高考全国卷理数试题解析版同名

1、绝密启封并使用完毕前试题类型：A2016年普通高等学校招生全国统一考试(新课标1)理科数学注意事项：1. 本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分.第I卷1至3页，第n卷3至5页.2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回第I卷一.选择题：本大题共 12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目 要求的(1)设集合 A x x2 4x 3 0, x 2x 30，则 AI B3333(A)3, 3(B)3,3(C) 1,3(D) 3,32 222【答案】DI试

2、題分析；因为心姻电十3 u0=Wlx斗淌以ACS=xur十？t 3肚亠卫 -nr 5宀卅由双曲线性质知：c1 町-曲-flj = 4w：；其中c是半焦距二焦5E2336j |ftjffix=-:v = 6;則输出的益$的值溝足v = 4x，故选C考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点，一般以客观题形式出现，难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机，按照程序逐步列出运行结果 .(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交 C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知| AB|= 4.2,| DE|= 2 5，则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8【答案】

3、B【解析】试题分析；如凰设抛物线方程为于二2匹AB.DE交工轴于0点.则/0二2运:即虫点纵坐标为近则A点横坐标/ - 一即OC=- 由勾股定理和DF： +冲 =DO=rAC2-OC:=AO7 =汽即PP(击尸十俘)十解得丹即C的焦点到准线的距嵩为斗，故选B，注意解析几何问题中最容易出现运算错误，所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.(11)平面过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点A,II 1ACB1D1 I ABCD m CB1D1 I ABB1A1 n / / CBQ1223 3m/ /m, n/ /n m,n m, n 长 AD

4、 ,过 Di 作 D1E / /B1C ,连接 CE,，则 CE 为 m,同理 B1F1为n,而BD/CE,BiFi/AB,则m, n所成的角即为 AB,BD所成的角，即为60，故 m,n所 成角的正弦值为二三,选A.2考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角【名师点睛】 求解本题的关键是作出异面直线所成角，求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形，解形求角、得钝求补(12).已知函数 f(x) sin( x+ )(0，)，x 为 f(x)的零点，x 为2445y f (x)图像的对称轴，且 f(x)在一，二 单调，则 的最大值为18 36(A) 11?( B) 9? (

5、 C)7? ( D)5【答案】B【解析】试题分析：因为工=为/(X)的雷点,* 为/(X)图像的对称轴，所以 - (为二+顷即44444彳二空丁= 好 竺 師畑北十宀又因为代0在爲謬单调廊以2443此缈的最大值对9故选E36181222考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查，叙述方式新颖，是一道考查能力的好题注意本题解法中用到的两个结论:fxAsi nxA 0,0的单调区间长度是半个周期；若f x AsinxA0, 0的图像关于直线X X。对称则f怡A或f X。A.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作

6、答第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共3小题,每小题5分(13) 设向量 a=(m,1),b=(1,2),且 | a+b| 2=| a| 2+| b|2，则 m=.【答案】2【解析】试题分析：由|a b|2 |a|2 |b|2,得ab,所以m 1 1 2 0,解得m 2.考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题解决此类问题既要准确记忆公式，又要注意运算的准确性本题所用到的主要公式是：若aX1,y1 ,bx2,y2 ,则a b x1 y1 x2y2(14) (2xx)5的展开式中,x3的系数是(用数字填写答案)【答案】

7、10试题分析:(2x+)5 的展幵武通项为 GQhpAy = 25 rC i = OJ,2.:5)5-| = 3 得心 4： 所以.它的系数S2Ct=10考点:二项式定理【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项Tr 1，再确定r的值，从而确定指定项系数(15) 设等比数列 an满足ai+a3=10,a2+a4=5,则aia2如的最大值为 .【答案】64【解析】n 1 2 L (n 1)aiq亠a1a310a,1 q2)1048q，由得，解得所以a2a452aE q )5q试题分析：设等比数列的公比为1 n(n 1)A (厂1 2 7nn2 2 2 ,于是当n3或4时,aa? L

