第3章第8节解三角形应用举例

1、20092013年高考真题备选题库第3章三角函数、解三角形第8节正弦定理和余弦定理的应用考点 解三角形在实际中的应用A乘缆车到B,在B1. (2013江苏，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从 索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿 AC匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发2 min后，乙从130 m/min，山路处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为12 3 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A = ，cos C =-.13 5(1)求索道AB的

2、长;问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短?3分钟，乙步行的速度应控制在什么范(3)为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过围内？解：本题考查正弦、余弦定理，二次函数的最值，两角和的正弦公式，不等式的解法,意在考查考生阅读审题建模的能力和解决 实际问题的能力.123(1)在 ABC 中，因为 cos A= 13，cos C = 5，所以sin A = 13，sin C = 5.53 12 4 63从而 sin B = sin (A + C) = sin(A + C) = sin Acos C + cos Asin C = 7；x- +7；x- = u.13 5 13 5 65由正弦定理

3、sABC=sACB，得 AB=益X sin C=詈X5 = 1 040(m).65所以索道AB的长为1 040 m.假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离 为d此时，甲行走了 (100 + 50t)m，乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2 = (100 + 50t)2 + (130t)2 2X 130tX (100 + 50t) X1= = 200(37t2 70t + 50),13因0Wtw 1040，即0wtw 8,故当t = |5(min)时，甲、乙两游客距离最短.BC ACAC1 2605由正弦定理 赢=snB 得 BC=爲CBXsin A=WX153= 500(m).乙从B出发

4、时，甲已走了 50X (2 + 8 + 1) = 550(m),还需走710 m才能到达C.500710 ”口 1 250625 严设乙步行的速度为v m/min，由题意得-3W v为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min ,乙步行的速度应控制在 =143罟(单而W 3,解得rF W vw乔，所以位：m/min)范围内.O北偏西30且与该港口相距 20海里的A处，并正以30海里/v海里/小时的航行速度匀2. (2010福建，12分)某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上. 小艇出发时，轮船位于港口 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 速行驶，经过

5、t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向 和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解：法一：(1)设相遇时小艇航行的距离 为S海里，则S= /900+ 400 2 30t 20 cos(90 30尸1 2)+300./900t2 600t+ 400 =故当t= 3时，Smin = 1/3，此时 v =呼=30羽.3丄3即，小艇以30*3海里/小时的速度航行，相遇 时小艇的航行距离最小.设小艇与轮船在B处相遇.则400v2 3t2= 400 +

6、 900t2 2 20 30tcos(90。一 30),故v2 = 900 0vW 30,.900 600+ 4002.t t32又 t= T时,v = 30.3设小艇与 轮船在 C 处相遇.在 Rt OAC 中，OC = 20cos 30 = 10J3, AC = 20sin 30 =10.又 AC= 30t, OC = vt.此时，轮船航行时间t=30=3,v = 3f3.3即，小艇以30（3海里/小时的速度航行，相遇 时小艇的航行距离最小.猜想v= 30时，小艇能以最短 时间与轮船在D处相遇，此 时AD = DO = 30t.2 又/ OAD = 60 所以 AD = DO = OA =

7、 20,解得 t= 2.3据此可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30航行速度的大小 为30海里/小时，这样，小艇能以最短 时间与轮船相遇.证明如下:如图，由得OC = 10（3, AC = 10;故 OOAC，且对于线段AC上任意点P,有OPOCAC.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与 轮船不可能在 A, C之间（包含C）的任意位4O置相遇.设/COD = 6(0 090),则在 Rt COD 中，CD = 103tan 0,由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的 时间分别为t= 10+ 呼tan0和 t =吧vcos 030所以,10 + 10V3tan 0= 10/330

8、vcos 0由此可得,1J3v = s叫 0+ 30 故 sin( 0+ 30 A y.从而，30 090 .由于0= 30寸，tan0取得最小值，且最小值为申.于是，当0= 30。时，t= 10 + 1密3tan 0取得最小值，且最小 值为2.303法三：（1）同法一或法二.设小艇与轮船在B处相遇.依据 题意得: v2t2= 400 + 900t2 2 20 30t cos（90。 30）,(V2 900)t2 + 600t 400 = 0.(i )若 0v 0,得 V 15.v2 900当 t=- 30020jV2 时,V2 900令 x =7V2 675,则 x 0,15),丄300 20x 204t 2,x 225 x 153从而，t=迦乎。尸,V g, 30).当且仅当x = 0即v = 15羽时等号成立.当t= 300炉址5时，同理可得討3.V2900由、得，当v 15寸3, 30）时，t2.32(ii )若 V = 30,则 t = 3；综合（i ）、（ii ）可知，当v= 30时，t取最小值，且最小 值等于2.3此时，在 OAB中，0A = OB= AB= 20,故可 设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30航行速度 为30海里/小时，小艇能以最短 时间与轮船相遇.2故v = 30时，t取