曾谨严量子力学习题第二章

1、目次 第二章 第三章 第四章 第五章 第八早 第七章 第八章*波函数与波动方程，”，”125一维定态冋题,2680力学量用符表达,80168对称性与守衡定律,168 -199中心力场，,，200 -272粒子在电磁场中的运动,273 -289自旋11 丿5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5)290 -340*参考用书1 曾谨言编著：量子力学上册2 周世勋编：量子力学教程科学。1981人教。1979人教。1982人教。19813. L I 席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学4. D 特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集5 列维奇著，李平译：量子力学教程习题集高教。19586原岛鲜著：

2、初等量子力学(日文)裳华房。19727. N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications西联影印。8. L.Pauling.E.B.Wilson:lntroduction to Quantum- Mechanics(有中译本：陈洪生译。科学)19519. A.S.Davydov: Qua ntum Mecha nics Pergamon Press 196510. SIEGFRIED.FIuegge:Practical Qua ntum- Mecha nics(英译本)Sprin ger Verlag 197311. A.Mes

3、sian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 196112. L.La ndau,E. Lifshitz:Qua ntum-Mecha nics1958量子力学常用积分公式1948n ax1 n ax n(1) x e dx x ean n 4 ax .x e dx a(n 0)axea2 b2(asin bx - bcosbx)p ax .(2) e sin bxdx =ax(3) eax cos axdx =e22 (acosbx bsinbx)a b11(4) xsin axdx sinax xcosax aa2(5)x2 sin ax

4、dx2x (2x2 sin ax (2) cosaxaaa(6) x cos axdx= cosax sinax aa2r 2, 2x丄，X 2、(7 x cos axdx 2 cosax (3) sin ax)aa a(a 0)厂 x Jax2 +c +ln(掐x 十嘗 ax2 + c)22品(8)、ax2 cdx 二Tt2sinn xdx2 ax2 carcsi n(2、一 ax)(a22,q理解成转角，一个周期内的运动理解成旋转一周则有2兀:pdq = d = 2二】二 nh(1)(1)说明 是量子化的 nh n(n =1,2,3 .)代入能量公式，得能量量子化公式：E = 1 1，2二

5、2n2 22 .，垂直于平面方向磁场是B，求粒子能量允许值（解）带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动，设圆半径是r，线速度是v，用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是2Bev mv(1)又利用量子化条件，令p =电荷角动量q =转角2兀pdq 二 mrvd 二 2mrv 二 nh (2)2 Be n12mc由（2）求得电荷动能二一mv二2再求运动电荷在磁场中的磁势能，按电磁学通电导体在磁场中的势能磁矩*场强 _电流*线圈面积 *场强 _ ev*二r2 * B，v是电荷的旋转频率，v =代入前式得Be办n运动电荷的磁势能 = (符号是正的)2mcBe衣n点电荷的总能量=动能+磁势能=E= ( n=

6、 1,2,3 )2mc#m)的能量和动量由下式给出：(1)对高速运动的粒子(静质量me21 2-1爲e2mvv2J试根据哈密顿量及正则方程式来检验以上二式2 422=m c c p (3).由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系计算速度并证明它大于光速cH(解)根据式来组成哈氏正则方程式组：=，本题中q =v, p. = p,因而 qi d P. T2cJ2 4 丄22e pv = . ： m e e p :2 42 2(4)p,me e p从前式解出p (用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.其次求粒子速度V和它的物质波的群速度Vg间的关系运用德氏的假设右方

7、，又用E =-于式左方，遍除h :k于(3)式按照波包理论，波包群速度e2e2km2e4-2e2k22k2 z：(k)Vg是角频率对波数的一阶导数:最后一式按照(4 )式等于粒子速度 V,因而vG = v。又按一般的波动理论，波的相速度Vp是由下式规定（:是频率）Vp = k利用（5）式得知-24me 2Vp 二,2k2 e e （6）故相速度（物质波的）应当超过光速。P k vVGVpVg(7)最后找出Vg和Vp的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设:#（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律niS i n n2s i n 2mv则（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出

8、下述非难:如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理心.I pdl = 0认为p = -pdl =0这将导得下述折射定律n 1sin ： 3 = n3sin ： 1这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：P = E；仍就成立,c粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有、.pdl =0，你怎样解决矛盾？（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定 点A到定点B的路径是两段直线：光程I = n1AQ mQB设A，B到界面距离是a,b（都是常量）有I 二 n1ase 1 n2bsec： 2又AB沿界面的投影c也是常数，因而:-1，:. 2存在约束条件：atg ： btg

