简便计算(四)——裂项相消法

1、第5讲 简便计算（四）一一列项相消法（拆分法）一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相 加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。:列项相消公式(1)111n(n 1)nn1k11(2)n n knnk(3)1(-)n(n k)nnk(4)1n n 1n 2n(5)a b 11abab2 . 2(6)a bbaa bab1kJ_11n 1 n 1 n 22三：数列（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。（2）数列中的每一个数叫做这个数列的项。依次叫做这个数列的第一项（首项） 、第二项、第n项（末项）。（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。

2、四：等差数列（1） 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个 数列就叫做等差数列。而这个常数叫做等差数列的 公差。（2）等差数列的 和=（首项+末项）X项数十2（3）等差数列的 项数=（末项-首项）十公差+14）等差数列的末项=首项+ 公差X（项数-1 ）三：经典例题1111111例1、12233445566778（例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式1 n(n1)例2、1111112 20 30 42 56例3、1+3丄+5+76121+9丄+11丄+13丄+15丄+17丄+19 302042567290110例4

3、、9 1111 13例5、15356399例6、1丄+3丄+5丄+7丄+9丄315356399例7、1111 1+ + + + 1 4 4 7 7 10 10 13 13 16例8、乙+2 + 2+l +6 12 209702 9900（观察到每个分数分母都比分子多1,分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形式，想方设法将每个分数的 分子都变为1，可用列项相消法巧算。）+1 3 3 5 5 72001 2003 2003 2005例9、3 57911 13 15-+ 1 + 2 6 12 20 30 42 56例10、35 49 63 77 916 12 20 30 4210556（

4、例9和例10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个a b11数相加的和。可用公式久丄5 11 19 ,9701 9899例 11、+ + + +L+丄）a bab7 13 2131 43 57 73 91例 12、+ + + + -6 12 20 30 42(观察到每个分数分子都比分母多的形式，想方设法将每个分数的56 72 901,分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘 分子都变为1，可用列项相消法巧算。）例13、11例14、1 2 3（观察到分子2 3 4都是1 ,3 4 5分母是连续5 6 7三个数相乘，所以可以用公式例15、32422 22001 2

5、0022001 20022 b2（观察此题可用公式 a一a b- a列项凑整，但不能相消。）a b四：考题精选11111111 11、6 1220 30 42 5672 90 110112136151217 -20193011142113561157211790119 -1102446688 101998 20002L6 8 8 1098 1005、1- 2 3 4 L31535631013996、57911 13 15-+- + -+6 12 20 30 42 5635 49 63 77911057、61220 30 4256118、10 11 1217 9 111 19 11 13 11 13 1510、112 3 411 2 3 L 201111、12 2222 3232 42