选修11双曲线的标准方程和几何性质教案

1、适用学科1高中数学适用年级11亠 咼二1一 1适用区域苏教版区域课时时长（分钟）2课时:知识点双曲线的标准方程和几何性质11教学目标1 掌握双曲线的标准方程和几何性质.（重点）111111111教学重点2 .双曲线的渐近线和离心率的求法.（难点）|1i1ii i iii教学难点3 .椭圆与双曲线几何性质的比较.（易混点）1【教学建议】本节课的教学要注意双曲线方程的推导过程，字母a,b,c的意义和关系式，方程的特点。【知识导图】教学过程pi一、导入教材整理双曲线的标准方程阅读教材P39P40例1以上部分，完成下列问题【教学建议】合理利用教材上的导入课程进行导入。提问和互动，进行概念辨析和公式推导

2、。与椭圆方程进行对比辨析。二、知识讲解【教考建议 1双曲线的定义双曲线的定义：平面内与两个定点 F,、F2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于| F, F21）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2av | F1 F21，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边 ”加以理解.若2a=| F1 F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a 1 F1 F21，则无轨迹.若MFr v MF2时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若MFj MF2时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.考点2双曲线的标准方程标准方程2 2予1(a0, b0)22

3、ya2含=1(a0, b0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形(p 1TP4焦占八、八、坐标Fi( c,0),F?(c.O)F1(0, c),F2(0, c)a, b, c之间的关系c2 = a2 + b22 2 2 2双曲线的标准方程： X2y2 =1和 笃一仔=1 (a0, b0).这里b2 =c2 - a2，其a ba b中I Fr F2 |=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同双曲线的标准方程判别方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在 x轴上；如果y2项的系数是正数，则焦点在 y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦

4、点在哪一条坐标轴上求双曲线的标准方程，应注意两个问题：正确判断焦点的位置； 设出标准方程后， 运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点 （不是在坐标轴上的点）， 求其标准方程时，为了避免对焦点的讨2 2论可以设其方程为 Ax2 By2 =1（AB ： 0）或 A B考点3双曲线的几何性质21. 双曲线 笃-爲=1的实轴长为2a，虚轴长为2b , a b= 1（AB ： 0）c离心率e 1，离心率e越大,a22.双曲线笃a2 _ y_ b2K=1的渐近线方程为y = x或表示为a2 x 2 a2笃=0.若已知双曲线的b渐近线方程是y，即mx _ ny =0,那么双曲线的方程具有以下形式:nm2

5、x2 -n2 y2 = k，其中k是一个不为零的常数.3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于2x的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 a2 y b2二1，它的焦点坐标是（-c ,20）和（c, 0），与它们对应的准线方程分别是X =和c2 a x =c4.在双曲线中,a、b、c、e四个元素间有e = E与c2a2 2=a b的关系，与椭圆一样确定双双曲线的开口越大第13页曲线的标准方程只要两个独立的条件b25.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点片丁2 ,另一个顶点P在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于，其中b是虚半轴的长;ta

6、 n_ 122b26.过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为空-性质焦占八 、八、FgO ）,F2（c,0 ）F1 （O, -c）,F2（0,c）焦距2c范围x 兰-a或x 兰a, y Ry兰一a或y兰a, x R对称轴x轴，y轴对称中心原点顶点A （-a,。）, A2 （a,0 ）A（O,-a）A（O,a）轴实轴：线段 A|A2 ,长：2a ；虚轴：线段IRB?,长：2b ；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e = c （1,咼）a渐近线yxay = 旦 xb二、例题精析类型一 双曲线的标准方程例题1根据下列条件，求双曲线的标准方程.f 15、16经过点P 3,15 ,Q -史,5 ;I 4丿I

7、3丿(2)c = .6，经过点(一5,2)，焦点在x轴上.【解答】2 2(1) 法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为7-7 =1(a 0,b 0)a b占P些1q匚些5点p彳花，Q 3,5在双曲线上，L 2若焦点在y轴上，设双曲线的方程为 x2 =1(a0,b 0)a b =-16解得彳2.(舍去)I =-9.将P, Q两点坐标代入可得一2 2b 16a256 25+12 29b a解得a；知lb =16.双曲线的标准方程为162法二：设双曲线方程为=1 mn ： 0 .P, Q两点在双曲线上,丁m= 16,解得n = 9.所求双曲线的标准方程为9 16(2)法一：依题意可设双曲线方程为x