8、an取得最大值 2664.考点：等比数列及其应用高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点，在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用，尽量避免小题大做(16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品需要甲材料，乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料，乙材料,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元住产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料 150kg，乙材料90kg, 则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.【答案】216000试题分析：设生产产品乩 产品启分别为八卩件利润之界哟去元那么1.5x+0.5150,

9、尤4 0劭3“ 5x+31-600.Q目标国数e = 21Q+9QQf二元一次不竽式组等价于Jx+300,10x+3X900.4 5x+3j600t作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图），即可行域.3i*j-30O 21001 O(h-Z1th谄厂M7777将 = 2100x+900y变形得=工+丄,平行直线当直线尸一工+眛经过点M时工3 900S3900职得最大值.解方程组，得m的坐标（60:100）.10+3v=9005jc+3i = 600I*3=60. v = 100atM =2100x60+900x100 = 216003故生产产品儿 产品&的利Mt和的最大値対216000元一

10、考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离解决此类问题常利用数形结合 本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误三解答题：解答应写出文字说明 ，证明过程或演算步骤(17) (本小题满分为12分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2cosC(acosB+b cos A) c.(I) 求 C；3 /3(II) 若c .7, ABC的面积为 ,求VABC的周长.【答案】(I) C (II) 573【解析】一 1试题分析：(I)先利

11、用正弦定理进行边角代换化简得得cosC，故C； (II)根据231 3 32-absin C及C 得ab 6 再利用余弦定理得 a b 25 再根据c . 72 23可得 C的周长为5. 7 试题解析！ 由已和及正2ccs C(sin AcosB + sin B cos A) = sin C即2cosCsin(A + B) = sinC . 2sinCco-sC = sin C .可得二丄，所以C二二23IT又c所畑=6.由已知及衮绽理得& + -2frcosC=7.故+尸=13川而S+研=25所以AABC的周长为考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式式 si nA Bsi nC,cos A

12、 B【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公cosC, tanA BtanC,就是常用的结论，另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式，常考虑对其实施“边化角”或“角化边”（18）（本小题满分为12分）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,AFD 90,且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F都是 60 （I）证明：平面 ABEF 平面EFDC（II）求二面角 E-BC-A的余弦值.【答案】（I）见解析）II）2,1919试题分祈：（I）先证明丄平面EFDC；结合AFu平面ABEF可得平面ABEF _平面EFDC . 5）建il

13、空间坐标萦:分別求出平面BCB的去向量朋及平面BCB的法向量w，再剎用cos（5; ）= ._., 求二面试题解析：（I）由已知可得F DF, F F，所以 F 平面FDC.平面F,故平面F 平面FDC .（II）过D作DG F,垂足为G,由）I）知DG 平面 F 以G为坐标原点，G的方向为x轴正方向uurGF为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz .由）I）知DF 为二面角D F的平面角，故 DF 60,则DF 2, DG3,可得1,4,0 ,3,4,0 ,3,0,0 ,D 0,0八3 .由已知， F,所以/平面FDC .CD I 平面 FDC DC,故/CD , CD/ F.由

14、/F,可得平面FDC,所以C F为二面角CCF60 .从而可得C2,0, 3 .uuuuuu-uuu所以C1,0, - 3 ,0,4,0 , C3, 4,、3 ,又平面F的平面角4,0,0设n x, y,z是平面 C的法向量,则r uua_n C 0x , 3z 0r uiu，即，n 04y 0所以可取n 3,0,3.r uuu设mm是平面 CD的法向量，则m UC 0m 0同理可取 m 0,j3,4 则 cos（n,m） n m lnlml2.1919故二面角C 的余弦值为2空.19考点：垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明，空间中线面位置

15、关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主第二问一般考查角度问题，多用空间向量解决.（19）（本小题满分12分）某公司计划购买 2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件,在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备 件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易

16、损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数 .（I）求X的分布列；（II） 若要求P（X n） 0.5,确定n的最小值；（III） 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n 19与n 20之中选其一，应选用哪个？【答案】（I）见解析（II）19（III）n 19【解析】试题分析：（I）先确定X的取值分别为16,17,18,18,20,21,22,再用相互独立事件概率模型求概率，然后写出分布列；（II）通过频率大小进行比较；（III）分别求出n=9,n=20的期望 根据n 19时所需费用的期望值小于 n 20时所需费用的期望值，