9、： 2 = c ( 2)求(1)的变分，而将2看作能独立变化的，有以下极值条件、l =niasec： id： 1 n2bsec： 2tg ： 2d： 2= (3)再求(2)的变分 aseC：. 1d： 1 bseC 2d2=0与消去d-. 1和d ：. 2得n 1sin ：= n2sin 2(5)乙法见同一图，取x为变分参数 取0为原点，则有：I =nT a2 X2n2 b2 (c_x2)求此式变分，令之为零，有： 创= n1x5x _ n2(c_x)6x_ = 0 (a2 +x2Jb2 +(c _ x)2这个式子从图中几何关系得知，就是(5).(2)按前述 论点光若看 作微粒 则粒子速度 V

10、应等于光波 的群速度 VG光程原理作22ccVGdl -0，依前题相速 Vp =，而Vg = - cn，n是折射率，n是波前阵面更引起的，而VgVp波阵面速度则是相速度 Vp，这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理；! i ndl =0前一非难是将光子的传播速度V看作相速度vp的误解#7当势能V(r)改变一常量C时，即 V(r) V(r) c，粒子的波函数与时间无关部分变否？能量本征值变否？(解)设原来的薛定谔方程式是d 2； fr -yE -V(x)” -0 将方程式左边加减相等的量L得：dxJ E C-V(x)CV min令屮=屮n（本征态）则E = en而En Vmin 得证#9设粒子

11、在势场V（r）中运动 证明其能量的平均值(1)是:E = Wdx2 = *、- dx2m其中W是能量密度t（2）证明能量守恒公式- 舟2 汐厂总屮其中 S（*）（能流密度）2m ct ctah2（证明）（1）三维粒子的能量算符是：H3 V 2m求H在状态中的平均值23EH -dx 二 （一亍- V ）d x由于宇 、粤-、(v v)亠,将此式代入前一式:23*3p（?专）一 w 7 ；. dx 亠 lib V?d x 2m22m舟2*3*3*3iii （审小】）dx3V:- dx3 亠 ii Vd3x2m ；最末一式按高斯定理化为面积分22m(八3dSS若宇满足平方可积条件，则此，因而:-:t

12、-22m、弓;:t汕3 V 八-；：t.：t.:t2V2m-工宀.t;:t;:t2门宀*_7=-:t rt2理2m；?2?Vflim宇 n - 0，s考虑为无限远处的界面。结果证得公式 r-.求式中能量密度W的时间偏导数，注意 7。？ 一般都含时间，、雹， 也是如2-粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式:rt2弓 w2m1j- - -*又设S则有2m ctct _S*一S_t: t ；t；t ；t公式得证。10设N个粒子的哈密顿量为：N - 2Nc*2k = -E i +Z Vjrrj i A 2m i 4?(叩2rN ,t)是它的任一态函数，定义:(r,t)=v (r,t) j(r,t)

13、= ji(r,t) :Lt)二.d33 d3rf*T-hji(ri,t)d 37乜d2im求证：j = 0点p Q-证明按定义：i(r,t)ctct i=、 d3ri d3rid3ri idrN?i:t广23廿9,3一7(叮孚十斗甲)i: t ： t-y :?i(ri,t)i多粒子的体系的状态?(r1r rN ,t)应当满足多粒子薛定谔方程式，轭方程式:=11k2V2m2)7 7 Vjjk一2=Zk72mk2)宇VjLjk写出这个方程式和其共(6a)(6b)- -将前二式等式右方的式子代替左方的，代进式说ct*22*(甲J甲甲k甲) 2imCi, 3,3,3、.-二 dr 0，）0，因而（3）

14、式的面积分等于 0。这证明总几率P - 吋*?d3x不守恒，因为；:P如果考察有限体积 Q之内总几率的变化率，令:（3）式改写为:- hJ =2m i(- J - W *)P：t-.J ds 2 *V2(xp d3xs门(5):P匚是空间门内粒子几率减少或增加的速度，右方;:t-J d s是指i】的包围面S上几率流s2*Q动的速度（流进或流出），右方-V2（xp d3x指由虚数势能引起的，附加的几率变化 速率，题目所指的是这一项。13对于一维自由运动粒子，设（x,0） =、：（x）求*（x,t）2。（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件, p ,能量是E,为了能代表一种最普遍的一维自由运

15、动，既然是自由运动， 可设粒子动量是可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数:1木(心時gP)Px-Ei)e d p这是一维波包的通用表示法，是一种傅立叶变换，上式若令t = 0应有 (x,0)1： ：- px二丽口恥dp但按题意，此式等于 J.（x）。但我们知道一维:.函数一种表示是:：eikxdk将（2）（ 3）二式比较：知道k = P，并且求得 （p） 口 h于是（1）成为.(PX-Ei)e d pi m xe2t- (x,t)二2m 一 二hr(4)2这是符合初条件的波函数，但 p, E之间尚有约束条件 E = （因为是自由粒子,2m总能量等于动能），代入（4）ip2

