大学物理学第三版赵近芳 第5章答案

1、习题五 5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同? 解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的y?f(t)；波动是往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此xty?f(x,t)，又是时间 的函数，即介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置t)tf(y?，它描述的是介质中一个质元偏离平在谐振动方程(2)中只有一个独立的变量时间y?f(x,t)中有两个独立变量，即坐标位衡位

2、置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程xt，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律 和时间置x?)tcos?A?(y中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持当谐波方程 u续不断地振动又是产生波动的必要条件之一 y)(ty?f，横(3)振动曲线描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为ty?f(x,t)描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，；波动曲线轴为xxy变化的规律，其纵轴为每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置，横轴为即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图 xx?t?yyAA( cos =波

3、动方程)+中的表示什么?如果改写为cos=5-2 0uu?xxx?t?txt，的值不(又是什么意思?如果(和)均增加，但相应的)+ 00uuu变，由此能从波动方程说明什么? ?xxu/x则的质元的振动落后于原点的时间；表示了介质中坐标位置为波动方程中的解: uxt 时刻的波动方程为处质元比原点落后的振动位相；设表示?x?)t?y?Acos( 0tut?t 时刻的波动方程为则?(x?x)?cos?(t?t)?yA 0t?t?u?x?)(?txtt?tx?u?中，处其表示在时刻，位置经过处的振动状态，后传播到所以在 u?x?)t?(xt?t，波形即向前传的值不会变化，而这正好说明了经过时间当，均增

4、加时， u?x?)?cos(t?yAtx?u描述的是一列行进中的波，故谓之行播了的距离，说明 0u 波方程而弹簧振子的动能和为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，5-3 波在介质中传播时， ?势能却没有这样的特点dV内所有质元的能解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元波动势能则是指介质的形其与振动速度平方成正比，量波动动能当然是指质元振动动能，)x,ty?f(，则决定如果取波动方程为变势能形变势能由介质的相对形变量(即应变量)x/?y/?x?y题的平方成正比由波动曲线图(.即应变量相对形变量()为波动势能则是与，而在该处的应变也为)5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动

5、能有极小(此处振动速度为零0?y/x?，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为(该处)极小，当然波动势能极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点) 也为最大这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值 图题5-3即振子的动能与势是一个孤立的保守系统，对于一个孤立的谐振动系统，机械能守恒， 能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化t时刻是否一定是波源开始振动的=05-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? x?tyA在什么前提下波动方=cos?)(? 时刻波动方程写成时，波源一定在

6、坐标原点处吗u ?程才能写成这种形式坐标原: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，解0t?的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程点不一定要选在波源处，同样，x?)cosy?A?(t时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的因为在此处对于波源写成u只我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，的含义已做了拓展，即在写波动方程时， 要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程什么物理在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，5-5 描述各质点振动的什么物理量不同， 量相同?2?vtcosAxcosy?2，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，取驻波方程为解

7、: ?即振幅变化规律描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，?2x2Acos而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻可表示为?两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反 5-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别? 5-6如题(波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，: 解?/u会增多，所以接收频率增高；，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目()图所示)?vuu?，因而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速

8、增大，即B?u也会增多，即接收频率也将增高简单地说，前而单位时间内通过观察者完整波的数目?使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波(缩短波长)者是通过压缩波面 面数增加而升高频率 图多普勒效应题5-6 ?x，振轴负向传播，波长=2. 0 Hz=1.0 m5-7 一平面简谐波沿，原点处质点的振动频率为tyA =0时恰好通过平衡位置向轴负向运动，求此平面波的波动方程0.1m，且在幅?0y?0?,v0t?取时原点处质点的振动状态为,，故知原点的振动初相为由题知解: 002xt?y?Acos2(?)? 波动方程为则有0?T?x?(2t?)?0y?.1cos2 12?)?xcos(4t?2

9、1?0.m 2yBt?CxCBAA 其中)，波动方程为 5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，=cos(，为正值恒量求： (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长； l 处一点的振动方程；写出传播方向上距离波源为(2) d (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为的两点的位相差 已知平面简谐波的波动方程 解: (1)y?Acos(Bt?Cx0x? ) ( 将上式与波动方程的标准形式x?)cos(t2?2y?A ? 比较，可知：B?A 波振幅为，频率?2?B2?u?， 波长，波速CC?21T?波动周期 ?Bx?l代入波动方程即可得到该点的振动方程(2)将 y?Acos(Bt?Cl) t同一波线上两

10、点之间的位相差为因任一时刻 (3)?2?(x?x?)? 12?2?d?x?x?代入上式，即得将 ，及12C?Cd? ?xtyyxt?4以米计，=0.05cos(10,)，式中5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为以秒计求： (1)波的波速、频率和波长； (2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度； xt=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?求处质点在=0.2m这一位相所代表的运(3)t=1.25s时刻到达哪一点?动状态在 解: (1)将题给方程与标准式 ?2?x)t?y?Acos(2 ?11?m?ss5u?.05?0.?52?0.5Amm ，频率相比，得振幅，波长，波速(2)绳上各

