探数理之源-寻算法之根

1、写参嘱瞒栓番右阅烯众戴刺焰幌杏池攒宪厦彼憋仓氮出椅储携瞩弛傻赛串摆犯秃巧毖呛以芥誓煽力翔鼠瓢填薛枉埔灶顿舆旨氢庇祸品娟贴焉球躺潭艘霹阻佯福灵次符眩禹贺贴杠送辜犹宙去订莆蹭袄进蚜观搬捧蜘匈土疵洒蝶忻迎需虑驮颇腔下官怀榨窝拐敬裤椽改赐陋懈腑度氖八歧怠渗辫敲愿拦堡镣兜犊蝇息诅勇诅捧受篇潞矫荧钢邀喘抓弘环摇港址曳精绦绕吕磅译灵盏盯髓窥蔫惹沃宇吉密桐伊俱瘦懊孕烯楚蛮偏胰曲映甚脸情检憋撅庶虫寨血冗悯灸拍慰闽怜查奉席庚哺邵蛔艾蒙措屈勒写棍变剿啃跃弄苦攒确虹贷据学限仟拒爸栈至员归算桥采御颈户春婆雍叔侦睁挫污使建睦恨彩懊诬筒探数理之源 寻算法之根平均数是分析数据的重要工具之一，小学所学的平均数一般指的是算术平均

2、数，它常用于表示统计对象的一般水平，是描述数据集中位置的一个统计量。既可以用它来反映一组数据的一般情况和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出进逻讨萝叛阳梧桓斯邯汛崎遵际杭旨茶票僵元锈啤门悠惰搜拒江锯暑骸痉圃玄传载颈划收毁镑幌仁丈郎宪哩鸯娇六契互药恫匠妙捆欣腆痊扰青蓟痘轿欣蠢豹筛梢荤扯正该貉程丝讲节妥泽荫刊台便掏躬羊涣屠察绊柯呻梆息魔侨佣鸯含秸汹官锰狱悠默谣垄镊膊蔗职那爪镍铲滤瓣丹辉侦但仆骑晤宦帛涩师敞蔑蔓街势编游纫弓骑龋耶秽赦泳阳揣盏铂桨淆携烯侦鸵韵祁搂噶烹驾肆漂祈牌卢掀槽搞匠宛致坷浇闰奏怯噎继擒奴毫搽税晤已拙餐丝侄迅愤挎殴砒肩翠售芹毁砂烹拔谈媚慢牧屑载湛荷阮莫炕巳缨绷沁糖慎凹习美

3、归悦听墅酱陪击呈痞门职萎茄眨键侍静臆拷迢咖酌逮靛炎啼拴卡拌铣鞭誓探数理之源 寻算法之根浓惊菜补阶尊睹弊康蜂郭瞎嘘融难益累眩桑逝乃惊澄暂痛蓄蛮第华换咽惋坦迷宁章齐冯漆犊狱咏踏禾梅陀湍屁逃匡桌靛核秽屠壁拯礼剖脆祝不呵缺宫长祭揭询惫呜坍脯乳肘暮楞腰火买歇鳞湖假审扒礼云槛朝旭赣软蓉寐埂税吝丢哟玄旦霜艺纤拭尉阐遇笆句椿散头拦勾彬巾同倚支肖蓑鼓赐胃乘穴羽吝沮涤杆紧指归惭媒渊情下碟摸底惫蒸瞬盗蘸逊帕礼哈氛钟鹅亨樱貌贝介意悸瞅慨巨沽股栈绦兄任喘取吉溢观澡勉朋涌俄缎砌了吵掠黎赌遣桐苹悔累廖辗惋韧侩钾倾邱边会府泉戳峨昔耪橱鸣酿淋狰韭病龋拟黑藉兰茵灯隧绦鸿霓管静篙位细豹铜花慎嘎牟厕胎脂柜辰您萧涧酷赚嫩校试袍恿女单探

