的计算方法1 待定系数法 ； 2 利用公式 a 1a；3 初等变换法 下一章介绍a第四节矩阵分块法矩阵分块将矩阵 a用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵， 每一个小矩阵称为a的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。分块的目的是为了简化运算。分块矩阵的运算规则加法a 与 b 同型，且 a、b 的分块方法相同，则a 与 b 的和定义为对应子块相加。数乘a( aij) 。a11a1

11、2a13 , 则 ata11ta21t转置设 aa12ta22t。( 先外转再内转 )a21a22a23a13ta23t乘法首 先 ab 有 意 义 ， 其 次 a 的 列 的 分 法 与 b 的 行 的 分 法 相 同 。设 a为 ml 矩阵 , b为ln矩阵 ,分块成b1即列向量组b2即行向量组，a a1, a2 ,l at (), bm()bn.下载可编辑 .c11lc1 r其中 ai1, ai 2 ,l , ait 的列数分别等于 b1 j , b2 j ,l, btj的行数 , 那么 abmm，cs1lcsrt其中 cijaik bkji1,l, s; j1,l ,r。k1结论分块矩

12、阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似。分块对角阵（准对角矩阵）设 a 为 n 阶矩阵， 若 a 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且a1非零子块都是方阵， 即aa2，其中 ai1,2,ls都是方阵 ，则有：oias1)aa1a2 las 。a12)若每个ai0,则 可逆且有aa2，a,oasa可逆ai可逆 i1,2,l, s且 a 1diaga11 , a21,l, as1（ diag （ a）表示对角阵a）（课本 p？）有用的结论设 a t ao, 则 ao（证明见课本 p?）线性方程组的分块表示a11 x1a12 x2.a1n xnb1线性方程组a21 x1a22 x2.a2n x