16、1.*px i)(5) (x,t)-e 2m d p2兀舟节将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果：imx2it mx屮（X,t）=e2f e%於 p2i）dp2 ?. ，.p =写出共轭函数（前一式i变号）:imx2 |孑(x,t)=1 一萍 i2mAji2 二一 , -itE2艺長本题也可以用Fresnel积分表示，为此可将（6）式积分改为:. 2用课本公式得即(x,t)1 巧m師叶=一 (1 +i)ie 2吒屮(x,t)2曲 tmx)2dp两者相乘，可得相同的结果。14在非定域势中粒子的薛定谔方程式是:-A2(1)i x，t? x，t V x,x ? x，t d3xx/2m求几率守恒对非

17、定域势的要求。此时，只依赖于波函数r在空间一点的几率波是否存在?解按题意，是要求写出几率守恒的条件, 从这个条件寻出 V x, X应当遵守的要求。几率守恒的条件是:】*3?d3x =0与13题类似，可写出*Ld3x川普Q v1的共轭方程式:t-t=0(2 )(x: t)d3x(3)- -将1和3中的 和想等同的式子代入到Si2式中去,就得到如下的条件:.:tIII 国2中* d3x 丄2mi 门i?* x，t V x，x v x，t - ？ x，1(x； t )d3x d3x = 0将前式等号左方第一项变成面积分高斯定理，第二项变成六重积分:h-1* ds2mi ；i(4 )k.m, IIii

18、innf x，t V x，x ?x，t -?x，tV x，x? x，td3xd3x =0前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件（？ 0, ? x 0当x：时）可消去,因宇X，t和？ X ，t形式相同，xx对易：和* x，t V x，x -V* x，x 新 x，t d3x d3x、0(5)这积分式定积分，它等于零的可能性要求被积函数为零，即:V x， x 二V x， x因此Vx，x，必须是x，x 实函数。#亍22宇x，t广川V x，x r2mx15写出动量表象中的薛定谔方程式。解本题可有二中A含时间薛定谔方程式，B定态薛定谔方程式。A写出含时间薛氏方程式：- 2iV x ?2m为将前式变换成动

19、量表象，可写出含时间的表象变换式:2jjiix，t eipx/ d3xT为了能用（3）变换（1 ）式，将（1）式遍乘1就i”d3xct2 二-2 1/2-2m 2一/2宀尹/几(2)(3)1就04小，对空间积分:3/2 11 iV x ex/ d3x左方变形.:t12?.-3/2 ! I 请x, t e_Lpx/ d3x等号右方第一积分是可以用三重积分的分部积分来变形的，这式写成标量:-12 丁 3/2一2一 fff | + 2m:x2口2口2C Ih C G-2/y :z-2?eippyy PzZ/ dxdydz计算（5）的x部分分部积分法:_2/_.- i PxX Py y pzZ / r

20、edxdydzzyxXdydzzyx-f 打 d 2空 ei x卄y yzZ y? Ji ( Pxx -Pyy -Pzz) /oOdydziPxai ( PxX4Pyy4PzZ)/gi l iedydzz y xiPx.i (Pxxpyy 亠pzz) /:-dydz2Px(匹)2.PxxPyy Pzz)-dxdydz一2. *(Pxx Pyy Pzz)、dxdydz关于 2.:y2;z的积分按同法计算,(5)式的结果是2m4U-f 222Px +Py +Pz-in-13 /尹(x, t)eipV7 办122P? x, t epx/ dxdydz再计算(4)式右方第二积分1 方! i iV x

21、? x, t eJP x/ d3x23Vx/P，”/ d3pe/hd3x =丄p, t . Vxe，(Px/ d3xd3p(7)二 G p, p * p , t d3p但最后一个积分中11 （p：-p）X 3Gp, p 右.Vxe dx.指坐标空间，.p指动量相空间，最后将（4） （6） （7）综合起来就得到动量表象的积分方 程式如下：p3i 亍- p, t =-: p，t G p，p p，td p（8）讥2mp若要将定态薛定谔方程式从坐标表象变成动量表象，运算步骤和上面只有很少的差别，设粒子能量为E，坐标表象的薛氏方程：2x E V x 匹 IX7-02m动量表象方程也是积分方程式，其中G（

22、 p，p J是这个方程式的核（Kernel）2-牛一 p E- p -.G p，p- p，td2p =0（ 9）2mp#16 *设在曲线坐标（q1q2q3）中线元ds表为dsgikdqidqk写出这曲线坐标中的薛定谔方程式，写出球面坐标系中的薛定谔方程式。&Oxex（解）dxdq1dq2同样关于y,z有类似的二式。（这里为书写方便q的上-qiq标改成下标。）*参看 Amer.J.Phys.Vol.41.1973-11ds2 = dx2 dy2 dz2 =dq1dq2;议；：xq ：p3空丄丄竺dq2dq3:q2 ：p3：p2 qI ； x ；x 93 ；q:yy：q ：qdq3dqiq ；qx