2010丰台模一理答案0001

1、丰台区2010年统一练习（一）数学（理科）参考答案、选择题（每小题 5分，共40分）题号12345678答案DCAABCBC、填空题（每小题 5分，共30 分）9、4 ； 10、24爲；11、0.09，680 ； 12、罷；13、（2,4 ；14、-，（-）424三、解答题（本大题共6小题，共80分）15、（ 12分）已知函数 f（x）=asinx+bcosx 的图象经过点（一,0）,（ ,1）。63（I）求实数a,b的值；HT（U）若x 0,，求函数f（x）的最大值及此时x的值。2IT5T解：（I）：函数 f（x）=asinx+bcosx 的图像经过点（一,0），1）6313b =02, 4

2、分1a b = 12 2解得：a=-、3,b=-1 5分(儿)由(I)知：f(x)=、3sinx-cosx=2sin(x- ) 8 分6nnnnt:x 0,：,二 x-匸卜匸，；,9 分2 663当x-,即x= 时，f(x)取得最大值、3。 12分63216、（ 14分）如图，在底面是正方形的四棱锥 P-ABCD中，PA_面ABCD , BD交ACD于点E，F是PC中点，G为AC上一点。（I）求证：BD _ FG;（H）确定点 G在线段AC上的位置，使FG/平面PBD，并说明理由；（川）当二面角B-PC-D的大小为时，求PC与底面ABCD所成3角的正切值。证明(I): / PA_面ABCD，四

3、边形ABCD是正方形，其对角线 BD,AC交于点E, PA_BD,AC BD, BD 平面 PAC, FG 平面 PAC, BD FG 5 分3解（n）:当G为EC中点，即AGAC时，FG/平面PBD, 7分4理由如下： 连接PE,由F为PC中点,G为EC中点，知FG/PE ,而FG 平面PBD,PE 平面PBD,故FG/平面PBD。 9分解（川）:作BH PC于H,连结DH,/ PA_面ABCD，四边形ABCD是正方形， PB=PD,又 BC=DC,PC=PC, PCBA PCD, DH PC,且 DH=BH, BHD就是二面角B-PC-D的平面角， 11分即 BHD兰,3T PA_面ABC

4、D, PCA就是PC与底面ABCD所成的角 12分连结 EH,则 EH BD, BHEa,EHPC,3BE lEH匹3,sinPCA空上， tanPCA=! tan BHE= 3,而 BE=EC,EHEC 3242、 PC与底面ABCD所成角的正切值是 14分2或用向量方法：解：以A为原点，AB,AD,AP所在的直线分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,设正方形 ABCD 的边长为 1,贝 U A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0)D(0,1,0),P(0,0,a)(a0),E(,0 ),F( 1 丄a),G(m,m,0)(0m2 2 2 2 22分3m=,4故当/ 3

5、3 c、，一，0),443AG= AC 时,43.AG AC,4FG平面PBD设平面PBC的一个法向量为U( x,y,z)，则：兰=，而 PC=(1,1,_a) =(0,1,0),u BC = 0x+y_az = 0 y =0取z=1,得u=( a,0,1 ),同理可得平面 PDC的一个法向量为v= (0,a,1),设u,v所成的角为，贝U |cos|=|cos3T即鵲=.厂厂12分/ PA_面 ABCD,PCA就是PC与底面ABCD所成的角，14分PA .tan PCA=AC17、( 14 分)某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响。21已知师父加工一个零件是精品的

6、概率为一，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为 -。3 9(I)求徒弟加工 2个零件都是精品的概率；(n)求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；(川)设师徒二人加工出的 4个零件中精品个数为，求的分布列与均值 E 。解：(I)设徒弟加工1个零件是精品的概率为 P!由 2 2p2 .1 得 pi 二,3 3941所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是 -4(n)设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为P21由(】)知，师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下所以P2=l -9 4 9 49 436(川)的分布列为01234P1613124P363636363613分的期望为0丄+ 1色+213+

