工程测量误差测量理论例题和习题专题复习

1、测量误差理论 中误差估值 （也称中误差） i（ i=1，2，n） 6-8) 例】 设有两组同精度观测值，其真误差分别为： 第一组-3、 +3、 -1、-3 +4、 +2 1 、 -4； 试比较这两组观测值的精度，即求中误差。 解： m1 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 1 32 42 22 1 42 2.9 8 m2 1 5 2 1 62 4 2 0 32 1 3.3 8 由于 m1m2， 可见第一 组观测值的精度比第二组高。同时， 通过第二组观测误差的分布情 第二组 +3、 -1。 +1 、 -5、 -1、 +6 、 -4、0 况可看出其误差值的波动幅度较大， 因而也可判断出第二组观

2、测值的稳定性较差， 则精度较低。 另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度，并不表示某个观测值的真误差。 、相对误差： 观测值中误差 m的绝对值与相应观测值 S相比，并化为分子为 1、分母为整 6-10) 数的形式，即 SS m 三、误差传播定律 例】丈量某段斜距 S=106.28 m ，斜距的竖角 8 30 ，斜距和竖角的中误差分别为 ms 5cm 20 ，求斜距对应的平距 D及其中误差 mD 。 解：平距 D S cos 106.28 cos8 30 105.113m 由于 D S cos 是一个非线性函数，所以，对等式两边取全微分，化成线性函数，并 用“ ”代替“ d”得 D

3、 cos S S sin 再根据（ 6-29）式，可以直接写出平距方差计算公式，并求出平距方差值 2 2 2 2 m 2 2 2 2 20 2 mD2(cos)2mS2(S sin )2 ( )2(cos8 30)252(106.28 sin8 30)2( ) 24.477 (cm)2 206265 因此，平距的中误差为： mD=5 cm。则最终平距可表示为： D=105.113 0.050 m 。 应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角 度单位和长度单位，所以，应注意各项单位要统一。例如，上例中的角值需要化为弧度。 综上所述，应用误差传播定律求任意函数

4、中误差的步骤如下： 列独立观测值函数式 f (x1, x2 ,xn) 对函数式进行全微分 dz dx1 x1 dx2 x2 dxn xn 写出中误差关系式 2 f2 mx1 x11 x2 2 2 m x2 2 2 mx xn 应用误差传播定律应特别注意两点： 正确列出函数式； 函数式中的各个观测值必须是独立 观测值 。 例】 用长度为 l=30 m的钢尺丈量了 10个尺段，若每尺段的中误差 m =5 mm，求全长 D及其 中误差 m D 。 解：列独立观测值函数式 l1 l 2 l10 对函数式进行全微分 dD 写出中误差关系式 mD dl1 dl2 ml21 ml22 dl10 ml210

5、10 m2 则，全长的中误差为 mD = 52 52 525 10 16mm D=10l ，写出全长 D的中误差关 函数 Z的中误差 m my2 4my2 y1y2 (3mx) 2 4 (2mx )25 mx 如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式 系式并计算中误差 mD=10m =105= 50mm。答案错误，原因在于错误地列出了函数式。 例】 设有函数式 Z=y1+2y2+1，而 y1=3x， y2=2x+2，已知 x的中误差为 mx，求 Z的中误差。 解：若直接利用式（ 6-16 ）和（ 6-23 ）计算，则 y1和y2代入函数式 Z，合并同类项后即 面答案是错误的！这是因

6、为 y1和y2均是 x的函数，它们不是互相独立的观测值，因此， 不能直接应用误差传播定律进行计算。正确的做法是先将 为独立观测值，再应用误差传播定律，即 【例】 对某段距离进行了 5次等精度观测，观测结果列于表 6-3，试计算该段距离的最或然值及 其中误差。计算见表 6-3。 Z 3x 2(2x 2) 1 7x 5 7m x mZ 表63 利用观测值的改正数计算观测值中误差 序号 观测值 L （m） 改正数 V （cm） VV (cm) 精度评定 1 251.52 -3 9 最或是值： x L 1257. 47 251.49 m n5 观测值中误差： VV 20 cm 2 251.46 +3