17、应选n 19.试题解析；（I由柱状图并以频率代替般率可得L台机器在三年内需更换的易损零件数为8.9J0J1的机率分别为0.2,0.10.2,0X从而 = 16） = 0.2x0 2 =0.04 |P（ = 17） = 2k0_2xC.4 = 0.16i= lB） = 2；O.2xOJ + D.4x0.4 = 0.24 ； = 19）2x0.2x0.2-1-2x04x0.2 -0.24，P（X二 20）二 2x0.2x0.4 + 0.2k0.2 = 0.2=21） = 2x0.2x0.2 = 0.08 ;P(X= 22) = 020.2=0.04所以X的分布列为X16171819202122P0

18、.040.160.240.240.20.080.04（n）由（i）知P(X18)0.44, P(X 19)0.68，故 n 的最小值为 19.（川）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）当n19 时,EY192000.68 (19 200 500) 0.2(192002 500) 0.08(19200 3500)0.044040.当n20时，EY20 2000.88(20200 500) 0.08 (20 200 2500)0.044080.可知当n 19时所需费用的期望值小于 n 20时所需费用的期望值，故应选n 19.考点：概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】本题把随机

19、变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查，有一定综合性但难度不是太大大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.（20）.（本小题满分12分）设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A,直线I过点B（ 1,0）且与x轴不重合，1交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（I）证明|EA EB为定值，并写出点E的轨迹方程；（II） 设点E的轨迹为曲线 G，直线I交C1于M,N两点，过B且与I垂直的直线与圆 A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.2 2【答案】（I） y 1 （ y 0） （II） 12,8 3）4 3【解析】试题分析：根抿|4|+|B|可知

20、轨迹対椭圆刑用棉圆定义求方程；（ID分綁是舌存在设出直线方程:当直鲨斜率稈在时设其方程打v =昨W工0）,根据根与系数的关系和弦长公式把面枳表示为工斜率”的圏数: 再求最值.试题解析：（I）因为 |AD| | AC |,EB/AC,故 EBD ACD ADC ,所以 | EB | | ED |,故 | EA| | EB | | EA | | ED | |AD |.又圆A的标准方程为(x 1)2 y2 16,从而|AD| 4 ,所以| EA | | EB | 4.由题设得A( 1,0) ,B(1,0) ,| AB | 2,由椭圆定义可得点 E的轨迹方程为：2 y_ 3(n)当I与x轴不垂直时，设

21、l的方程为yk(x 1)(k0) ,M (为畀)，NXy).y k(x 1)由 x2 y2得(4k2 3)x2 8k2x 4k2 12 0.x 14 3则 x-ix28k24k2124k23所以 | MN |1k2 |X1X2 |12(k21)4k23过点B(1,0)且与I垂直的直线m : y1 2(x 1),A到m的距离为一2一,，所以kk 1|PQ| 24第13.故四边形MPNQ的面积1 1s 2|MN|PQ| 121 4k23可得当I与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8、.3).当I与x轴垂直时，其方程为x 1 ,| MN | 3,| PQ | 8,四边形MPNQ的面积

22、为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为12,8. 3).考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成，其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用2(21)(本小题满分12分)已知函数f x x 2 ex a x 1有两个零点.(I)求a的取值范围;(II)设X1,X2是f x的两个零点 证明：XiX22.【答案】(0,)【解析】试题分析(I)求异才鵬辱函数的符号来确定左娶荽根將导函数零点来分类；(H)僧组第一问的结论来证明: 由单调性可知期+巨弋2等价于f (珀fi时砧(工)8.从而貞吃/卩一禺)U0 ；故可十吃 /(2-冷)f(2)/(x.)二(七一R卢 + 冰E -1尸=0所以f(2 Xn)=花扩F 一花一厂护.设 M 二一血X -x- 2阿贝0CO =(X-声)所以当拓a 1时而f(= a故当Jtm,5(x)o.从而伍)=丁(2-2) 0 :故血十花 0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中 ，曲线C2： p=4 cos(I