8、y1(a : 0,by 0)ba2b2 =6依题设有哲亠,解得莒,a2 b2所求双曲线的标准方程为 x 2法二：焦点在x轴上，c= , 6,设所求双曲线方程为- y6一 胡,(其中0入6) 双曲线经过点(一5,2),254 =1入6入，入=5或入=30(舍去).所求双曲线的标准方程是x y2 =1【教学建议】解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程,再构造关于 a,b,c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程.也可以设双曲线方程为mx2 ny2 =1 mn ：0的形式，将两点代入，简化运算过程.解答(2)利用待定系数法.【教学建议】1用待定系数法求双曲线方程的一般步骤2. 求双曲线标准方程的两个

9、关注点(1)定位：定位是指确定与坐标系的相对位置，在 标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式;例题2(2) 定量：定量”是指确定a2,b2的具体数值，常根据条件列方程求解2 21. 已知双曲线与椭圆 y 1有共同的焦点，且过点(15, 4),求双曲线的方程.27362 2【解析】椭圆；=1的焦点坐标为R 0, , F2 0,3 ,故可设双曲线的方程2 2为.爲-2 =1(a b 0)a b2 2a b =9由题意，知 42 15解得a2p2 =52 2故双曲线的方程为y x145类型二 双曲线标准方程的讨论例题12 2(1)如果方程 +丄=1表示双曲线，则实数 m的取值

10、范围是 m+2 m+1“ ab0是方程ax2+by2=c表示双曲线”的条件(填必要不充分”充分不必 要”、充要”和 既不充分也不必要”)2 2(3)若方程- 厂丄1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数 m的取值范围.5 -m m -2m 3【解析】(1)由题意知(2 + m)(1 + m)v 0，解得2v mv 1.故m的取值范围是(2,-1).222若ax2 by2二c表示双曲线，即 丄1表示双曲线，则 C ：0,这就是说“ abC是必要ccaba b条件，然而若ab0, c等于0时不表示双曲线，即“ ab5.【答案】 (1)( 2, - 1)(2)必要不充分2 2xy由方程21表示焦点在y轴上

11、的双曲线,5 -m m -2m 3所以实数m的取值范围是(5 ,+).【总结与反思】 方程表示双曲线的条件及参数范围求法、 x y2一、一、1 .对于方程1,当mnv 0时表示双曲线.进一步，当 m 0, n v 0时表示焦点在 xm n轴上的双曲线；当 m v 0, n 0时表示焦点在y轴上的双曲线.2 22. 对于方程 -y 1,，则当mn0时表示双曲线.且当 m0, n0时表示焦点在x轴m n上的双曲线；当 mv 0, nv 0时表示焦点在y轴上的双曲线.3. 已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组

12、)求解参数的取值范围.类型三双曲线中的焦点三角形例题设RE为双曲线2 2冷M的两个焦点，点P在双曲线上且满足 FPF2 =90，求:F PF2的周长及EPF2的面积.2 2法一：点P在双曲线-y 1上，44又 FfF? =90 ,：F1PF2为直角三角形,列方程组PF1 -PF2 =4PR PF2 =32,PFi =2.3 -2PF2 =23 2解得-或_甲=2石2PFi =232. F1PF2 的周长为 PF PF2 F1F2 =4.3 4.2,1 1 - - .F1PF2 的面积为 PFi PF23 2 2.3 -2 =4.法二：同解法一得.PFi-PF2=4,FiF2=4. 2.PFiP

13、F2二FF=32.2 2 2PF -pf2 v =pf2 pf 22 -2pf pf2 即即 16=32-2 PFi PF?,. PFi 卩F2 =8.PFi+ PF2= 4.3. PFi PF2=4.3.FPF2 的周长为 PFi PF2 FiF4 3 4 2,.F iPF2 的面积为 PF PF22 3 2 2、3-2 =4.【教学建议】在双曲线的焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义等是经常使用的知识点，另外，还经常结合 MFi -MF2=a，运用平方的方法，建立它与 MF i| MF2的联系，体现了数学中的一种整体思想并作出草图类型四由双曲线的方程求其几何性质y24x2 =-3