7、9 3 251.49 0 0 4 251.48 -1 1 m 2.2 m n 1 5 1 2.2 5 251.50 +1 1 最或是值中误差： M m 2.2 1 cm n5 观测成果： x=251.494 0.01 m L=1257.47 V=0 VV=20 四、加权平均值及其中误差 【例】 已知观测值分别为 L1、L2、L 3，其中误差分别为 m 1= 1、m 2= 2、m 3= 3 则它们的权分别为： 取 =1时， p1 2 m1 1, p2 1, m22 4 p3 2 m3 1 9 取 =4时， p1 2 4, p2 2 1, p3 2 4 m1 m2 m3 9 取 =36时， p1

8、2 36, p2 2 9, p3 2 4 m1 m2 m3 例】 水准测量中按测站数和水准测量距离定权。设在 A、 B两点间进行水准测量，共设置了 n 个测站，各测站的高差分别为 h n，则 A 、B 点间的高差 h AB为 h 1、 h 2 、 6-38) h AB=h 1+h 2+ +h n s，则 A 、B间的水准测量距离 S AB=n （6-39） s，由式（ 6-39 ） 若每个测站的高差中误差为 m 站，则根据误差传播定律可得 h AB 的中误差为 mhAB m站 n 若设每测站的水准距离相等，均为 可得 h AB 的中误差 mhAB m站 SABm站 ss 6-40) m站 站

9、，则式 为每公里水准测量高差的中误差。因此，式（6-40 ）变为 mhAB m 公里 SAB 6-40 )变为 mhAB SAB 。当 S AB=1 km 时， mhAB =m 公里=，可见 6-41) 由式（ 6-39 ）和（ 6-41 ）可得：水准测量高差的中误差与测站数的平方根成正比，与距离 的平方根成正比。可见，在水准测量中，测站数越少或距离越短，则观测高差的精度越高。 若取c个测站的观测高差中误差为单位权中误差，根据权定义式（ 6-37）和式（ 6-39 ），可 得观测高差 hAB 的权为 22 2m站 c c PhAB2 2 AB mhAB m站 n n（ 6-42） 若取 c公里

10、观测高差的中误差为单位权中误差m公里，根据定义权公式（ 6-37）和式（ 6-41 ）， 可得观测高差 hAB 的权为 PhAB 22 2m 公里 c 22 mhAB m 公里 SAB c S AB 6-43) 由（ 6-42 ）和（ 6-43 ）式可知：水准测量高差的权与测站数成反比，与水准路线的长度成反 比。所以， 通过测站数和水准测量距离就可以确定观测高差的权，而不需要利用中误差来定权。 【例】 在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数 测，得相应的算术平均值为 L1、 L2、 、 Ln ，求 L 1、 n 1、 n 2、 L2 、 Ln 的权。 n n 进行 n 批观 解：设各

11、观测值的中误差分别为 m 1、 m 2、 m n ，且观测一次的中误差均为 m ，则 m1 m2 nn 因此，相应的权为 pi 2 mi ni ，再令 2i m c 2 ，则 m pi c ni ，若取 c= 1，则 ni ni pi 可见，在相同的观测条件下， 算术平均值的权与观测次数成正比（或相等） 6-44) 设 n 个不等精度观测值 L1、L2、 Ln，相应的权分别为 P1、P2、 Pn，则最或然值（称 为加权平均值 ）为 x p1L1 p2L2pnLn pL x（ 6-45） p1 p2pnp 可以看出， 当各观测值为等精度时， 则权 P1=P2=Pn=1，上式就与算术平均值计算式

12、（ 6-31 ） 相同。 下面根据式（ 6-45）推算加权平均值的中误差。设观测值L1、 L2、 Ln的中误差分别为 m1、 m2、 mn，则根据误差传播定律可得加权平均值的中误差为 Mx P122 m12 P222 m22 P2 由权定义式（ 6-37），有 mi2 P 2 ，代入式（ 6-46 ）可得 pi P2 n2 n 2 m n2 P2 6-46) Mx 2 P1 2 P2 2Pn 2 (P P 2 2 2 2 1 2 P 2 P 2 P 2 P 2 1 2 实际计算时，上式中的单位权中误差 Pn) P 可用观测值的改正数来计算，其计算公式为 6-47) PVV n1 -48) 将式