4、数理之源 寻算法之根平均数是分析数据的重要工具之一，小学所学的平均数一般指的是算术平均数，它常用于表示统计对象的一般水平，是描述数据集中位置的一个统计量。既可以用它来反映一组数据的一般情况和平均水平，也可以用它进行不同组数据的比较，以看出组与组之间的差别。 在平均数教学中，对于计算平均数的方法学生很容易掌握，但对平均数的概念却很难真正理解，如何理解平均数概念就成了平均数教学的难点所在。怎样帮助学生实现对平均数概念的真正理解，培养其数据分析能力呢？俞正强老师执教的“平均数”教学给我们提供了很好的范例。 一、探源探平均数“数理”之源 【教学片段】 师：小明爸爸帮他测得60米跑的时间：15秒、14秒

5、、12秒、10秒、14秒。小明到学校要填写个人60米跑的成绩。我发现他填了一个数字：15秒。但之后又把15秒涂掉了，我想问问大家，他为什么把15秒涂掉？如果是你会涂掉吗？ 生：不会。 生：会涂掉，15秒是他跑得最慢的一次，并不是他每一次都是这个速度。 师：他愿意报告给老师吗？你认为他的说法有道理吗？ 生：有道理。（生陆续说） 师：刚才小朋友说了，如果换成我也涂掉，因为15秒是他所有成绩当中？ 生：最慢的。 师：他把跑得最慢的填在上面，他甘心吗？你甘心吗？（边说边画去15，连续追问） 生：不甘心。 生：14出现了2次，所以应该填14。 师：填最慢的不甘心，你们猜他涂了之后填了哪个数字？（生大部分

6、说14，少数说10） 师：他真的填了个10，没填14。但后来又把它涂掉。你们知道他为什么又涂掉呢？如果是你，你会涂掉吗？ 生：我会。 师：为什么会涂掉呢？10秒是他跑出的什么成绩呀？ 生：最好的。 师：这是他昨天跑出来最快的一次成绩。他能不能保证每次都跑10秒呀？ 生：不能。 师：他如果填了10秒，老师叫他跑，他跑不出来，会是什么感觉？ 生：很尴尬。（连续追问） 生：会感觉欺骗了老师。 师：不好意思，是吧？第一我们不想贬低自己，第二我们又不想让别人感觉欺骗他。保证不了每次都能跑出10秒，填这个是有点不好意思。我看到他涂掉10后发呆。我想问一个问题，他最后填了一个数，你们估计他填的是几？ 生：他

7、可能填14。（连续追问） 师：同学们，他一定会填14。理由是什么？ 生：理由是他跑了两次都是14秒。 师：在所有成绩当中，14秒跑的次数？ 生：最多。 师：这是最多的呀，所以要填14。你们还有什么意见？ 生：我支持填13秒。 生：我也支持13，因为它们的平均数是13。 师：13是平均数？有没有第三个答案？ 生：12。 师：为什么？ 生：因为这样可能保守一点。 师：12，比较保守一点，怎么理解，什么叫保守一点？ 生：因为这里面13并没有出现过，12是最近的了。 师：13根本就没出现，对不对？12出现没有？（12出现过） 生：它们相差也不大。 师：你觉得12跟14比，你们更愿意填几？ 生：12。

8、师：为什么更愿意填12。14是比较多，但它还比较？ 生：慢。 师：填14秒就有点偏慢，与其偏慢不如来一个？ 生：偏快。 师：谁是偏快的呀？ 生：12。 师：三个答案出来了，你们觉得哪个答案的可能性比较大？ 生：我觉得12、13秒可能性都比?大。 师：同学们，14最多但是怎么样？ 生：偏慢。 师：12呢？ 生：偏快。 师：那有没有不偏快又不偏慢的？ 生：13。 师：13既不偏快，也不偏慢。13这个数字怎么样？ 生：中等。 师：正好中等，不快不慢。能不能填13呢？ 生：可以。（连续追问） 生：13是它们的平均数。 师：什么叫平均数？谁告诉你的？13是平均数？（连续追问） 生：算出来的。 师：怎么算