14、6的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程,【精彩点拨】本题给出的方程不是标准方程，应先化方程为标准形式， 然后根据标准方程 求出基本量a， b, c即可得解，注意确定焦点所在坐标轴.2 2【自主解答】将9y2 -4x2 =-36变形为 i ,942 2 即 i a= 3, b = 2, c= i3,3222因此顶点坐标 Ai( -3,0), A2(3,0)，焦点坐标 Fi(- i3, 0), F2( i3 , 0),实轴长是2a= 6，虚轴长是 2b = 4,离心率e=彳二乂単，a 3渐近线方程为 y =号 =x.作草图：如图所示.【教学建议】用双曲线标准方程研究几何性质的步

15、骤为：1将双曲线方程化为标准方程形式；2判断焦点的位置；写出a与b的值；4写出双曲线的几何性质.类型五：求双曲线的离心率及其取值(1)设例懸BC是等腰三角形，/ ABC = 120 则以A , B为焦点且过点C的双曲线的离心率为2 2已知双曲线X2 -y2 =1 (a0, b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。的直线与双曲 a b线的右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围.【精彩点拨】(1)根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系，求出离心率；(2)可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60 勺直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有 一tan 60 .a【自

16、主解答】由题意2c= AB = BC ,AC = 2 2c 恳in 60 = 2 3c,由双曲线的定义，有 2a= AC BC = 2 ,3c-2c? a= ( 3 1)c,C 11 + V3Ae=訐3 1 =【答案】1 + ,32（2）因为双曲线渐近线的斜率为b直线的斜率为k = tan 60 = 3，故有3,c ia2 *b2/所以 e= a= 2.【教学建议】1 求双曲线的离心率就是求 a和c的关系，一般可以采用几何观察法和代数关系构造法来 寻求a, b, c三者中两者的关系，进而利用 ca2 b2进行转化.2求双曲线离心率的取值范围，一般可以从以下几个方面考虑：（1）与已知范围联系，通

17、过求值域或解不等式来完成.（2）通过判别式 0来构造.（3）利用点在双曲线内部形成不等关 系.利用解析式的特征，如 ca,或cb.类型六直线与双曲线的位置关系探究1直线与双曲线有几种位置关系？交点个数怎样？直线与双曲线的交点个数能否用判别式来判断？【提示】三种位置关系：相交 两个或一个交点；相切 一个交点；相离 没有交点当判断交点个数时，要注意二次项系数不为零时才可使用判别式进行判断.探究2过双曲线上一点存在几条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点？解决这种问题应注意什么？【提示】 过双曲线上一点存在三条直线，使该直线与双曲线有且只有一个交点，一条是切线，两条是分别与渐近线平行的直线解决这种

18、问题时，应注意直线与渐近线平行的情况.探究3在双曲线中，直线与双曲线相交会有几种情况，如何求弦长？【提示】直线与双曲线相交时，两交点可能在两支上，也可能在同一支上弦长公式为RP2 =抽 +k2X1 X2 或 RF2 =k2 % -丫2例题6设双曲线C:2X2牙-y =1 (a0)与直线I : x y =1相交于两个不同的点 A , B,求双曲线C的离 a心率的取值范围.【精彩点拨】把双曲线方程和直线方程联立，得到一元二次方程，利用 0可得a的范围，进而可求离心率的范围.【自主解答】 由C与I相交于两个不同点，故知方程组2冬_ 2-y =1有两组不同的实根,X y =1,消去y并整理得1 -a2

19、 x2，2a2x-2a2 =0 21 a HO,所以 4224a +8a (1 _a )0=12- 1,因为 0a 且 a 丰 1.解得0a 0时，直线与双曲线有两个不同的交点;(2)生0时，直线与双曲线只有一个公共点;(3) & 0时，直线与双曲线没有公共点.当二次项系数为0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.2 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件.3直线与双曲线相交应考虑交在同一支上，还是交在两支上，可用直线的斜率与渐近线斜率比较.对于实轴在x轴上的双曲线，若|k|b，则交在同一支上；若|k|0, b 0且b.()a b在双曲线标准方程中，a

20、,b和焦点F2 c,0满足a【答案】3 =c2 b2.()双曲线y2 -x2 =1的焦点坐标在y轴上.()2 2在双曲线 -1中，焦点坐标为(,0).()942已知Fj,F2为双曲线C: x -y =2的左、右焦点，点P在C上，PFPFz ,则cos. RPF?2 23. 若k R，方程 丄 +丄 =1表示双曲线，则k的取值范围是k +3 k +22 24. 双曲线x 一y =1的渐近线方程是49答案与解析1. 【答案】(1) X (2) X (3) VX【解析】2 2(1) 方程 务-占=1中，a0, b0.a ba= b时也是双曲线，故不正确；(2) 在双曲线标准方程中，都有 c2 =a2