13、（ 6-48）代入式（ 6-47），可得加权平均值的中误差计算公式 Mx Pvv P ( n 1) 6-50) 例】 如图 6-3所示，从已知水准点 A 、B、C经三条水准路线，测得 线长度 Si（见表 6-4），求 E点的加权平均值及其中误差。 1 各条水准路线权：pi （由式 6-43 可得） i Si 加权平均值：x pH 527.469 （m） p 加权平均值中误差： Mx pvv 8.84 (mm) p(n 1) 则E点高程：HE=527.4690.009 ( m) E点的观测高程 Hi及水准路 观测路线 E点观测高程 Hi （m） 观测路线长度 Si （km） 观测高程权 pi 观

14、测值的改正数 vi x Hi （mm） PVV 1 527.459 4.5 0.22 10 22.00 2 527.484 3.2 0.31 -15 69.75 3 527.458 4.0 0.25 11 30.25 表 6-4 不等精度高程计算表 图 6-3 不等精度水准路线 五、思考题习题： 1. 观测条件主要由那些因素构成？ 2. 观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？试举例说明。 3. 在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数有误差，试判断误差的性质及符号： （1）视准轴与水准管轴不平行； （2）仪器下沉；（3）读数不准确； （4）水准尺下沉； （ 5）水准尺倾斜。 4. 何谓多余

15、观测？测量中为什么要进行多余观测？ 5. 偶然误差的统计规律是什么？偶然误差的概率分布曲线能说明哪些问题? 6. 已知两段距离的长度及其中误差分别为： 300.465 m4.5 cm 及 660.894 m 4.5 cm，试说明这两段距离的真误 差是否相等？它们的相对中误差是否相等？ 7.在三角形 ABC 中，已测出A 30 00 4, B 60 00 3,求 C 的值及其中误差。 8两个等精度观测角度之和的中误差为10 ，问每个角的观测值中误差是多少？ 9. 以相同精度观测某角 5 次，观测值分别为 3940.5 、 39 40.8 、 39 40.9 、 39 40.8 、 3940.6

16、， 试计算该角的最或然值及其中误差。 10. 丈量两段直线得 D1=164.86m,D2=131.34m,其中误差分别为 mD 0.04m, mD0.03m ，求：（1） 每段直线的相对中误差； （ 2）两段直线之和的相对中误差； （3）两段直线之差的相对中误差。 11. 在水准测量中 ,已知每次读水准尺的中误差为2mm,假定视线平均长为 50m，容许误差为中误差的两倍， 求测段长为 Skm 的水准路线往返测高差的容许闭合差应为多少？ 附图 12. 水准测量从点 A 到点 B，如附图所示。已知 A、B 点高 程分别为 H A 50.145m, H B 48.533m 。 观测高差及其水准测量距

17、离分别为： h1 2.134m, S1 4km; h2 2.131m, S2 2km; h3 2.127m, S3 3km; h4 0.527m, S4 2km; 求C点的最或然高程及其中误差。 13. 等精度观测了 12 个三角形的所有内角，求得每个三角形的闭合差见附表，试计算测角中误差。 附表 三角形编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 闭合差 （ ） 3.2 -1.6 1.4 -2.5 0.7 2.3 -3.1 2.5 -1.8 -0.9 2.7 -2.2 参考答案： 7. C 90 00 5 8 7.071 9 39 40.7 0.1 10 111 1 4121 4378 5924 670 11 4 2S(mm) 12. 48.012 0.002(m) 1.3 13. 为真误差，可得三角形内角和的中误差 M 2.2 ，则测角中误差 m M n m 3 六、追加练习： 1. 对某基线丈量六次，其结果为： L1246.535m， L2246.548m，L3 246.520m， L4 246.529m，L5246.550m，L6246.537m。 试求： （1）算术平均值 ; 246.5365m （2）每次丈量结