7、312+443636363614分36a1 8 (13分)已知函数f(x)=l nx，36 3(I)当a ：0时，求函数f(x)的单调区间;3(n)若函数f(x)在1,e上的最小值是，求a的值.2a解：函数f(x) =1 nx的定义域为(0, +8),a xaf (x):(i)： a : 0 , f (x) .0 ,故函数在其定义域(0, + R)上是单调递增的。(H)在1,e上，分如下情况讨论： 当a1时，f (x) . 0,函数f(x)单调递增，其最小值为f(1) = a1 ,这与函3数在1,e上的最小值是 3相矛盾； 6分2 当a=1时，函数f (x)在(1,e单调递增，其最小值为f(1

8、) = 1，同样与最小值是3相矛盾； 7分2 当1ae时，显然函数f(x)在1,e上单调递减，其最小值为 f(e) =V-2 ,e仍与最小值是相矛盾； 12分2综上所述，a的值为。 1 分 19、(1分)在直角坐标系xOy中，点M到F1 (- ,0)、F2(、, 0)的距离之和是4，点M(I)求轨迹C的方程;AQ = 0时，求k与b的关系，并证明直线的轨迹C与x轴的负半轴交于点A ,不过点A的直线I : y = kx b与轨迹C交于不同的两过定点.解：(1)点m到(-3,0),(-,3,0)的距离之和是4, M的轨迹C是长轴长为4,焦点在x轴上焦距为 2 3的椭圆,2其方程为L *2=1. 3

9、分4（2 ）将y =kx b，代入曲线C的方程，整理得（1 4k2）x2 8kbx 4b2 _4二0 , 5分因为直线I与曲线C交于不同的两点 P和Q , 所以二=64k2b2 _4(1 4k2)(4b2 _4) =16(4kb2 1) 0 .设 P(x“ yj, Qg, y2)，则x1 x2単1 4k24b2 -4”2 _ 1 . 4k2且 yi y2 = (kxb)(kx2 b) = k2x-ix2 kb(x( x2) b2.显然，曲线C与x轴的负半轴交于点 A（-2,0）,所以 AP =(为 2,yJ , AQ =区 2,y2),AP AQ =0，得(x1 2)( x2 2) y1y 0

10、 .10分将、代入上式，整理得 12k2 -16kb 5b2 = 0 , 所以（2k -b）（6 k -补0 ,即Wk或b申.经检验，都符合条件.当b = 2k时，直线I的方程为y = kx 2k .显然，此时直线I经过定点（-2,0）点即直线I经过点A，与题意不符.t 6656当b k时，直线I的方程为y = kx k =k（x ）.显然，此时直线I经过定点（-一，0） 5565点，且不过点A .综上，k与b的关系是：b=6k，且直线I经过定点（-6,0）点. 13分5520、（14分）设集合W由满足下列两个条件的数列aJ构成：an 孔 2n 1;存在实数M使an乞M 。 （n为正整数）2（

11、I）在只有5项的有限数列：an*、bn中，其中ai=1,a2二2,a3=3,a4= 4 ,a5 = 5 ；b-i = 1,b = 4, b = 5, b4 = 4, b5 =1 ；试判断数列：an是否为集合 W中的兀素；17（n）设gn ?是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，q , S3，试证明4 4Sn；三W，并写出M的取值范围；求证：数列1dn?单调递增。解：（I ）对于数列 an，取a-一 =2 = a2，显然不满足集合 W的条件，故a.不（川）设数列Idn；三W，对于满足条件的 M的最小值M,都有dn=M。（ nN”）。2是集合W中的元素。 2分对于数列bn，当 n123,4,5

12、时，不仅有 =3：鸟,匕2 b4 = 4 ： b ,2 2b_b5 - 3 b4 ,而且有bn - 5 ,显然满足集合 W的条件，故bn是集合W中的元素。2 4分17（n）v ：cn ?是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，q , S3，设其公4 4比为q0,二C =7，整理得，6q -q-1=0q q 4 _1 1 q=2 C1 二1， =271s =2 7 分对于n N；有2令一六：2-余1，且3 ：2 ,故、Sn ；三 W，且 M 2, ： ：）。 9 分（川）证明：（反证）若数列非单调递增，则一定存在正整数 k,使dk - dk .1，易证对于任意的n k,都有dn dn+1，证明如下：假设 n=m(m k)时，dm dm