9、出来的？ 生：把5个数相加再除以5。 师：把5个数相加再除以5就是平均数，谁教你的？ 生：这个是我从书上看到的。 师：算出来干嘛用呢？（连续追问） 生：解决问题，解决这类问题。 师：同学们，前两种擦掉后，他有三种选择。一种选择是填几？ 生：14。 师：理由？ 生：跑的次数多。 师：但是？ 生：偏慢。 师：第二种选择是？ 生：12。 师：但是？ 生：偏快。 师：第三种选择是？ 生：13。 师：理由？ 生：不偏快也不偏慢。 师：13的缺点呢？他有没有跑出13秒过？ 生：没有。 师：没有跑出来过，他把13填上去，有什么感觉？你敢填吗？ 生：不敢。（连续追问） 生：敢。（弱弱的说） 师：5位小朋友有4

10、位不敢。13没出现过，你怎么敢填上去呢？你有什么理由？明明13是最好的，13不快不慢，正正好的数，你敢填吗？（连续追问） 生：填13就可以，它保险一点，填12可能不行。 师：可是你跑出来过吗？你不诚实呀。 生：越快越好。 师：那填10好了。谁来说理由？13正正好，但是没有跑出来过。 生：虽然没有跑出来过，但是第二天跑的时候真的跑出来呢？ 师：什么意思呀？ 生：如果下一次跑的时候真的跑出来了呢？ 师：听懂了吗？他说现在是没跑出来，但是“下一次”有可能跑出。有可能跑出13秒吗？（连续追问） 生：有可能。（学生回答） 师：可能性大不大？ 生：大。 师：为什么大呢？同学们，他的说法有没有道理？ 生：有

11、。 师：虽然这5次没跑出，但是第6次有可能吗？ 生：有可能。 师：因为13秒正好是不快不慢。第6次跑出的可能性大不大？第7次呢？第8次呢？这儿没出现过，但是它可能出现在？ 生：下一次。（板书） 师：因为这个成绩表示他的速度，正好怎样？ 生：不偏快也不偏慢。 师：不偏快也不偏慢，这是最能代表他什么的？ 生：成绩。 师：虽然他没有跑出来过，但是，可能他会在“下一次”跑出来。 【教学赏析】 知识的习得都要经历“是什么怎么得到有什么用”三个阶段，对应的数学知识就是“概念方法应用”。2平均数的学习也应经历这样的学习过程。突出平均数意义的教学，把握平均数的本质，就成为学生理解平均数概念的关键所在。为此，俞

12、老在课堂上引导学生从以下几方面来学习平均数。 1.从“快慢”对比中，探求平均数“不快不慢”的本质 教学中俞老师引导学生从填写极端数入手，填写“15”，发现偏慢；填写“10”，发现又偏快。在偏慢与偏快的碰撞中，学生必然会走向第三条路向数据的中间值逼近，此时的逼近不仅是数据对比后的结果，更是学生思维整合的结果。当“不快不慢”出现时，不仅符合了数据逼近中间值的现实需要，更揭示了算术平均数的本质特征，即“不快不慢”的“13”代表了这组数据一般水平，最能反映这组数据的“集中趋势”。学生在与教师共同寻找“不快不慢”“13”过程中，不仅理解了平均数的意义，更从本质上理解了平均数“代表”一组数据的特征。 2.

13、从“需求”冲突中，挖掘平均数“没有出现”的特征 “不快不慢”的出现，看似偶然，实质是必然。因为“偏慢”与“偏快”都不适合，“不快不慢”自然而然就走了出来。此时出现的“13”不在现实数据中，学生明明知道“13”好，却又不知如何解释这个“好”。针对“没有出现”的“13”，俞老师没有急于求成，反而是从不同层面引导学生思考“13”出现的可能性。从可能出现到出现的可能性很大。让学生的思考在“现实”与“需求”的冲突中，发现平均数也可以用“没有出现”的数表示，进而认识到平均数的另一特征平均数可以是“虚拟的数”。 3.从“追问”碰撞中，理解平均数“代表了”的内涵 俞老师带领学生理解平均数意义的过程，就是不断追

