分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1、.,1,1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理,.,2,用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？,先找找感觉,一.课前热身训练:,26+1036,.,3,从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。,先找找感觉,一.课前热身训

2、练:,.,4,分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法 在第n类办法中有m n种不同的方法. 那么完成这件事共有,种不同的方法.,.,5,.,6,思考,用前6个大写英文字母和19九个阿拉伯数字，以A1，A2，B1，B2，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？,.,7,字母数字得到的号码 A,1 2 3 4 5 6 7 8 9,A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9,树形图,.,8,由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各个不同，因此共有 6954 个不同的号码,

3、.,9,汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？,所有走法：,如何计算所有不同走法的种数？,乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，,乘一次火车再换乘一次汽车从甲地到乙地，,共有32=6种不同的走法。,从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于 次日从丙地乘汽车到乙地。,从一天中，火车有3班，,.,10,分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法，做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有,种不同的方法.,.,11,分步计数原理和分类计数原理的共同点：,分类计数原理又称作加法原理；,分步计数原理又称作乘法原理。,计算做

4、一件事情完成它的所有不同方法种数的问题。,.,12,完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”,区别1,完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”,区别2,区别3,每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。,每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。,各类办法是互斥的，并列的，独立的。,各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，”独立“确保不 重复。,即：类类互斥，步步独立。,.,13,例、书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书

5、，第3层放有2本不同的体育书，,（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？,（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少种不同的取法？,解：,（1）从书架上任取一本书，有三类办法：,第1类办法是：从第1层取1本计算机书，有4种方法；,第2类办法是：从第2层取1本文艺书，有3种方法；,第3类办法是：从第3层取1本体育书，有2种方法；,根据分类计数原理，不同取法的种数是：,答：从书架上任取1本书，有9种不同的取法。,.,14,例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，,（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少种不同的取法？,解：,

6、（2）从书架的1、2、3层各取1本书，可以分3步来完成：,第1步：从第1层取1本计算机书，有4种方法；,第2步：从第2层取1本文艺书，有3种方法；,第3步：从第3层取1本体育书，有2种方法；,根据分步计数原理，从书架的1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是：,答：从书架的1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法。,.,15,例、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？,.,16,例、某县的部分电话号码是057764,后面每个数字来自09这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?,变式: 若要求最后6个数字不重复,则又有多少种不同的电

7、话号码?,057764,=151200,10,10,=106,分析:,分析:,10,9,8,.,17,例、 一个三位密码锁,各位上数字由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的密码数是多少？首位数字是0的密码数又是多少？,分析: 按密码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位, 需分为三步完成; 第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m2 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置 N = 101010 = 103 种三位数的密码。,答:首位数字不为0的密码数是 N =91010 = 9

8、102 种, 首位数字是0的密码数是 N = 11010 = 102 种。 由此可以看出, 首位数字不为0的密码数与首位数字是0的密码数之和等于密码总数。,.,18,点评: 分类原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法, 即它们两两的交为空集,n类的并为全集。,分步原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步, 则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。,在运用“分

9、类原理、分步原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。,.,19,1 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,课堂练习：,.,20,解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 2 1

10、1 = 6 种。,.,21,1，如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？,若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？,答:它们的涂色方案种数分别是 0、 4322 = 48、 5433 = 180种等。,思考：,.,22,2.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,.,23,.,24,.,25,.,26,.,27,.,28,.,29,.,30,.,31,.,32,.,33,.,34,.,35,.,36,.,37,.,38,.,39,.,40,.,41,解: 从总体上看由A到B

11、的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 22 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。,在解题有时既要分类又要分步。,.,42,解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以, 第一类, m1 = 12 = 2 条 第二类, m2 = 12 = 2 条 第三类, m3 = 12 = 2 条 所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条。,3.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到

12、相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？,.,43,4.如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？,甲地,乙地,丙地,丁地,解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法, 第一类, 由甲经乙去丙,又需分两步, 所以 m1 = 23 = 6 种不同的走法; 第二类, 由甲经丁去丙,也需分两步, 所以 m2 = 42 = 8 种不同的走法; 所以从甲地到丙地共有 N = 6 + 8 = 14 种不同的走法。,.,44,请同学们回答下面的问题 :,1. 本节课学习了那些主要内容？,答: 分类原理和分步原

13、理。,2. 加法原理和乘法原理的共同点是什么？不同点什么？,答: 共同点是, 它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。 不同点是, 它们研究完成一件事情的方式不同, 分类原理是“分类完成”, 即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事。分步原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。,小 结,.,45,例、给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字符要求用字母AG或UZ，后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名？,.,46,例、核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置

14、的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用A，C，G，U表示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？,.,47,例、电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成，问 （1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？ （2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？,.,48,例、计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路径（即程序从开始到结束的路线），以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组成