21、 b2.故不正确.(3) 根据标准方程特点，正确.2 2 .在 -x 1中，c=；9+ 4= . 13，所以焦点坐标为(0, 土. 13).94v【解析】由双曲线方程得 a= 2, b= 2，则c=：ja2 b2，因为PFi -PF2 2 2.，且PF2PF2所以PFi =4.2 , PF2 =2.2 ,而=4在.托PF?中，由余弦定理得cos . F PF2PF12 PF22 _F1F2232PF1 PF24.3. 【答案】(一3, 2)【解析】据题意知(k + 3)(k + 2) v 0,解得3v kv 2.4. 【答案】y = gx【解析】由双曲线的方程，易知 a= 2, b = 3,所

22、以双曲线的渐近线方程为y=gx.巩固2 22 21. 已知椭圆乂+=1与双曲线 -=1有相同的焦点，则实数a=4a2a22. 双曲线8kx2ky2=8的一个焦点为(0,3)，则实数k的值为.3. 求适合下列条件的双曲线的标准方程.5(1) 焦点在x轴上，虚轴长为8,离心率为3；(2) 两顶点间的距离是 6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分.4根据下列条件，求双曲线的标准方程.2 2(1) 以椭圆 =1的焦点为顶点，顶点为焦点；852 2(2) 与双曲线 -1有相同的焦点，且经过点(3 .2, 2).164答案与解析1.【解析】由条件可得4 -a2 =a 2，解得a= 1.【答案】12.【解析】

23、2281方程可化为 *y 1.由条件可知一8 7 = 9,解得k = 1.81kkkk【答案】-1【解】（1）设所求双曲线的标准方程为2b =8 , e=Ca-，从而359 16b = 4, c a，代入c2 =a2 - b2，得a2 = 9，故双曲线的标准方程为3由两顶点间的距离是6,得2a =6，即a = 3由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c - 4a -12，即c= 6，于是b? =c - a? = 62 _32 = 27 .由于焦点所在的坐标轴不确定，故2222所求双曲线的标准方程为 -y 1或-1.9 279 274. 【解】（1）依题意，双曲线的焦点在 x轴上且a= 3,

24、c= 2 2,2 2双曲线的标准方程为 =135法一： c2 = 16 + 4= 20 ,.c = 2.5,J(3逅 +2書 $ +4 = 4風 a2 =12 .2 2 2b二c v =8，双曲线方程为法二：设所求双曲线方程为16扎2 2x丄12 82=1 - 16 .4双曲线过点（3 2, 2）,184 = 1,16 一入4 +入 解得入=4或入=14（舍去）.2 2所求双曲线方程为-y 1.12 8拔高1. （无锡期末）9、设 ABC是等腰三角形， ABC =120，则以A、B为焦点且过点 C的双曲线的离心率为 .2 22. （盐城三模）6 以双曲线 令- y?=1（a 0,b 0）的右焦

25、点F为圆心，a为半径的圆恰a b好与双曲线的两条渐近线相切，则该双曲线的离心率为.2x223. （南通三模）8.在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 -y-1与抛物线y2=12x有相a3.第17页同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为4. （南京三模）8 设F是双曲线的一个焦点，点 P在双曲线上，且线段 PF的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为_答案与解析1. ,5五、课堂小结六、课后作业基础21. （苏北四市摸底）5 已知双曲线x2 -差 =1（m .0）的一条渐近线方程为 x .3y=0,则m-m_2 22. （苏州期末）3 .双曲线 =1的离心率为452 23. （常州期末）

26、4、已知双曲线C:笃-与=1（a0,b0）的一条渐近线经过点 P（ 1, - 2）,a b则该双曲线的离心率为 4. （苏锡常镇调研二）5 若双曲线 x2my2=1过点- 2,2，则该双曲线的虚轴长为_ 4答案与解析3. 5 ；4.41. （巩固期末）5 双曲线 -=1的焦点到渐近线的距离为91622. （扬州期中）6已知双曲线 X 丄 =1的一条渐近线与直线 x-2y 3=0平行，贝U实数a-a_2x 23. （泰州期末）3在平面直角坐标系 xOy中，双曲线 y =1的实轴长为 2第#页4.（南通调研一）7.在平面直角坐标系 xOy中，已知双曲线2 2x y 1（a、0,b、0）过点 a bP（1,1），