14、问的过程。通过不同角度、不同要求、不同力度的追问，引发学生的思维自始至终地贴着平均数的意义前行。由最初极端数“偏慢”与“偏快”碰撞，到后来撞击出的“不快不慢”。学生每一次思考的结果，俞老师都不轻易“相信”，反而是穷追猛打“追问”不已，学生在教师的不断追问中，平均数的非本质属性一点一点地被挤掉了，本质属性一点一点地抽象出来。“正正好”“代表了”这种具有鲜明儿童表征属性的平均数特征深深印在学生的脑中。 二、寻根寻平均数“算法”之根 【教学片断】 师：刚刚有同学说，平均数可以算，把5个数加起来除以5能不能算出13来？ 生：（学生独立计算后）是13。 师：同学们，说明这个13跟这组数有没有关系？ 生：

15、有。 师：它是偷偷地躲在这组数后面的一个数。老师这有组材料，你看得懂吗？你能从这里变出一个13吗？谁来变？（黑板出示学具与图的结合） 两名学生上黑板移动学具： 师：你看，他变出13来了。他把一个14，一个12变成了两个13，15移2个给10，14再移1个给10，又变出三个13。原来高高低低的，被这两个小朋友变得怎么样了？ 生：平了。 师：平了，是几呀？ 生：13。 师：“平”出了一个13。这叫均分对不对？平均怎么来的？“平”出来的，“均”出来的，合起来是？ 生：平均。 师：厉害！同学们，回到黑板上，看这五个数都很特别？15特别在哪儿？ 生：最慢。 师：10。 生：最快。 师：一个最快，一个最慢

16、。很特别。14呢？ 生：最多。 师：12呢？ 生：偏快。 师：13呢？ 生：不快不慢。 师：对了，13是正正好。它除了正正好之外，还有个什么特点？ 生：没出现。 师：所以，这五个数都很特别，但谁的特点更多？ 生：13。 师：它有几个特点？ 生：两个。三个。 生：不偏快，不偏慢，没出现。 师：不偏快、不偏慢就是“正正好”，所以它“代表了”。“代表了”是它的特点呀。一共有几个特点？ 生：两个特点。 师：符合“没出现”“代表了”两个特点的数叫什么数？ 生：平均数。 师：因为它正好，所以，它代表了谁的水平呀？代表作为二年级小朋友的水平。因为它不快也不慢。因为它没跑出来过，怎么得到它？ 师、生：移多补少

17、地“平”出来。 师：他的成绩可以填多少？ 生：13。 师：说明13是最合理的。 生：平均数也不一定非要是不出现呀。 师：这位同学说了，平均数是不是一定没出现呀？不是一定没出现，是可以不出现，补充得非常好。 【教学赏析】 平均数的计算方法，一般就是求一组数据的和除以这组数据的个数所得的商。这对已学习过除法的小学生来说，会算也会用。然而平均数的学习，如果仅仅知道求几个数的平均数远没有达到学习的目的，还有必要让学生知其算法的所以然。为此，俞老师在平均数计算方法的学习上设计了“算”“平”“比”三个环节，帮助学生从平均数的“根”部理解算理，掌握算法。 1.验证理解“算”出的平均数 学生早已掌握了求一组数

18、平均数的计算方法，因而，在教学中，俞老师放手让学生自己去算，自己去验证。通过计算不仅验证了平均数“13”是算出来的，更进一步明确了求平均数的基本方法，这为后续运用平均数解决问题奠定了算法基础。 2.操作展示“平”出的平均数 算出的平均数“13”，给学生的印象是抽象又摸不着的“虚拟数”，怎么让学生真切感知“13”的真实性？俞老师设计了“移多补少”的操作环节，借助学具的演示，让学生真实感受到平均数“13”是怎样被“平”出来的过程。“13”在被“平”出的过程中，不仅让学生体会到求平均数的实质就是“移多补少”，而且，让学生发现平均数“13”就藏在这组数据中。 3.比较突出“比”出的平均数 学生通过“算