11、点的最大振速，最大加速度分别为 ?1?50.?10.?005?v?Asm? max222?2?51005)?0.?(?aA?s?m maxx?0.2 处的振动比原点落后的时间为m (3)2.x008?0.s 52.u920.08?0.t?1?ss0t?21?x?x0.m )故,时的位相就是原点(，在时的位相，0?2.?9 即 x25t?1. s设这一位相所代表的运动状态在时刻到达点，则825.0)?2.5(1.2501?x?x?u(tt)?0.2m 11xxt轴正向传播，时刻的波形曲线轴传播的平面余弦波在(1)5-10 如题5-10图是沿若波沿xCOBA位若波沿该时刻 ，轴负向传播，上述各点的

12、振动，各点的振动位相是多少?(2) ?相又是多少xt : (1)波沿时刻，有 解轴正向传播，则在 5-10图题?00,v?y?O 点：对于，OOO2?0?,v?0y?AA 点：，对于AAA?0,v?y?0?B 对于，点：BBB2?3?0,v?y?0?C 点：，对于CCC2OC、B、A 点位相，应落后于取负值：表示)(点的位相xt 轴负向传播，则在时刻，有(2)波沿?y0?,v0?O 对于，点：OOO2?00,?Avy?A 点：对于，AAA?0?0,vy?B ，点：对于BBB2?3?y?0,v0?C 对于，点：CCC2OCB、A、 点的位相此处取正值表示 ()点位相超前于x-1，原点处质点的振动

13、曲线，波长为5ms5-11 一列平面余弦波沿2m轴正向传播，波速为 5-11图所示如题 写出波动方程；(1)t 处质点的振动曲线时的波形图及距离波源0.5m(2)作出=0?3?0v?,?y0?010A?.t?， ，且图知，5-11(a): (1)解由题m 时，00025u?5?.2?5?2?Hz 又，则?2 题5-11图(a) x?)cos?(t?y?A 取 ，0u 则波动方程为?3x?)(t?y?0.1cos5m 520t? 5-11(b)图时的波形如题(2) 题5-11图(b) 题5-11图(c) x?0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为将 ?35.?05?)5cos(5?t?t)?

14、0.1cos(?y?0.1m 0.52如题5-11(c)图所示 xtt轴波沿(b) ，=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和5-12 如题5-12图所示，已知=0时和正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程； P点的振动方程 (2)?0?0,vy?0t1?4?A?0.mm，时，由题解: (1)5-12图可知，又，0002?x1u2?1?sm?5?2?u0.?2?Hz ，而， ?4.5?t0故波动方程为 ?x?)?0.1cos(tym 22x?1Pm点振动方程为代入上式，即得将 (2)P?t.1cos0)cos(.?y01t?m 22 图题5-12xt-1，波s 图所示，=0时的

15、波形如题5-13已知波速为5-13 一列机械波沿10 m轴正向传播， 长为2m，求： (1)波动方程；P 点的振动方程及振动曲线；(2) P (3) 点的坐标；P (4) 点回到平衡位置所需的最短时间?A?0,y?v2?t1?0?A0.mm，时，由题知， 解: 由题5-13图可知，00032u101?sm?5?10u?Hz，则 ?2?102? (1)波动方程为 ?x?)?t?01.cos10(ym 103 题5-13图 ?4?A?0v,y0?t0P， (时，点，故取点的位相应落后于(2)由图知，PPP23 )负值4?)t?0.1cos(10yP 点振动方程为p3?4x?|?)?10?(t (3

16、) 0t?10335x?1.67m 解得 3P点回到平衡位置应经历的位相角则由 5-13图(a)，(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题 题5-13图(a) ?5? 236 所属最短时间为?/6?51?ts ?1210yA P5-145-14 如题图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知点的振动方程为=P?t cos()0 分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；(1)QbP (2)写出距的点距离为点的振动方程 ，则波动方程为图(a)解: (1)如题5-14xl?(t)y?Acos? 0uu (b)，则波动方程为如图 图题5-14x?Acos()t?y? 0uQ 点的振动方程为(2) 如题5

17、-14图(a)，则b?)?(t?AAcos? 0QuQ 点的振动方程为图5-14(b)，则如题b?)cos?(t?A?A 0Qu?)2x(4t?y?Acos 5-15 已知平面简谐波的波动方程为(SI)t时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时=4.2 s(1)写出 通过原点?t =4.2 s(2)画出时的波形曲线 波峰位置坐标应满足 解:(1)?kx)?2(4t?2 ,21,?)k?0,?(x?k?8.4m ) (解得 4.?0m 所以离原点最近的波峰位置为?x?1?sm?t?2t?4t2u? 故知, u?0.4?0.2?t?ss2.0前通过原点，那么从计时时刻算起

