春季学期高中数学人教必修五第一章第1节正弦定理集体备课教案

1、正弦定理集体备课教案一、学习目标1. 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理，并能解决一些简单的度量问题及三角形形状和解的个数的判断 .2. 从学过的知识出发，探究任意三角形中边与其对角的关系，并通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，从而培养分析问题、解决问题的能力 .3. 在学习中体会转化思想、方程思想、分类讨论思想及由特殊到一般的思维方法 .学习重点： 正弦定理的探索和证明及其基本应用.学习难点： 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.二、课前预习ABC1在 ABC中， ABC， 222 2 .ab2在 RtABC中， C 2 ，则 csin_A ，csi

2、n_B.3一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形4正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相abc等，即 sin A sin B sin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R.5、在C 中， a3 ， b6 ，2 ，则3第 1页答案：解：由正弦定理，得ab，即 36 ， sin B2 ，4sin Asin B3sin B22B.4三、导入课题想一想：如图，在 RtABC中，A30，斜边 c2. ABC的其它边和角为多少？学生： B60， C90， a1，b3.abc算一算：试计算 sinA，sin

3、 B，sin C的值，三者有何关系？ab3c学生： sinA2，sin Bsin 60 2，sin C2，三者的值相等议一议：对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？学生：是a理由如下：如图sinAc，abb sin Ac.sin Bc， sin Bc.abc sinC1， sinAsin Bsin C.议一议：在钝角 ABC中， BC30， b3，试求其它边和角学生：如图， ACD为直角三角形， C30，33AC3，则 AD 2 ，CD2，BC3. AB3， BAC120.第 2页教师：正弦定理在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等 .abc即 sin Asin Bsin C.议一议

4、：如图，固定ABC的边 CB及B，使边 AC绕着顶点 C转动 .C的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大 .能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？四、解疑与探究教师：在 RtABC中，C为直角，设角 A，B，C的对边分别为 a，b， c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有asin A， bsin B ，cc又 sin C 1 c ,则 abcc .csinA sin Bsin C从而在直角三角形 ABC中，abcC .sin Asin Bsin想一想：那么对于钝角三角形，以上关系式是否仍然成立？议一议：如图，当 ABC是钝角三角形

5、时，不妨设C为钝角，作边 AB上的高 CD，则有 CD=a sin Bbsin A，故 ab作边上的sin Asin B .BC高 AE，则有 AE=csinB=bsin(180 - ACB)=bsin ACB，故可得cb. 从而在钝角三角形 ABC中， abc.si nCs i Bnsin Asin Bsin C想一想：那么对于锐角三角形，以上关系式是否仍然成立？当 ABC是锐角三角形时同理可得. （参看教材第 2 页）思考：是否可以用其他方法证明这一等式？由于涉及边与角关系问题，从而考虑用向量来研究这个问题。对正弦定理的理解第 3页(1) 适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立(2) 结构

6、形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式(3) 揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系(4) 主要功能：正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的转化范例讲解一已知三角形任意两角和一边解三角形例 1. 若 ABC 中， AC3 ， A45， C 75 ，则 BC _解析：由题意得 B180AC60由正弦定理得 ACBC，则 BCAC sin A ，sin Bsin Asin B评注：求解这类问题时，画出草图，在图形中标出已知的边与角，选准运用正弦定理的等式.点评：已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路(

7、1) 由三角形的内角和定理求出第三个角(2) 由正弦定理公式的变形，求另外的两条边注意：若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值( 这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75 4530) ，再根据上述思路求解二. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形例 2.在 ABC中，若 c6，C 3 ，a2，求 A，B，b.acC，得 sinAasinC 2解析：由 sinAsinc 2 .第 4页3 A 4 或 A4.又 ca， CA，只能取 A 4 ，6sin5 5csinB12 B 3 4 12 ，b sinC31.sin3点评：已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法(1

8、) 首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2) 如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角， 由正弦值可求锐角唯一(3) 如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论三利用正弦定理判断三角形的形状例 3. 在 ABC中，sin 2 Asin 2 Bsin 2 C，且 sin A2sin BcosC试判断 ABC的形状abc解析：由正弦定理，得sinA2R，sinB2R，sinC2R. sin 2 Asin 2 Bsin 2 C，即 a2b2c2，故 A90. C90 B，cos Csin B

9、. 2sinBcos C2sin 2 BsinA1.2 sinB 2 . B45或 B135(AB225 180，故第 5页舍去 ) ABC是等腰直角三角形点评：判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别五、反思与小结1. 正弦定理的常用变形：（ 1） asin A ， bsin B ， csin C ；bsin B

10、csin Casin A（ 2） a : b : c sin A :sin B :sin C ；（ 3） a2Rsin A ， b2R sin B ， c2R sin C .2. 正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其他两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角 .3. 解的判断要把握三角形中大边对大角，小边对小角的关系.已知两边和其中一边的对角， 求第三边和其它两个角， 这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解例如：已知a、b 和 A，用正弦定理求B 时的各种情况 .三角形解的判断A为锐角A为钝角或直第 6页角图形关系absinAbsinAab式解的一解两解一解一解个

11、数六、课堂反馈一选择题11. 在 ABC中， a3，b5，sin A3，则 sin B( )155A. 5B.9C.3D 1abB，得 sin Bbsin AB 解：在 ABC中，由正弦定理 sinAsina1535 3 9.2. 在 ABC中，若 a18，b24，A45，则此三角形 ( ) A无解 B 有两解C有一解D解的个数不确定abB 解： sinAsinB，b2422 sinBa sinA18sin 45 ， sinB 3 .又 ab， B 有两个第 7页3、在锐角 ABC 中， BC 1， B2A ，则 AC 的取值范围为.30 ,60 解:由正弦定理得ACBC， ACA1，AC2c

12、os A ，sin 2 Asin A2cos由锐角ABC 得 02 A90，0A 45，又 01803A90，30 A60 ， 30 A45，则 2cos A3 ，故 AC 2cos A( 2,3).224、在 ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知cos A3cos C 3casinCcos Bb，则 sinA的值为 _abc解：由正弦定理 sinAsinBsinCcos A3cos C3ca3sinCsinA得cos BbsinB，即 (cos A3cos C)sin B(3sin Csin A) cos B，化简可得， sin( AB) 3sin( BC) ，又知 ABC， sin C3sin A，sinC因此 sinA3.七、创新与思考同学们在对正弦定理的探索与研