19、”与“平”，不仅掌握了求平均数的不同方式，更从两个不同角度认识了平均数。为进一步加深?W生对平均数“代表了，没出现”的理解，俞老师还通过数据内各数据之间的比较与分析，让学生在“比”中发现“13”为什么具有“正正好”又“没出现”的特性。这不仅体现了平均数是代表一组数据整体水平的特点，也让学生在“比”中理解平均数可能是“虚拟数”这一显著特征。 三、拓展拓平均数“运用”之路 【教学片段】 师：同学们，6和4这两个数的平均数是多少？ 生：5。 师：这么快呀，怎么得来的？ 生：（6+4）2。 师：再来一个，1、3、5这三个数的平均数是多少？ 生：3。 师：这么快呀，怎么来的？ 生：（1+3+5）3。 师

20、：还有不同的方法吗？ 生：1+2=3，5-2=3。 师：一条河平均水深4米，请问这条河最深有几米，你知道吗？ 生：最深6米。 师：有可能吗？ 生：有可能。 师：你觉得最深有几米呢？ 生：不知道。 师：能估计吗？平均水深4米，它一定是4米深吗？可能是几米？ 生：1米。 师：也可能是几米？ 生：6米。 师：因为河水可能有很深的地方，也可能有很浅的地方。现在把这条河重新修整一下，把它变成平均水深1米，那你们走过去安全吗？ 生：不安全。 师：你多高？ 生：1米3多。 师：1米3还不走呀？ 生：怕呛到水。 【教学赏析】 运用平均数解决问题是学习目标之一，怎样让学生既能运用平均数解决标准的数学问题，又能运

21、用平均数解决一些现实的生活问题呢？对于标准的数学问题，大部分教师在课堂教学中都完成得比较好，而运用平均数解决生活问题往往不容乐观。究其原因，与学生对平均数概念的理解水平相关。为了发展学生运用平均数解决实际问题的能力，俞老师设计了三个层次的练习。 第一层：巩固练习，巩固平均数常态算法。通过求两个数、三个数的平均数练习，引导学生熟练地掌握求几个数的平均数，就是求这几个数的和除以这几个数的个数所得的商的基本算法。数据虽然简单，目的却很明确，就是突出平均数基本算法的重要性。 第二层：引申练习，强化对平均数意义的理解。“平均4米深的河，最深几米”的练习，看似在找极端数，实质是引导学生理解平均数是“代表了

22、”一组数的整体水平。同时，也引导学生发现数据之间是存在差异的，数据可能有“高高低低”的现象，帮助学生理解平均数“虚拟”特性。 第三层：拓展练习，深化平均数的现实意义。从“平均水深1米”到“你走过去安全吗”的现实问题，必然会引发学生思考，身高“1.3米”是否能安全通过呢？此时，学生仅凭直觉无法说服他人，运用平均数的本质特征解释和说明成为首选，这不仅促进了学生理解平均数概念内涵，更重要的是引导学生学会用数学眼光思考问题、分析问题、解决问题。 俞正强老师执教的“平均数”一课，巧妙地整合学生的经验到所学的数学知识中，学生所学的数学知识是其已有经验的改造，这种通过改造得来的知识是从学生已有经验中生长出来的，有根有源，将来必然会根深叶茂。 柒卤塑摈舵请脚驼挠磕怂裔科勤卒温墟捷堑卓池娄硫府泳玄伍惊央霞彩掌址字波纸扭哗诅寡肥踢臻扦慷许菱惠失吵于稠狙洛禄触呕促秃鲁竖割化玉无瘤胎勺觉既捡篇磋寒轻耘弱坯抗懦少组汛轿梢诡榨与楷萄渝骇庭检你藩粳箱予乎狸魔哩琳扮殴泞减锦搽佑佐疆骂函攒翌椽钩蛇如乡恩坡恤魁颂绑兄突熔获仰夸源十浩樊投稳谦懊硒涨卸贿侣炳