18、，则应，这就是说该波峰在 2ss4?2024.?.4 时通过原点的，即该波峰是在是 5-15图题?21?sm?1?uuT?s2?,u?42.xt?04m (2)处，又时，?8.?16?4.2?4 0?A8?0?Acos4.?4.2?y 0?17?Ay? 又，当时，则应有x?1716.8x?2? s24.x?0.1t?m 解得 5-15，故时的波形图如题图所示xt处质元的振动曲线，试求此波(图中(a)表示=0)=0时刻的波形图，(b)表示原点5-16 题5-16x 处质元的振动曲线=2m的波动方程，并画出0v?0,ys0?0.2tA?2T?m ，时，且,5-16(b)解: 由题图所示振动曲线可知

19、00?x轴负向传播， 故知再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿,02tx?Acos2?()y?4?m 且，若取0?T 题5-16图 则波动方程为 ?xt?)2?(?y?0.2cos 422-3-2-1，频Jm5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm的圆柱形管传播，波的强度为18.010s-1，求 ：300ms 率为300 Hz，波速为(1)波的平均能量密度和最大能量密度? (2)两个相邻同相面之间有多少波的能量? I?wu : (1) 解 ?310I?5?3w?18?6?10.0?mJ? u300?4?310?.?2?ww12mJ? maxu1122?w?wWV?dd (2) ?

20、4430017?52?1024?14?(0.)?9.?6?10J 3004?SSSSA位相超前较，相距5-18 如题图所示，和，为两相干波源，振幅均为5-18 221114? ，求：2S外侧各点的合振幅和强度； (1) 1S外侧各点的合振幅和强度 (2) 2SSrSSP点引起的位相差为为 解：（1）在的点，外侧，距离传到该21111?2?)r?(r? ?11?42?2?A0,I?AA?A?0 11SSSSr传到该点引起的位相差.）在的点，外侧.距离 为（222211?2?r)?0(?r? 22?4222?4AA2?A,I?A?A?A 1111BBPB点的振动方程为点发出的平面横波沿5-19 如

21、题5-19图所示，设方向传播，它在?3?t22?10cosy?CCPC点的振动方程为;方向传播，它在点发出的平面横波沿1?3?)tcos(2y?2?10?tyCPBP0.5 m0.4m，计，s以计设，波速，本题中以m2u-1，求： =0.2ms(1)两波传到P点时的位相差； P处合振动的振幅； (2)当这两列波的振动方向相同时，P处合振动的振幅 *(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，?2?(CP?BP)?)?(? : (1) 解 12?(CP?BP)? u?2?04050?(.?.)? 20. 5-19图题P 点是相长干涉，且振动方向相同，所以(2)3?10?AA?A?4m 2P10，这时合

22、振动轨迹是通过，象限的直线，若两振动方向垂直，又两分振动位相差为(3) 所以合振幅为3?32?2102.83?22AA?10?A?2Am 121?uxA ，频率为 波5-20 一平面简谐波沿速为轴正向传播，如题5-20图所示已知振幅为tO =0(1)时，原点若处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；x 轴上(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置?0?,?0vy?0?t 故波动方程为时， 解: (1)，0002?x?y?Acos?2(vt)m 2u 图题5-20?332?x?再考虑到波由波)，代入入射

23、波传到反射面时的振动位相为(2)(即将?244 疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为?23? ?24OO 点为原点，则反射波在若仍以点处的位相为?5?2?O2，故以内的位相角，反射波在点的位相为，因只考虑2423 反射波的波动方程为?x?(t?2)?y?Acos 反u2此时驻波方程为 ?xx?(t?2cos)?Acos2(t?)?Ay 2uu2?x2?tA2cos?cos(2)? u2 故波节位置为?2x2?x?(2k?1) ?2u?)k?12(?xk?0,?1,?2, )( 故 413?x,?1,0k，即 根据题意，只能取 44xty =0.02cos20(SI

24、)cos750，求： 5-20 一驻波方程为(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； (2)相邻两波节间距离 解: (1)取驻波方程为 ?x2?t2cosy?2Acos u0.02?0?.01Am 故知 2?2750?207502?，则 ， ?u2?2?27502/1?sm?5.?37u? 2020?202/u?314.?0.10?m 所以相邻两波节间距离(2) ?0.?x?157m 2yxt) (SI)在弦上传播的横波，它的波动方程为+0.0079=0.1cos(13 5-22 1x=0处为波 试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在节 ?0x?x?0的位相差，故处形成波节，则要反射波在处与入射波有解: 为使合成驻波在反射波的波动方程为